Szabályozástechnika 37.

Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

Ha az állapotvisszacsatolást a folyamat x(t) állapotváltozóiról nem tudjuk megvalósítani, akkor el kell készíteni a folyamattal párhuzamosan futó matematikai folyamatmodellt (a megfigyelőt), és ennek x*(t) állapotváltozóiról lehet megvalósítani az állapotvisszacsatolást. Ezt a megfigyelőt egy digi­tális számítógépen futó program is realizálhatja.

Állapotirányítás, állapotirányítás megfigyelővel, optimális (LQR) irányítás – 7.

Az alrendszereket leíró állapotegyenletekből és az x_R(t)= [x(t) x*(t)]^T,

y_R(t)=[y(t) u(t) h(t)]^T jelölések bevezetésével^[1] az eredő rendszer matematikai modellje is a szokásos állapotegyenleti formára hozható:

A bevezetett jelölésekkel az eredő rendszer matematikai modelljének állapotegyenlet formában felírható alakja:

Az eredő rendszer paramétermátrixai:

Az eredő rendszer állapotegyenletéhez rendelhető hatásvázlat az 1. ábrán található.

1. ábra A megfigyelőről létesített állapotvisszacsatolás eredő rendszerének hatásvázlata

Az A_RM eredő állapotmátrix karakterisztikus egyenlete:

det(λI-A_RM)=det[λI-(A-BF)]det[λI-(A-MC)]=0 .

Az aszimptotikus stabilitás biztosításához tehát az A-BF és az A-MC mátrixoknak külön-külön is negatív valós részű sajátértékekkel kell rendelkezniük (a szeparáció elve^[2]). Ez egyébként a folyamat és a megfigyelő mintegy párhuzamos kapcsolásából is következik. Vegyük észre, hogy a megfigyelő alkalmazásával kialakított állapotirányítás irányító alrendszere a folyamat dinamikáját is tartalmazó dinamikus rendszer, emiatt ennek rendszáma azonos a folyamat n rendszámával, a teljes rendszer rendszáma tehát 2n.

A méretezést támogató MATLAB-program

A rendszer méretezésére és vizsgálatára alkalmas MATLAB-program:

Példa

A harmadrendű, önbeálló folyamat W_p(s) átviteli függvényével definiált:

állapotmegfigyelő alkalmazásával – a folyamat k_p=g₃ /h₃ =1 erősítésének megtartása mellett – tervezzünk olyan állapotvisszacsatolt rendszert, amelyben a felgyorsított rendszer előírt pólusai p_R1=–3, p_R2=–6, p_R3=–9, a megfigyelő pólusai pedig p_M1=p_M2=p_M3=–10.

A folyamat irányíthatósági kanonikus alaknak megfelelő állapotegyenlete és ennek paramétermátrixai:

Megjegyzés

Figyeljük meg, hogy a visszacsatolatlan folyamat stabilis (mindegyik p_i pólusa negatív érték), és az állapotvisszacsatolás alkalmazásával az új p_Ri pólusokat az eredeti pólusok háromszorosára írtuk elő. Az átviteli függvény közvetlen felbontását alkalmaztuk, ezért az integráló tagok láncolatának állapotváltozói az állapotegyenlet irányíthatósági kanonikus alakjának felírását teszik lehetővé. Ekkor az A állapotmátrix első sorában a karakterisztikus egyenlet –h₁, –h₂, –h₃ negatív együtthatói állnak. A visszacsatolt rendszer legkisebb pólusa p_R3=–9. Ennek megfelelően a megfigyelő pólusait p_M1=p_M2=p_M3=–10-re választjuk. A rendszer méretezését az előző programmal végeztük. A kapott eredmények:

A megfigyelőről létesített állapotvisszacsatolás eredő rendszerének hatásvázlata a 2. ábrán látható.

2. ábra Állapotirányítás megfigyelőről történő visszacsatolással

Példa

Egy harmadrendű, kiscsillapítású (ξ=0,1), lengéseket tartalmazó, önbeálló folyamat W_p(s) átviteli függvénye:

A folyamat állapotváltozói az irányíthatósági kanonikus alakban állnak rendelkezésre. Tervezzünk olyan állapotvisszacsatolást tartalmazó rendszert, amely túlvezérlés nélkül a visszacsatolt rendszer csillapítási tényezőjét az aperiodikus állapot határesetére állítja be. A folyamat differenciálegyenlete a W_p(s) átviteli függvényének alapján:

A d³y(t)/(g₃dt³) jelet három, egymással soros kapcsolást alkotó integráló tagon átvezetve az integrátorok kimenőjelei a folyamat állapotváltozói. A folyamat hatásvázlata ennek megfelelően a 3. ábrán látható.

3. ábra A folyamat irányíthatósági kanonikus alakjának megfelelő hatásvázlata

Az állapotegyenlet irányíthatósági kanonikus alakja és a paramétermátrixok a hatásvázlat jelöléseivel:

Folytatjuk!

Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát., Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.