magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 8

A DI-állapotváltozók állapottranszformációja

A DI-rendszer állapot-differenciaegyenletével leírt n rendszámú dinamikus folyamat x(k) állapotvektorának komponensei az x1(k), x2(k), …, xn(k) állapotváltozók. Ezek mindegyike egy-egy mintasorozat. A dinamikus folyamat leírására olyan új xT(k) állapotvektor vezethető be, amelynek xTi(k) komponensei az eredeti rendszer xi(k) állapotváltozóinak súlyozott lineáris kombinációi: xT(k)=Tx(k), ahol T egy tetszőleges, reguláris (invertálható, vagyis det(T)≠0) n×n méretű) transzformációs mátrix.

.

    Mátrix alakban az új xT(k) állapotvektor:

 

DBE 86

 

Az xT(k)=Tx(k) jelölésnek megfelelően T-1xT(k)=T-1Tx(k)=x(k). Ennek figyelembevételével a transzformált DI-rendszer új állapot-differenciaegyenletét az eredeti állapot-differenciaegyenletből az

x(k)=T-1xT(k) helyettesítéssel kapjuk:

 

DBE 87

 

Miután az eredeti x(k) állapotvektor helyett az új xT(k) állapotvektort vezettük be, az átalakított rendszer új AdT, BdT, CdT, DdT paramétermátrixai a T transzformációs mátrix és az eredeti Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixok ismeretében – egyszerű mátrixműveletekkel – meghatározhatók. A transzformáció az eredeti rendszer Ad állapotmátrixának λdi sajátértékeit, illetve az u(z) bemenő- és y(z) kimenőjelek közötti kapcsolatokat leíró W(z)=y(z)/u(z) impulzusátviteli függvényt természetesen változatlanul hagyja. Az új xT(k) állapotvektor bevezetésének az ad értelmet, hogy a T megfelelő megválasztásával az AdT=TAdT-1 transzformált állapotmátrix az eredeti Ad állapotmátrixhoz képest egyszerűbb (például diagonális) alakot ölthet. Ilyen egyszerűbb alakok (az FI-rendszerek kapcsán már tárgyalt és ott részletezett) a diagonális, az irányíthatósági, a megfigyelhetőségi, a fázisváltozós, az alsóháromszög, a felsőháromszög kanonikus alakok. A diagonális (más néven átlós, illetve első kanonikus) alak jelentősége most is abban van, hogy a DI-rendszer állapotváltozóit egymástól mintegy szétcsatolja. Ha a transzformálatlan rendszer Ad állapotmátrixának minden eleme valós, nem zérus érték, akkor a gerjesztetlen rendszer i sorszámú xi(k+1) siettetett állapotváltozója az x1(k), x2(k)…, xn(k)

állapotváltozóknak a lineáris függvénye:

 

DBE 88

 

Ez azt jelenti, hogy a rendszer xi(k) állapotváltozóját előállító i sorszámú shiftelő alaptagjának xi(k+1) bemenete minden egyes állapotváltozóról (így önmagáról is, ha aii≠0) egy arányos tagon keresztül vissza van csatolva (1.a. ábra). A T=Td transzformációval diagonális alakra hozott AdT állapotmátrixú transzformált DI-rendszerben viszont az i sorszámú xTi(k+1) siettetett állapotváltozó – az

DBE 89

 

egyenletnek megfelelően – kizárólag az xTi(k) állapotváltozótól függ, vagyis a transzformált rendszer xTi(k) állapotváltozóját előállító xTi(k+1) bemenetű shiftelő alaptag az xTi(k) állapotváltozóról (vagyis kizárólag önmagáról, ha λdi0) van visszacsatolva, és az arányos visszacsatolás átviteli tényezője az Ad állapotmátrix λdi sajátértéke (lásd még az impulzusátviteli függvény párhuzamos felbontását és a 1.b. ábrát). Erre az alakra azonban az eredeti DI-állapotegyenlet csak akkor hozható, ha az Ad állapotmátrix minden λdi sajátértéke egymástól különböző [1]. Az 1.b. és 1.c. ábrák alapján az a következtetés is levonható, hogy a DI-rendszerek analízisében a z-1 impulzusátviteli függvényű shiftelő alaptag arányos tagon keresztül történő visszacsatolásából álló, elsőrendű, SISO-rendszert leíró struktúrának lényeges szerepe van, mivel ezen alapstruktúrák párhuzamos kapcsolásából állítható elő a magasabb rendszámú DI-rendszerek hatásvázlata is. Mindezek következtében az elsőrendű rendszer struktúrája (1.c. ábra) és tulajdonságainak analízise alapvető jelentőségű. Ekkor – miután skaláris jelekről és paraméterekről van szó – az u(k)(k) egységimpulzusra adott x(k), y(k) mintasorozat-válaszok egyszerű „fejszámolással” meghatározhatók.

 

Példa

Az 1.c. ábrán látható elsőrendű SISO DI-rendszer bemeneti mintasorozata u(k)=δ(k) egységimpulzus és az állapotváltozó kezdeti értéke x(0)=0. A hatásvázlat alapján közvetlenül számíthatjuk az x(k) állapotváltozó és az y(k) kimenőjel mintasorozatait. A shiftelő (holtidős) tag x(k) mintasorozata:

 

x(k)={0, bd, bdad, bdad2, bdad3,…}, illetve a kimeneti mintasorozat:

 

y(k)={dd, cdbd, cdbdad, cdbdad2, cdbdad3,…}.

  

Láthatóan most az állapotmátrix Ad=ad skaláris, emiatt karakterisztikus egyenlete det(λd-ad)d-ad=0, a λd1 sajátérték λd1=ad. Ebből az is következik, hogy a rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha abs(λd1)=abs(ad)<1, vagyis a shiftelő tag az egységtől abszolút értékben kisebb átviteli tényezőjű arányos taggal van visszacsatolva. Ez a tulajdonság az x(k), y(k) mintasorozatokból is leolvasható, mivel abs(ad)<1 és k→∞ esetén x()=y()=0, vagyis a zérus bemenőjelre állandósult állapotban (a tranziensek „lecsengését" követően, amikor is k=∞) zérus válaszok jönnek létre. Az elsőrendű tag impulzusátviteli függvényét a 1.c. ábrán találjuk.

 

Béla Diszkrét 35

 1. ábra Az DI-állapotváltozók szétcsatolása állapottranszformációval

 

Az eredeti DI-rendszer Ad állapotmátrixának a Td transzformációval diagonális alakra történő átalakításával látható, hogy az n darab elsőrendű differenciaegyenletből álló csatolt (eredeti, 1.a. ábra) rendszer n darab elsőrendű differenciaegyenletből álló csatolatlan (transzformált, 1.b. ábra) rendszerre particionálható. Ez a tulajdonság indokolja a 1.c. ábra elsőrendű (és ebből adódóan igen egyszerű) SISO-rendszerének analízisét. A csatolatlan (transzformált) rendszer shiftelő tagjainak visszacsatolásaiban a csatolt (transzformálatlan) rendszer Ad állapotmátrixának λdi sajátértékei szerepelnek. Könnyen belátható, hogy ezek abs(λdi)<1 értékei mellett lehetséges csak, hogy állandó u(k) bemenő mintasorozat-vektor hatására az xTi(k) állapotváltozók mindegyike k→∞ mellett állandó értékhez tartson. Ekkor a rendszer aszimptotikusan stabilis. Ha viszont valamelyik sajátérték abs(λdi)≥1, akkor a rendszer bizonyosan labilis, mert állandó bemenőjelvektor mellett valamelyik xTi(k) állapotváltozó k→∞ esetén a végtelenhez tart. (Hasonló következtetések a csatolatlan rendszer struktúrájából lényegesen körülményesebben lennének levonhatók). A diagonális alakot előállító Td transzformációs mátrix meghatározása az Ad állapotmátrix m sajátvektorainak kiszámításán alapszik, viszonylag komplikált mátrixműveleteket igényel [2].

     Az irányíthatósági kanonikus alakra hozó transzformáció struktúráját a 2. ábrán szemléltetjük.

 

Béla Diszkrét 36

 2. ábra Állapottranszformáció az irányíthatósági kanonikus alak létrehozására

 

Ennek jellegzetes ismérve a shiftelő alaptagok láncolatának (soros kapcsolásának) struktúrája, illetve az a tulajdonság, hogy a transzformált rendszer minden egyes shiftelő alaptagjának xTi(k) kimenőjele az első shiftelőtag bemenetére van visszacsatolva (lásd még az impulzusátviteli függvény közvetlen felbontását és a 2. b. ábrát). A visszacsatolások -hi átviteli tényezői ekkor a transzformálatlan rendszer det(λdI-Ad) karakterisztikus polinomjának negatív együtthatói. A diszkrét SISO dinamikus tag W(z)=G(z)/H(z) algebrai törtalakú impulzusátviteli függvényének ismeretében a MATLAB 

 

[Ad,Bd,Cd,Dd]=tf2ss(Gz,Hz);

 

függvénye a tag állapotegyenletének irányíthatósági kanonikus alakját adja, amelyet a

 

[AdT,BdT,CdT,DdT,Td]=canon(Ad,Bd,Cd,Dd,’modal’);

 

függvénnyel diagonális alakra is hozhatunk. Bár az irányíthatósági kanonikus alak a rendszer tranziens viszonyinak minőségi tulajdonságairól nem ad olyan egyszerű képet, mint amit az első kanonikus alak adott, az állapotirányítás tervezésében azonban ez az alak is – egyszerűsítve az állapotirányítás tervezési eljárását – jelentős szerepet játszik.

     Vegyük észre, hogy az állapotváltozók transzformációjával keletkezett transzformált rendszerben – bármilyen transzformációról is legyen szó – a Dd paramétermátrix változatlan marad (DdT=Dd). Ennek oka az, hogy a Dd0 paraméter mutatja meg, hogy a DI-tag u(k) bemenőjele – az állapotváltozókon keresztül létrehozott hatást mintegy megkerülve – milyen Ddu(k) direkt hatást fejt ki az y(k) kimenőjelre, ami egyébként az állapotvektor által kifejtett Cdx(k), illetve CdT-1xT(k) hatásától független. A transzformáció természetesen a dinamikus tag eredeti W(z)=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvényét sem változatja meg [3], vagyis

 

W(z)=Cd(zI-Ad)-1Bd+Dd=

        =CdT-1(zI-TAdT-1)-1TBd+Dd=

        =CdT(zI-AdT)-1BdT+DdT=y(z)/u(z).

 

Az állapotirányíthatóság, a megfigyelhetőség és az állapottranszformáció fogalmai, feltételei, transzformációs összefüggései az FI- és DI-rendszerekben annyira azonosak, hogy a MATLAB sem tesz közöttük különbséget. Például a Co=ctrb(A,B); és a Co=ctrb(Ad,Bd); függvények az irányíthatósági hipermátrixokat számítják ki, a paramétermátrixok értelemszerű megadása mellett. Az irányíthatóság, megfigyelhetőség és az állapottranszformációk fogalmai és eljárásai a hibrid rendszer DI-modelljére alapozott állapotirányítás témaköreinek feldolgozása során kerülnek alkalmazásra, és az impulzusátviteli függvény közvetlen felbontása (irányíthatósági kanonikus alak), illetve a párhuzamos felbontása (első kanonikus alak) kapnak meghatározó jelentőséget.

 

Diszkrétidejű dinamikus tag aszimptotikus stabilitása

Az A állapotmátrixával (vagy a W(s)=C(sI-A)-1B+D=G(s)/H(s) átviteli függvényével) jellemzett folytonosidejű lineáris dinamikus SISO-rendszer aszimptotikus stabilitásának feltétele, hogy a

 

det(sI-A)=H(s)=a0sn+a1sn–1+…+an–1s+an=0

 

karakterisztikus egyenlet minden gyöke (a rendszer minden pii pólusa) az s komplex számsík negatív valós részű felsíkján (a „stabilis félsíkon”) legyen. Ez a feltétel a gyökök tényleges kiszámítása nélkül is eldönthető volt a Hurwitz-kritérium [4] alapján (real(pi)<0 ha H(s) Hurwitz-polinom).

   Az Ad állapotmátrixával (vagy a W(z)=Cd(zI-Ad)-1Bd+Dd=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvényével) jellemzett diszkrétidejű lineáris dinamikus SISO-rendszer aszimptotikus stabilitásának feltétele hogy a

 

H(z)=det(zI-Ad)= a0zn+a1zn–1+…+an–1z+an=0

 

karakterisztikus egyenlet minden gyöke (a rendszer minden zpi=λdi pólusa) a z komplex számsík egységsugarú körének belsejében (a „stabilis tartományban”) legyen (abs(zpi)<1). Ez a feltétel az együtthatók ismeretében a gyökök tényleges kiszámítása nélkül is eldönthető (Jury-teszt). Ne feledkezzünk meg arról, hogy a folytonos rendszerből származtatható diszkrét rendszer karakterisztikus polinomjának minden ai együtthatója a Ts mintavételezési időnek is a függvénye. A W(z) impulzusátviteli függvény zérusainak és pólusainak kiszámítását a MATLAB

 

[zz,zp,kd]=tf2zp(Gz,Hz);

 

utasítása támogatja. A W(z) reziduumainak és pólusainak meghatározását (a részlettörtre bontást) támogató MATLAB függvény:

 

[r,zp,k]=residue(Gz,Hz);.

 

Ismételten szögezzük le, hogy aszimptotikusan stabilis diszkrét rendszer z változóban felírt karakterisztikus polinomja nem Hurwitz-polinom (gyökeinek nem negatív valós részűeknek, hanem az abs(zpi)<1 feltételnek kell megfelelniük).

 

A Jury-teszt

A diszkrét rendszer a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an=0 karakterisztikus egyenletének minden zpi gyökére abs(zpi)<1 feltétel teljesül, ha

 

  •  n=1 esetben: → H(z)=a0z+a1=0     zp1=-a1/a0

         abs(zp1)<1,                 ha     abs(a0)>abs(a1)

  •  n=2 esetben: → H(z)=a0z2+a1z+a2=0     zp1,2=(-a1±(a12-4a0a2)1/2)/(2a0)

         abs(zp1,2)<1,               ha     H(1)  =a0+a1+a2>0

                                                  H(-1)=a0-a1+a2>0, és a0>abs(a2)

  •  n=3 esetben: → H(z)=a0z3+a1z2+a2z+a3=0     

         abs(zp1,2,3)<1,             ha    H(1) =a0+a1+a2+a3>0

                                                 H(-1)=-a0+a1-a2+a3<0,

                                          és    a0>abs(a3), a2a0-a1a302-a32

  •  n=4 esetben: → H(z)=a0z4+a1z3+a2z2+a3z+a4=0

         abs(zp1,2,3,4)<1,           ha     H(1)=a0+a1+a2+a3+a4>0,

                                                  H(-1)=a0-a1+a2-a3+a4>0,

                                          és     a0>abs(a4), abs(a3a0-a1a4)02-a42

                                                  (a0-a4)2(a0-a2+a4)+(a1-a3)(a3a0-a4a1)>0

  •  stb. (a fokszám növekedésével egyre nehézkesebb az eljárás).

 

A bilineáris transzformáció

A bilineáris transzformáció alkalmazásával a diszkrét rendszer karakterisztikus polinomját olyan polinommá alakíthatjuk át, amelyre a Hurwitz-kritérium már alkalmazható. Ha a diszkrét rendszer z komplex változóban értelmezett a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an=0 felépítésű karakterisztikus egyenletében a z=(1+w)/(1-w) helyettesítést végrehajtjuk, akkor az így kapott karakterisztikus egyenlet wp gyökeire vonatkozóan a Hurwitz-kritériumot használhatjuk. A z sík egységsugarú körét ugyanis a w=(1-z)/(1+z)

leképzés a w sík imaginárius tengelyébe, a kör belsejét a w sík negatív valós részű félsíkjába képezi le. Ebből az következik, hogy abban az esetben, ha H(w) Hurwitz-polinom (vagyis wp gyökei a w sík stabilis – negatív valós részű – félsíkján helyezkednek el), akkor H(z) minden zp gyöke a z sík egységsugarú körének belsejében (a stabilis tartományban) van (3. ábra).

 

3 ábra javítot

3. ábra A z sík stabilis tartományának leképzése a w síkra

 

Példa

Legyen egy lineáris, másodrendű, diszkrét rendszer impulzusátviteli függvénye

 

DBE 91

 

A diszkrét rendszer aszimptotikus stabilitásának feltétele, hogy a H(z)=a0z2+a1z+a2=0 karakterisztikus egyenletének zp1,2  gyökei (W(z) pólusai) a z sík egységsugarú körének belsejében legyenek (abs(zp1,2)<1). Stabilitásvizsgálat a bilineáris transzformációval:

 

DBE 92

 

A másodfokú H(w) Hurwitz-polinom, ha minden együtthatója pozitív, vagyis:

 

a0–a1+a2=H(z‌)‌‌z=-1=H(-1)>0      a0+a1+a2=H(z)z=1=H(1)>0,   a0-a2>0 ,

 

ami egyébként a Jury-teszt. Ha tehát H(w) Hurwitz-polinom, akkor H(z) minden gyöke a komplex sík egységsugarú körének a belsejében van, vagyis a diszkrét rendszer aszimptotikusan stabilis. Ne feledkezzünk meg arról, hogy a diszkrét tagok visszacsatolásával keletkező eredő rendszer karakterisztikus egyenlete 1±W0(z)=0, ahol W0(z)=G0(z)/H0(z) a nyitott kör eredő impulzusátviteli függvénye. A stabilitásvizsgálatot ekkor a HR(z)=G0(z)±H0(z)=0 egyenletre kell elvégezni. Az FI és DI szabályozási rendszerek közötti hasonlóságokat és különbözőségeket egy igen egyszerű (az analízishez számítógépes támogatást nem igénylő) példán szemléltetjük.

 

Példa

A szabályozott folyamat legyen egy egytárolós arányos (önbeálló) tag, amelynek átviteli függvénye Wp(s)=kp/(1+sTp), és kp=1>0, Tp=10>0. A folyamatot Wc(s)=kc>0 átviteli függvényű arányos (P) szabályozó működteti, vagyis K=kckp körerősítéssel rendelkező arányos (i=0 típusú) szabályozásról van szó. Az FI-szabályozás matematikai modellje K>0 bármekkora értékénél aszimptotikusan stabilis, zárt rendszerének eredő vR(t) átmeneti függvénye monoton növekedve, aperiodikusan veszi fel a vR()=K/(1+K)<1 állandósult értékét. Állandósult állapotban a

 

h()=1-vR(∞)=1/(1+K)>0

 

hiba a körerősítés függvénye, és K növelésével csökkenthető (5. ábra). Ebben a struktúrában (a ténylegesen működő fizikai rendszerben) az FI-szabályozót Wc(z)=kc impulzusátviteli függvényű digitális P szabályozóval váltjuk ki, tehát a szabályozási hatáslánc a DDC-szabályozóval, valamint a D/A- és A/D-átalakítókkal bővül. Az alkalmazott mintavételezési idő legyen Ts=1<<Tp=10. A következőkben az y szabályozott jellemző, az u irányítójel és a h hibajel kiszámításával összehasonlítjuk a folytonosidejű és a hibrid szabályozás tulajdonságait, miközben a hibrid rendszert annak DI-jelekre és tagokra homogenizált modellje alapján tárgyaljuk. Mindkét szabályozási rendszer matematikai modelljét elsőrendű differenciálegyenlet, illetve elsőrendű differenciaegyenlet jellemzi, ezért a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete mindkét modellben elsőfokú. Ennek megoldása (a tranziens folyamatokat alapvetően meghatározó pR, illetve zpR pólusok kiszámítása) szintén igen egyszerű.

 

Folytonos szabályozás vizsgálata a szabályozás FI-modellje alapján

A folytonosidejű szabályozási rendszert a hatásvázlata, valamint a szabályozó Wc(s) és a folyamat Wp(s) átviteli függvényei jellemzik (4. ábra). Az alapjel egységugrás.

 

Béla Diszkrét 38

 4. ábra Az FI-szabályozás hatásvázlata

 

A részletszámítások mellőzésével a nyitott és a zárt kör eredő átviteli függvényei, a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete és ennek pR gyöke, valamint a zárt rendszer egységugrás alapjelre (yA(t)=1(t), yA(s)=1/s) vonatkozó y(t)=vR(t), u(t) és h(t) válaszai és ezek kezdeti és végértékei az alábbiak: 

 

DBE 93

 

Az y(t), u(t) és h(t) válaszok időfüggvény-grafikonjait és a szabályozás gyökhelygörbéjét az 5. ábra tartalmazza. 

Béla Diszkrét 39 

 5. ábra Az FI-szabályozás átmeneti függvényei és gyökhelygörbéje

 

A grafikonokból is leolvasható, hogy a vR(t) végértéke csupán megközelíti az yA=1 alapértéket, a h(∞)=yA-vR(∞) állandósult hiba és a zárt rendszer eredő TR=Tp/(1+K) időállandója a K körerősítés függvénye. Pl. K=9 körerősítés esetén az állandósult hiba h(∞)=1/10 és az eredő időállandó TR=1. A zárt rendszer – figyelembe véve a folyamat Tp=10 időállandóját – lényegesen felgyorsult, ami az u irányítójel jelentős mértékű túlvezérlésének (a szabályozó kc=9 erősítésnek) köszönhető. Ennek ára az uT=u(0)/u(∞)=kc/[kc/(1+K)]=1+K=10 túlvezérlési arány. Az üzemelés során egyrészt a kc=9 túlvezérlést a szabályozónak elő kell tudni állítania, másrész ezt a folyamatnak is el kell tudni viselnie (lásd az u(t) grafikonját). A kc további növelésével a h(∞) állandósult hiba és a beállás TR időállandója tovább lenne csökkenthető, de ez természetszerűen a túlvezérlés további növekedését is maga után vonja. A gyökhelygörbe azt szemlélteti, hogy K>0 körerősítés bármekkora értéke mellett a zárt rendszer WR(s) átviteli függvényének pR=-(1+K)/Tp=-1/TR<0 pólusa a stabilitási tartományban van (strukturálisan stabilis [5] FI szabályozási rendszer).

 

A hibrid szabályozás vizsgálata a rendszer DI-modellje alapján

A hibrid szabályozási rendszer DI-jelekre és -tagokra homogenizált modelljét a 6. ábra tartalmazza. Az alapjel egységminta-sorozat:

 

[yA(k)=1(k), yA(z)=z/(z–1)]. 

Béla Diszkrét 40  

 6. ábra A hibrid-szabályozás DI-modellje

 

A DI-modell alapján a folyamat Wp(z), a felnyitott kör W0(z)=Wc(z)Wp(z) és a zárt rendszer WR(z) eredő impulzusátviteli függvényei:

 

DBE 94

 

A DI zárt rendszer karakterisztikus egyenlete z-[E-K(1-E)]=0, és ennek gyöke zpR=E-K(1-E). A zpR gyök vándorlása a z komplex síkon – miközben a K tényező befutja a 0<K<∞ intervallumot – a 7. ábrán látható.

 

Béla Diszkrét 41 

 7. ábra A hibrid-rendszer DI-modelljének gyökhelygörbéje és kritikus körerősítése

 

A gyökhelygörbe a z sík valós tengelyén fekszik, a nyitott kör 1>zp=E>0 pólusából indul és a valós tengely –∞ pontja felé tart. A zárt rendszer WR(z) eredő impulzusátviteli függvényének zpR pólusa a körerősítés Kkr értékénél kilép a stabilitási tartományból (az egységsugarú körből). Ez akkor következik be, mikor K=Kkr értékénél zpR=-1 értéket vesz fel. Ennek alapján:

 

DBE 95

 

A Kkr=cth[Ts/(2Tp)] grafikonját szintén a 41. ábra mutatja. Abból a puszta tényből adódóan, hogy az FI-rendszer P-szabályozóját digitális P-szabályozóra cseréljük (vagyis a zárt hatásláncban megjelenik a mintavételezés és a zérusrendű tartás), az eredetileg strukturálisan stabilis FI-rendszer a hibrid működésre történő áttérés miatt elveszíti a strukturálisan stabilis tulajdonságát, mivel a K körerősítés növelésével labilissá válhat. A Kkr kritikus körerősítés a folyamat Tp időállandójának és a Ts mintavételezési időnek a függvénye. Minél kisebb a Ts/(2Tp) viszonyszám (vagyis egy adott Tp-nél minél kisebb a Ts mintavételezési idő), annál nagyobb a labilitást előidéző Kkr értéke, és annál nagyobb a megfelelő stabilitási tartalékot biztosító K≈Kkr/2 megengedett körerősítés is. Ha pl. Kkr=19 esetén a megengedett körerősítésre K=Kkr/2=9 értéket választunk, akkor Tp=10 mellett a mintavételezési idő Ts=10ln(19/17)=1,1123. A gyökhelygörbe alapján az is látható, hogy a K erősítésnek lehetnek olyan értékei, amikor is a zpR pólus a stabilis tartomány 0>zpR >-1 intervallumában van. Ekkor a hibrid-rendszer ugyan aszimptotikusan stabilis marad, de zpR negatív értéke miatt az átmeneti jelenségek lengéseken keresztül veszik fel az egyensúlyi helyzeteiket. Ilyen lengésekkel történő beállás a tárgyalt eredeti FI-rendszermodellben elvileg nem fordulhat elő. Bármekkora is a zpR pólus értéke, az y(k) és u(k) mintasorozatok az inverz Z-transzformáció segítségével egyszerűen meghatározhatók. Az yA(z)=z/(z-1) egységminta-sorozatra adott

y(k)=Z-1{y(z)}, u(k)=Z-1{u(z)} és h(k)=Z-1{h(z)} válaszok az y(z), u(z) és h(z) Z-transzformált függvények részlettörtre bontása alapján számíthatók. Részletezve:

 

DBE 97 

 

Az adott yA(k)=1(k) alapjel-mintasorozat gerjesztésre kialakuló y(k)=vR(k), u(k), h(k) mintasorozatok és az y(t)=vR(t),

uT(t) időfüggvények menetét – aszimptotikusan stabilis rendszert (|zpR|<1) feltételezve – a 8. ábra mutatja. 

Béla Diszkrét 42 

8. ábra A DI-szabályozás átmeneti mintasorozatai

 

Az 5. és 7. ábrák alapján láthatjuk, hogy a t=0 és k=0, illetve a t=∞ és k=∞ kezdeti és végértékek szempontjából az FI- és a stabilis DI-rendszerek viselkedése azonos, az átmeneti tulajdonságok azonban – az irányító jel „lépcsős” időlefolyásának következményeként – alapvető különbözőséget mutatnak. Ezek a különbözőségek más–más módon jelenhetnek meg, attól függően, hogy a zárt rendszer karakterisztikus egyenletének zpR gyöke az egységsugarú körhöz képest hol helyezkedik el. A folyamat 1>zp>zpR>0 esetében aperiodikus, 0>zpR>-1 esetben csillapítottan lengő, -1≥zp>-∞ esetben pedig csillapítatlan lengő vagy labilis (a 7. ábra a csillapítottan lengő esetet mutatja, az egyéb esetek tanulmányozását az olvasóra bízzuk). Külön említést érdemel a zpR=0 eset, mikor is WR(z) pólusa a z sík origójában van. Ekkor zpR=E-K(1-E)=0, illetve K=E/(1-E). A nyitott és a zárt rendszer W0(z), WR(z), u(z)/yA(z) és h(z)/yA(z) eredő impulzusátviteli függvényei zpR pólus zérus értékénél:

 

DBE 98

 

Figyeljük meg a WR(z), a Wc(z)/[1+W0(z)] és a 1/[1+W0(z)] eredő impulzusátviteli függvények FIR-típusú alakjait, aminek jelentése az, hogy mind az y(k), mind pedig az u(k) és h(k) mintasorozatok véges lépésszám alatt veszik fel egyensúlyi értékeiket [6]. Ezek ábrázolását szintén az olvasóra bízzuk [7]. Az ilyen rendszereket véges beállású szabályozásoknak nevezünk, és hasonló tulajdonság a folytonosidejű rendszerekben – a tranziensek exp(pRt) szerint alakuló időfüggvényei miatt – elvileg nem jöhet létre.

     A példa egyszerűsége eredményezte, hogy az analízis analitikus formában volt tárgyalható, és az FI- és DI-modellek hasonlóságait és különbözőségeit szemléletesen lehetett érzékeltetni. Figyelmet érdemel az FI-rendszer y(t), u(t), h(t) időfüggvényeinek és a DI-rendszer y(k), u(k), h(k) mintasorozatainak és az ut túlvezérlési aránynak képletszerű összehasonlítása (1. táblázat). A kifejezések formális hasonlósága szembetűnő. A tranziens folyamatokat alapvetően befolyásoló tényezők láthatóan az FI zárt rendszer WR(s) átviteli függvényének pR=-(1+K)/Tp pólusa, valamint a DI zárt rendszerben a WR(z) impulzusátviteli függvényhez tartozó zpR=E-K(1-E) pólus. A pR pólus az FI-rendszer K körerősítésének, a zpR pólus a DI-rendszer K tényezőjének és a Ts mintavételezési időnek a függvénye.

 

DBE 99

1. táblázat FI és DI modellek hasonlóságai és különbözőségei

 

A példa megoldását támogató és alább közölt analizis.m nevű fájban található MATLAB-program alkalmazásával tetszőleges kc, kp, Tp és Ts adatokkal számíthatjuk és ábrázolhatjuk az FI- és DI-rendszerek jellegzetes tulajdonságait (FI-rendszer esetében a folyamat vp(t) átmeneti függvényét, a zárt rendszer u(t), y(t) jeleit és gyökhelygörbéjét; DI-rendszerben pedig a folyamat diszkrétidejű modelljét, a zárt rendszer u(k), y(k) jeleit és gyökhelygörbéjét stb). A program használatával megvizsgálhatjuk pl. a DI-modellel leírt rendszer különféle zpR pólusok esetén kialakuló mintasorozatok grafikonjait, valamint a véges beállás és a labilitás jelenségeit is. 

 

% analízis

echo on

% Analízis az FI modell alapján

kc=input('kc=');kp=input('kp=');

Tp=input('Tp=');Gps=kp;Hps=[Tp 1];

Gc=kc;Hc=1;step(Gps,Hps);

title('Az FI folyamat vp(t) átmeneti függvénye');

grid;pause;K=kc*kp;G0s=K;H0s=Hps;

[GRs,HRs]=cloop(G0s,H0s);step(GRs,HRs);

title('Az FI zárt rendszer vR(t) átmeneti függvénye');

grid;pause;

rlocus(G0s,H0s);

title('Az FI rendszer gyökhelygörbéje');

grid;pause;

% Analízis a DI modell alapján

Ts=input('Ts=');[Gpz,Hpz]=c2dm(Gps,Hps,Ts);

E=exp(-Ts/Tp);disp('E=zp=');disp(E);pause;

G0z=K*(1-E);H0z=Hpz;[GRz,HRz]=cloop(G0z,H0z);

dstep(GRz,HRz,10);

title('A DI rendszer vR(k) átmeneti mintasorozata');

xlabel('lépésszám');grid;pause;

GRu=kc*[1 -E];HRu=[1 -(E-K*(1-E))];

dstep(GRu,HRu,10);

title('A DI rendszer uT(t) irányitó jele');

xlabel('lépésszám');grid;pause;

rlocus(G0z,H0z);

title('A DI rendszer gyökhelygörbéje');zgrid;pause;

% Véges beállású rendszer vizsgálata

G0z=E;H0z=Hpz;[GRz,HRz]=cloop(G0z,H0z);

dstep(GRz,HRz,10);

title('A DIv rendszer vR(k) átmeneti mintasorozata');

xlabel('lépésszám');grid;pause;

disp('HRz=');disp(HRz);GRu=kc*[1 -E];

HRu=[1 -0];dstep(GRu,HRu,10);

title('A DIv rendszer uT(t) irányitó jele');

xlabel('lépésszám');grid;pause;

% A Kkr=cth(Ts/(2Tp))jelleggörbe számítása

Ts=0.2:0.1:10;

Kkr=(1+exp(-Ts./10))./(1-exp(-Ts./10));

plot(Ts,Kkr);grid on;

title('A Kkr=cth(Ts/(2Tp)) jelleggörbe');

xlabel('Ts')

disp('vége');

 

A gyakorlati körülmények között üzemelő szabályozási rendszerekben a szabályozó és a folyamat magasabb rendszámú W(s) átviteli, illetve W(z) impulzusátviteli függvényekkel írható le. A szabályozó rendszerint integráló fokozatot is tartalmaz (pl. PIPD-szabályozó), aminek hatására kedvező értéktartási és követési tulajdonságok alakíthatók ki (lásd integrálszabályozások). A folyamat általában többtárolós, holtidős tulajdonságú, ritkább esetekben nem minimumfázisú vagy labilis. Az általánosan előforduló leggyakoribb esetekben a szabályozási algoritmust PIPD-szabályozó reprezentálja, a folyamatot pedig kéttárolós, holtidős tag identifikálja. A hatáslánc matematikai modelljei ekkor:

 

DBE 100

 

Az ilyen átviteli függvényekkel jellemzett rendszerekben lejátszódó folyamatok hasonlóak a megelőző példa kapcsán tárgyalt egyszerű esettel, a különbség lényegét tekintve abban van, hogy a magasabb rendszám és a holtidő miatt az FI-rendszer is általában feltételesen stabilis, illetve az analitikus számítások mind az FI-, mind pedig a DI-esetekben lényegesen nehézkesebbek. Mindezek miatt a MATLAB szolgáltatásainak igénybevétele ekkor fokozott mértékben indokolt [8].

 

Folytatjuk!

 

   Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

 

  szbela13@gmail.com

  fjuhaszne@gmail.com  



[1] Ha az Ad állapotmátrixnak többszörös (több egymással azonos) λdi sajátértékei is vannak, az állapottranszformációval az itt nem részletezett ún. Jordán-alak állítható elő. A fizikai rendszert leíró linearizált FI-állapotegyenlet A állapotmátrixának általában egyszeres multiplicitású sajátértékei vannak, emiatt a diszkretizálás során adódó DI-modell Ad állapotmátrixa sem rendelkezik azonos sajátértékekkel. Mindezek miatt a Jordán-alaknak elméleti jelentés adható. Az Ad állapotmátrix λdi, λd(i+1) sajátértékeinek egy része konjugált komplex párokban is előfordulhat, ekkor az ezeknek megfelelő két elsőrendű rendszert egy másodrendű rendszerre célszerű összevonni. Ekkor a diagonális alak kissé módosul, de állapotmátrixában továbbra is valós számok szerepelnek.

[2] MATLAB támogatással:

 

[m,AdT]=eig(Ad);Td=inv(m);

AdT=inv(m)*Ad*m;     

%Ekkor Td=inv(m).

 

Vagy közvetlen utasítással:

 

[AdT,BdT,CdT,DdT,Td]=canon(Ad,Bd,Cd,Dd,’modal’);.

 

[3] Mint láthattuk, a T transzformációs mátrix megválasztásával ugyanazon dinamikus rendszer állapotegyenleteiben az állapotvektor és a paramétermátrixok sokféle alakot ölthetnek. A transzformáció megválasztásától függően lehet a rendszer állapotvektora irányítható, illetve megfigyelhető.

[4] A zérusok és pólusok kiszámítását a MATLAB [z,p,k]=tf2zp(Gs,Hs); függvénye, illetve a W(s) átviteli függvény részlettörtre bontását végző [r,p,k]=residue(Gs,Hs); utasítása támogatja.

[5] A strukturális stabilitás tulajdonsága a fizikai szabályozási rendszer matematikai modelljét absztraháló hatásvázlatra vonatkozik.

[6] Az adott elsőrendű rendszer esetében ez most egy lépést (Ts idő alatti beállást) jelent.

[7] Segítség: y(k)=Z-1{Ez-1z/(z-1)},

                     u(k)=Z-1{kc(1-Ez-1)z/(z-1)}=

                           =kcZ-1{z/(z-1)}-kcEZ-1{z-1z/(z-1)}.

[8] A magasabb rendszámú hibrid rendszereket és a DDC-szabályozó méretezését a „Hibrid-szabályozás rendszertechnikai méretezése” című fejezetben részletesen tárgyaljuk.