magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 7

A diszkrétidejű jel frekvenciaspektruma. A Shannon-tételek

A mintavételes rendszerek egyik fontos alapkérdése, hogy a folytonosidejű f(t) jel Ts mintavételezési idővel keletkeztetett f*(t)=f(t)δ*(t) függvénysorozatából ( δ*(t), δ(t-kTs) Dirac-delta  impulzussorozat, valamint k=-∞,…-2,-1,0,1,2…∞) az eredeti f(t) mintavételezetlen jel rekonstruálható-e? A kérdés megválaszolására Shannon dolgozott ki tételeket.

.

   Az f(t) folytonosidejű belépő jelből impulzusmodulációval (matematikai mintavételezéssel) származtatott diszkrét f*(t) függvénysorozat, valamint ennek diszkrét Laplace- és Z-transzformáltjai:

 

 DBE 77

Ha f(t) harmonikus komponensekre bontható, és e komponenseknek van olyan ωmax körfrekvenciájú összetevője, amelytől magasabb körfrekvenciájú összetevő nincs, akkor ezt a jelet sávkorlátozottnak nevezzük. Ennek a sávkorlátozott jelnek a Fourier-transzformáltja F(). A sávkorlátozott jelet ωs=2π/Ts körfrekvenciával [1] (Ts periódusidővel) mintavételezve, a f*(t) modulált jel F*() frekvenciaspektruma meghatározható. A részletszámításokat mellőzve ez a spektrum:

 

DBE 78  

 

Ennek jellegzetes tulajdonsága, hogy alapsávból (m=0), valamint oldalsávokból (m=±1,±2,±3, ) tevődik össze, és az alapsáv F*a()=F()/Ts. Ha a Ts mintavételezési időt úgy választjuk meg, hogy ωs=2π/Ts>2ωmax, akkor az alapsáv és az oldalsávok között nincs érintkezési pont, és átlapolódás sem keletkezik. Ekkor a mintavételezett f*(t) jelből az eredeti (mintavételezetlen) f(t) jel egy ideális aluláteresztő szűrővel [2] rekonstruálható. A mintavételezetlen, valamint  a mintavételezett jelek |F()| és |F*()| amplitúdóspektrumait a 1. ábra szemlélteti.

 

Béla Diszkrét 30

1. ábra A sávkorlátozott, mintavételezetlen jel F() és a mintavételezett jel

F*() amplitúdóspektrumai 

 

Az ábrából látható, hogy a modulált jel |F*a(jω)| alapsávja az eredeti jel frekvenciafüggvényének 1/Ts-szerese, és a ±mωs helyeken (m≥1) megjelennek az oldalsávok (2.b. ábra). Elméleti alapkérdés, hogy a modulált f*(t) jelből az eredeti f(t) jel visszaállítható-e? Shannon-tételei szerint a visszaállítás akkor lehetséges, ha egyrészt f(t) sávhatárolt (vagyis van ωmax határfrekvenciája), másrészt ha a Ts mintavételezési idő akkora, hogy f(t) ωmax körfrekvenciájú összetevőjéből a mintavételezés folyamatában több mint két mintát veszünk (ωs>2ωmax). Ekkor az oldalsávok nem „lógnak bele” az alapsáv spektrumába . Ennek eredményeként az f*(t) modulált jelet egy Ts erősítésű ideális aluláteresztő szűrőn átvezetve olyan jelet kapunk, amelynek spektrális tulajdonságai azonosak a modulálatlan (az eredeti f(t) folytonosidejű) jel |F()| spektrumával. Ebből pedig az is következik, hogy az ilyen szűrő fT(t) kimenőjele azonos az eredeti (a mintavételezetlen) f(t) jellel. Az f*(t) modulált jelből az eredeti f(t) rekonstruálásának folyamatát (a demodulációt) szemlélteti a 2 c. ábra. Az ideális, Ts erősítésű, aluláteresztő szűrő az oldalsávokat „levágja”, ezért az így keletkezett jel spektruma azonos az eredeti, modulálatlan jel spektrumával. Ideális szűrő azonban nem realizálható, a valóságban a f*(t) jelből zérusrendű tartószerv segítségével végezzük a rekonstruálást. A zoh frekvenciafüggvénye (szűrő karakterisztikája):

 

DBE 79

 

Ennek figyelembevételével az ideális szűrővel és a zérusrendű tartószervvel végrehajtott rekonstrukció tulajdonságait a 2. ábrán láthatjuk. Figyeljünk fel az ideális szűrő és a zérusrendű tartószerv absWzoh() frekvenciaátviteli tulajdonságai közötti különbségre. A zoh frekvenciafüggvényének

 

Ts|sin(x)|/x        (ahol: x=ωTs/2)

 

szerinti amplitúdómenete az ideális aluláteresztő szűrő amplitúdómenetét csupán közelíti, és az oldalsávokból is – ugyan erősen szűrve – harmonikus összetevőket enged át. A fizikai realitás azonban az, hogy a jelek sávkorlátozottsága általában nem áll fenn, legfeljebb az igen kis amplitúdóval szereplő nagyfrekvenciás összetevőket nem vesszük figyelembe. Ideális aluláteresztő szűrő sem létezik, mivel nem realizálható. Mindezekre való tekintettel a realizálható zoh által rekonstruált fT(t) lépcsős időfüggvény csupán közelíti az eredeti, f(t) mintavételezetlen jelet, vagyis a rekonstrukció elvileg nem lehet hibamentes. Különösen jelentős eltérések akkor keletkezhetnek, ha az F*() oldalsávjai „belógnak” az alapsávba (vagyis ha ωs<2ωmax, tehát a Shannon-törvényt nem tartjuk be), ekkor ugyanis még az ideális aluláteresztő szűrővel sem lehetne az eredeti jelet visszaállítani [3].

Béla Diszkrét 31

2. ábra Az eredeti jel rekonstrukciója ideális és realizálható (zoh) szűrővel

 

A DI dinamikus tag frekvenciafüggvénye

 

Megjegyzés

A folytonosidejű tag analízise kapcsán láttuk, hogy abban az esetben, ha a lineáris, aszimptotikusan stabilis (önbeálló), dinamikus FI-tag bemenetére u(t)=umaxsin(ωt) harmonikus jelet kapcsolunk, akkor ennek kimenetén – kellően hosszú idő eltelte után – ymax(ω)sin[ωt+φ(ω)] harmonikus válaszjel keletkezik. A kimenőjel válasz ymax(ω)=a(ω)umax amplitúdója és φ(ω) fáziseltolása a ω körfrekvencia függvénye, és a rezonanciahelyektől eltekintve ω→∞ mellett általában a(ω)→0, φ(ω)→-∞.

 

DBE 80

 

A W() Nyquist-helygörbe, az a(ω) amplitúdómenet- és a φ(ω) fázismenet-karakterisztikák (Nyquist-, illetve Bode-diagramok) azt mutatják meg, hogy a

W() frekvenciafüggvénnyel jellemzett FI-tag a ω körfrekvenciájú harmonikus jelet kvázistacioner állapotban milyen amplitúdóval, illetve milyen fáziseltolással engedi magán keresztül, vagyis a dinamikus tag, mint szűrő hogyan viselkedik. A W() frekvenciafüggvény a változónak Th=0 esetében algebrai törtje, egyébként egy exp(-jωTh) transzcendens tényezőt is tartalmaz. Ez utóbbinak az a(ω) amplitúdómenetre nincs befolyása, -ωTh fázistoló hatása kizárólag a φ(ω) fázismenetben jelenik meg. A bemenőjel körfrekvenciája ω=2π/T, és a kvázistacioner állapotban a kimenőjel körfrekvenciája is ezzel azonos (T a harmonikus jel periódusideje). Bár az a(ω) amplitúdó–körfrekvencia függvény a ω körfrekvenciának magas fokszámú hatványfüggvénye, az adB(ω)=20loga(ω) Bode-diagram amplitúdómenetének ábrázolását ennek aszimptotikus közelítése jelentősen leegyszerűsíti, az adB(ω) és a φ(ω) karakterisztikák a log(ω) függvényében egyszerűen felvázolhatók (lásd a korábbi anyagrészekben tárgyalt Bode-diagramokat).

    Ha a diszkrétidejű, lineáris, aszimptotikusan stabilis (önbeálló), dinamikus DI-tag bemenetére a folytonosidejű u(t)=umaxsin(ωt) (T=2π/ω periódusidejű) harmonikus jelből származtatható u(kTs)=umaxsin(ωkTs) harmonikus impulzussorozatot kapcsoljuk, akkor ennek kimenetén – kellően hosszú idő eltelte után – ymax(ω)sin[ωkTsd(ω)] harmonikus válaszjel keletkezik [4]. A kimenőjelválasz ymax(ω)=ad(ω)umax amplitúdója és φd(ω) fáziseltolása az ω körfrekvencia függvénye:

 

Egy 81

A DI-tag Wd(ejωTs) frekvenciafüggvénye az exp(jωTs) tényezőnek algebrai törtje, a jωTs változónak pedig transzcendens kifejezése. Mindezek miatt az ad(ω) amplitúdómenet és φd(ω) fázismenet ábrázolására az aszimptotikus Bode-diagramok nem használhatók [5]. A Wd(ejωTs)-függvény fontos jellemzője, hogy az ad(ω) amplitúdómenete és a φd(ω) fázismenete a Ts mintavételezési időnek is a függvénye. Ábrázolására a MATLAB igénybevétele ezért most fokozottan indokolt, a „kézi” számítások – időigényességük miatt – nagyon hosszadalmasak. A hibrid szabályozás DI-modelljének nyitottköri eredő impulzusátviteli függvénye

 

W0(z)=Wc(z)Wp(z)=G0(z)/H0(z)=y(z)/h(z);.

 

Az ennek megfelelő

 

W0d(ejωTs)=Wcd(ejωTs)Wpd(ejωTs)=absW0d(ejωTs)

exp[jarcW0d(ejωTs)]=a0d(ω)exp[jφ0d(ω)]

 

frekvenciafüggvény hasonló szerepet tölt be a DI-szabályozási rendszer stabilitásának vizsgálatában és szabályozójának méretezésében, mint amilyen szerepet a W0()=a0(ω)exp[0(ω)] frekvenciafüggvény az FI-szabályozási rendszer esetében betöltött. Ennek lényege itt is az, hogy a φt(ωc)=π+φ0d(ωc) fázistöbbletre vonatkozó méretezési előírást betartsuk. Ha φt(ωc)>π/3 (600), akkor a zárt DI-szabályozási rendszer eredő vR(kTs) átmeneti mintasorozatának túllendülésére megközelítően σ(%)<10% érték várható. Mindezek miatt a W0d(ejωTs) frekvenciafüggvény a0d(ω) amplitúdómenetének és φ0d(ω) fázismenetének a DI-szabályozási rendszer méretezésben is jelentős szerepe van [6]. A MATLAB 

 

[a0d,f0d,w]=dbode(G0z,H0z,Ts); 

[re0d,im0d,w]=dnyquist(G0z,H0z,Ts);

 

utasításai ezeket a transzcendens függvényeket kezelni képesek, ami a frekvenciafüggvényeken alapuló méretezésben jelentős segítséget nyújt (f0d a φ0d(ω) fázismenet, w az ω körfrekvencia MATLAB-változója). A z=exp(jωTs)=cos(ωTs)+jsin(ωTs) leképzés az s komplex sík -jπ/Tsπ/Ts képzetes tengelyének a fő tartományát a z sík egységsugarú körébe képezi le (a tartomány többi részében az értékek periodikusan ismétlődnek). Mindezek miatt a DI-rendszer W0d(ejωTs) helygörbéjét, az a0d(ω) amplitúdómenetet, valamint a φ0d(ω) fázismenetet a körfrekvenciának a 0<ω<π/Ts fő (alacsonyfrekvenciás) tartományban kell ábrázolni. 

 

Példa

Egy hibrid szabályozási rendszerben a diszkrétidejű, arányos (P) szabályozó impulzusátviteli függvénye Wc(z)=kc>0. A DI-szabályozó zérusrendű tartószerven keresztül Wp(s)=kp/(1+sTp), kp>0, Tp>0 átviteli függvényű, egytárolós, folytonosidejű folyamatot működtet. A mintavételezési idő Ts<p. A hibrid rendszer DI-jelekre homogenizált matematikai modellje a 3. ábrán látható [7].

 

Béla Diszkrét 32

 3. ábra Hibrid-szabályozás DI-modellje (példa)

 

A zérusrendű tartószervvel soros kapcsolást alkotó, Wp(s) átviteli függvényű FI-folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvénye az adott esetben:

 

DBE 82

 

A szabályozási rendszer DI-modelljében a felnyitott kör W0d(ejωTs) frekvenciafüggvénye, valamint Nyquist- és Bode-diagramja – a z=exp(ωTs) megfeleltetés értelmében – a ω körfrekvenciának transzcendens függvényei. Az adott esetre részletezve és K=kckp jelöléssel:

 

DBE 83

 

A DI nyitott kör frekvenciafüggvényének Nyquist- és Bode-diagramjait a 4. ábra tartalmazza.

 

Béla Diszkrét 33 

 4. ábra Hibrid-szabályozás DI-modelljének W0d frekvenciafüggvénye

 

Figyeljük meg, hogy a DI-szabályozás nyitott körének frekvenciafüggvénye – a z=exp(jωTs) megfeleltetés miatt – az FI-szabályozás W0()=K/(1+jωTp) frekvenciafüggvényéhez képest lényegesen körülményesebben számítható, a MATLAB szolgáltatásai ekkor szinte nélkülözhetetlenek. A DI-rendszer Nyquist-helygörbéjéből látható, hogy miközben a ω változó befutja a 0<ω<π/Ts intervallumot, a helygörbe a W0d sík pozitív valós tengelyének K pontjából indul és a negatív valós tengelyének -K(1-E)/(1+E) pontjába ér véget. Ha ez utóbbi (a K körerősítés és a Ts mintavételezési idő értékétől is függő) pont a -1+j0 helyen van, a DI-rendszer a stabilitás határára kerül [8].

     A DI-szabályozási rendszer felnyitott körének W0d frekvenciafüggvénye, valamint Nyquist- és Bode-diagramja azt mutatja meg, hogy akkor, ha a nyitott kör bemenetére egy i(t)=sin(ω1t) (T=2π/ω1) periódusidejű) FI-jelből Ts mintavételezéssel vett i(kTs)=sin(ω1kTs) DI-mintasorozatot kapcsolunk (T/Ts racionális), akkor az aszimptotikusan stabilis nyitott kör kvázistacioner állapotában létrejövő o(kTs)=a0d(ω1)sin[ω1kTs0d(ω1)] kimeneti mintasorozatának mekkora az a0d(ω1)=absW0d amplitúdója és a bemeneti mintasorozatához képesti φ0d(ω1)=arcW0d fáziseltolása. Ennek elvi vázlaton történő szemléltetése a 5. ábrán látható.

 

Béla Diszkrét 34

 5. ábra Stabilis DI-rendszer nyitott körének i(kTs) mintasorozatra adott o(kTs) mintasorozat válasza

 

DI-rendszer állapotirányíthatósága és megfigyelhetősége

Az állapot-differenciaegyenletével leírt diszkrét dinamikus rendszer tulajdonságai kapcsán is felvetődik az állapotirányíthatóság és a megfigyelhetőség témaköre. A DI-rendszer (vagy jelátvivő tag) állapotirányíthatóságának és megfigyelhetőségének fogalmai és feltételei hasonlóak az FI-rendszer hasonló fogalmaihoz és feltételeihez, de most ezek értelemszerűen a diszkrét állapot-differenciaegyenlet u(k), y(k) bemenő- és kimenőjeleihez, az x(k) állapotváltozóihoz és a DI-rendszer Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixaihoz kötődnek. A DI-állapottérben meg kell különböztetni egy tetszőleges állapotból az állapottér origójába történő állapotirányítást attól az esettől, amikor egy tetszőleges végállapotba kívánjuk irányítani a DI-rendszert. Ez utóbbi esetet elérhetőségnek nevezzük. Most is az állapottrajektória írja le a rendszer mozgását, de ennek paraméterezése a kTs diszkrét idő, a trajektória pedig egy x(kTs) vektor végpontjával jellemzett pontsorozat, amelynek mozgását az u(kTs) bemeneti mintasorozat váltja ki. DI-rendszer esetében megkülönböztetjük a megfigyelhetőséget (amikor is a rendszer jövőbeli megfigyeléseiből határozzuk meg az aktuális állapotvektort) és a rekonstruálhatóságot (amikor is a rendszer múltbeli megfigyeléseiből számítjuk az aktuális állapotot). A folytonosidejű rendszerek irányíthatóságára és megfigyelhetőségére kapott eredmények közvetlenül átvihetőek a DI-rendszerekre [9] is.

 

Definició 1

 

Fontos megjegyeznünk, hogy – az FI-rendszerekhez hasonlóan – sem az irányíthatóság, sem a megfigyelhetőség feltételei nem igénylik a DI dinamikus rendszer stabilitását. Ha pl. egy labilis DI-rendszer Ad, és Bd paramétermátrixai irányítható párt alkotnak (vagyis az Ad állapotmátrixszal leírt dinamikus rendszer a Bd mátrixszal szimbolizált bemeneteken keresztül állapotirányítható), akkor labilis DI-rendszer mellett is létezik olyan u(kTs) bemenőjel, amely az állapotvektort az x(0)≠0 kezdeti állapotából az előírt

x(kvTs)=0 állapotába véges diszkrét idő alatt átviszi.

     Mint korábban láttuk, az Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixokkal reprezentált DI-rendszermodell az A, B, C, D mátrixokkal leírt FI-folyamatmodellből is származtatható, annak digitális szimulációja. Ha az FI-modell irányítható és megfigyelhető tulajdonságokkal rendelkezik (vagyis a W(s)=C(sI-A)-1B+D átviteli függvényében nincs pólus–zérus azonosság), a diszkretizált DI-modell nem biztos, hogy ezeket a tulajdonságokat átörökíti. Az irányítható és megfigyelhető SISO FI-rendszer diszkretizált DI-modellje az irányíthatóságát és megfigyelhetőségét akkor tartja meg, ha az FI-rendszer A állapotmátrixának két, egymásnak konjugált komplex λii+jωi, λi+1i-jωi sajátértékére az

 

DBE 84

 

feltétel teljesül. E tétel szerint az irányíthatóság és megfigyelhetőség fennmaradásának feltétele, hogy az azonos valós részű sajátértékek imaginárius részének 2ωi különbsége ne legyen a mintavételezési körfrekvencia egész számú többszöröse. Ha e feltétel nem teljesül, a mintavételezés a rejtett lengéseket nem tudja kimutatni, ami például a DI-rendszer megfigyelhetőséget is lehetetlenné teszi.

 

Példa

A W(s)0/(s202)0/[(s+jω0)(s-jω0)] átviteli függvényű FI-tag pólusai, illetve A állapotmátrixának sajátértékei λ1=0+jω0 és λ2=0-jω0. A tag átmeneti függvénye ω0 körfrekvenciájú harmonikus komponenst tartalmaz. Bizonyíthatóan az FI-folyamat irányítható és megfigyelhető, ami onnan is látszik, hogy a W(s) átviteli függvényének – zérusa nem lévén – pólus–zérus egyezése nincs. A folyamat SRE-típusú diszkretizálásával kapható a W(z) impulzusátviteli függvénye:

 

DBE 85

 

Ha imag(λ12)=2ω02mπ/Ts=mωs, akkor a DI-rendszer is irányítható és megfigyelhető marad. Ha azonban 2ω0=2mπ/Ts (ω0Ts=mπ, m≠0), akkor W(z) kifejezésében pólus–zérus egyezés van (m páratlan értéke mellett), vagy az

 

[1-cos(ω0Ts)]=[1-cos()]=0

 

átviteli tényező zérussá válik (m páros értéke esetén). Az irányíthatósági mátrix rangja mindkét esetben azonos a DI-rendszer n=2 rendszámával, de a megfigyelhetőségi mátrix ekkor szinguláris, vagyis a megfigyelhetőség a diszkretizálással elvész [10]

   A DI-rendszer is irányítható és megfigyelhető (SIM), irányítható, de megfigyelhetetlen (SIN), irányíthatatlan, de megfigyelhető (SNM), valamint irányíthatatlan és megfigyelhetetlen (SNN) alrendszerekre bontható. A W(z) impulzusátviteli függvény kizárólag az irányítható és megfigyelhető (SIM) alrendszerekről tájékoztat.

 

Folytatjuk!

 

   Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

 

  szbela13@gmail.com

  fjuhaszne@gmail.com  



[1] Az ωs/2=π/Ts a Nyquist-körfrekvencia.

[2] Az ideális aluláteresztő szűrő a 0<ω<ωs/2 körfrekvencia intervallumban torzítás nélkül engedi át magán a harmonikus jeleket, az ωs/2<ω>∞ körfrekvencia intervallumban pedig minden jelet kiszűr. Ilyen ideális szűrő nem realizálható, a zérusrendű tartószerv ennek az ideális szűrőnek egyfajta közelítése.

[3] Irodalom: Dr. Tuschák Róbert: Szabályozástechnika. Műegyetemi Kiadó.

[4] A folytonosidejű periodikus jelből származtatható, diszkrétidejű u(kTs) bemeneti és az y(kTs) kimeneti mintasorozatok  periodikusak, ha Ts/T <<1 hányados racionális.

[5] A diszkrét tag Wd(ejωTs) frekvenciafüggvényének, ad=absWd amplitúdómenetének és φd=arcWd fázismenetének a jelölésénél a d indexet megtartjuk, ezzel is jelezve, hogy itt a ω körfrekvencia transzcendens függvényeiről van szó, vagyis Wd(ejωTs) a változónak nem algebrai törtje.

[6] Mivel jelen esetben a z=exp(jωTs) megfeleltetés miatt a W0d(ejωTs) a ωTs változónak transzcendens függvénye, ezért az a0d(ω), φ0d(ω) gyors felvázolásában az aszimptotikus Bode-diagramok közvetlenül nem használhatók. Az irodalom jelentős része tárgyalja azt a témakört, hogy a

W0d(ejωTs) különféle közelítései mellett az aszimptotikus Bode-diagramok használatát lehetővé tegye. A rendelkezésre álló számítógépes szolgáltatások következményeként azonban ezek a közelítések ma már nem szükségesek.

[7] Ez egy igen egyszerű eset, mivel a DDC-szabályozó késleltetés nélküli, arányos tag (impulzuátviteli függvénye Wc(z)=kc), az FI-folyamat pedig kp>0 átviteli tényezőjű és Tp>0 időállandós egytárolós, arányos (önbeálló) tag. A diszkretizálást a hatásláncban jelenlévő mintavételezés és zérusrendű tartás miatt kell végrehajtani.

[8] Már most megjegyezzük, hogy a W0(s)=K/(1+sT) nyitottköri átviteli függvénnyel rendelkező FI szabályozási rendszer modellje bármekkora K=kckp>0 körerősítés mellett stabilis (strukturális stabilitás), ezzel szemben a szabályozó diszkrét volta miatt a hibrid rendszer DI-modellje a körerősítés Kkr=kckp>(1+E)/(1-E) értékénél labilissá válik (feltételes stabilitás). Mindennek az előidézője a hibridrendszer hatásláncában jelenlévő mintavételezés és zérusrendű tartás.

[9] A DI-rendszerek elérhetőségi és rekonstruálhatósági feltételeivel itt nem foglalkozunk. Irodalom: Bokor JózsefGáspár Péter: Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal. Typotex Kiadó.

[10] Irodalom: Csáki Frigyes: Szabályozások dinamikája. Akadémiai Kiadó. 

 

   
Advertisement