magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 6

Diszkrétidejű SISO-tagok csoportosítása átmeneti mintasorozataik alapján

Sorra vesszük a diszkrétidejű SISO-tagok csoportosítási lehetőségeit az átmeneti mintasorozataik alapján, majd rátérünk az önbeálló és nem önbeálló diszkrét tagok jellemzésére.

.

    Az n rendű diszkrét lineáris SISO-tag impulzusátviteli függvénye:

 

DBE 60

 

Az ezzel egyenértékű (Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixokkal jellemzett) állapotegyenlet [1] és a paramétermátrixokkal is kifejezhető impulzusátviteli függvény:

 

DBE 61

 

A paramétermátrixokat a W(z) impulzusátviteli függvény ai és bi együtthatói egyértelműen meghatározzák. Az Ad állapotmátrix mérete n×n, valamint a SISO-tagnak egy bemenőjele (j=1) és egy kimenőjele (k=1) következtében Cd sorvektor, Bd oszlopvektor, Dd skalár. A diszkrét W(z) impulzusátviteli mátrix az adott esetben szintén skalár, tehát egyetlen impulzusátviteli függvényt tartalmaz. Ez most a kimenő és a bemenő DI-mintasorozatok Z-transzformáltjának hányadosaként is definiálható. A SISO-tag W(z) impulzusátviteli függvénye tehát olyan algebrai tört, amelynek

 

H(z)=det(zI-Ad)=a0zn+a1zn-1+…+an

G(z)=Cd adj(zI-Ad)Bd+Dd det(zI-Ad)=b0zm+b1zm-1+…+bm

 

nevezője a z változónak n fokszámú, számlálója pedig a z változónak 0≤m≤n fokszámú polinomjai. W(z) polinomiális [2] alakjából határozható meg az impulzusátviteli függvény pólus–zérus eloszlást tartalmazó (gyöktényezős) kifejezése:

 

DBE 62

 

A W(z) impulzusátviteli függvény elvileg lehetséges pólus–zérus eloszlása [3] a 1. ábrán látható.

 

Béla Diszkrét 22

1. ábra Diszkrét tag impulzusátviteli függvényének pólus–zérus eloszlása

 

Miután a W(z) impulzusátviteli függvény

 

H(z)=a0zn+a1zn-1+…+an=a0(z-zp1)(z-zp2)…(z-zpn)

 

nevezője és 

 

G(z)=b0zm+b1zm-1+…+bm=b0(z-zz1)(z-zz2)…(z-zzm)

 

számlálója z-nek valós együtthatójú polinomjai, ezért az algebra alaptételének értelmében az m számú zzi zérus, illetve az n számú zpi pólus a valós tengelyen (zzl=αzl, zplpl), illetve a valós tengelyre szimmetrikusan (konjugált komplex párban: zzlzl±jβzl, zplpl±jβpl) helyezkedhetnek el. Az origóban lévő pólusok és zérusok kiejtik egymást, és q számú pólus vagy zérus marad meg a komplex számsík origójában [4] (q>0 esetében az origóban lévő pólusok száma nagyobb, mint a zérusok száma). A gyöktényezős alak másodfokú tényezőiben a konjugált komplex párokat összevontuk, ezekben (αz2z2)1/2=|zz| és (αp2p2)1/2=|zp| a zérus, illetve a pólus abszolút értéke. Ha W(z) minden zpl pólusa a komplex sík egységsugarú körében van, akkor a tag aszimptotikusan stabilis.

     A diszkrét tag tranziens folyamataiban a zpl pólusoknak meghatározó szerepe van, a tag w(k) súlysorozata (zpl)k={1, zpl, zpl2, zpl3, … , zplk, } elemekből épül fel. Látható, hogy a |zpl|<1 és k→∞ estében zplk0, vagyis a zpl pólushoz tartozó súlysorozat-komponens „lecseng”. Ha viszont a pólusok között legalább az egyik egységnyi vagy ettől nagyobb (|zpl|1), akkor a kimeneti mintasorozat mintái „nem csengenek le” (|zpl|=1), vagy egyre növekvő értékeket vesznek fel (|zpl|>1). Mindezek miatt a zpl pólusoknak az egységsugarú körhöz képesti elhelyezkedésének a tranziensek szempontjából meghatározó jelentősége van [5]. A W(z) zzl zérusai is hatást gyakorolnak a tranziens folyamatra, de csak abban az értelemben, hogy a pólusok keltette rl(zpl)k összetevők rl tényezőit (a zpl pólushoz tartozó reziduumot) befolyásolják. Ha egy zzl zérus nagyon közel kerül egy zpl pólushoz, akkor a zpl pólushoz tartozó rl tényező nagyon kis értékű. Ha zzl=zpl (vagyis zérus–pólus egybeesés esete van), akkor ez a tényező zérussá válik, ott sem zérus, sem pólus nincs, ami megfelel a gyöktényezőkkel történő egyszerűsítésnek.

 

Példa

A hibrid szabályozás DI-modelljének W0(z) nyitottköri eredő impulzusátviteli függvénye a soros kapcsolást alkotó szabályozó és folyamat impulzusátviteli függvényeit tartalmazó W0(z)=Wc(z)Wp(z) szorzat. Ennek egyfajta gyöktényezős normál alakja:

 

DBE 63

 

W0(z) pólus–zérus alakjából  2+n-1 számú zérus (zci, zcd, zz1,…, zz(n-1)) és 2+n+l számú pólus (z=0 és zp=1, valamint zp1,…, zpn) határozható meg. A szabályozó méretezésének alapelve, hogy a  két legnagyobb Tp1>0, Tp2>0 időállandóból származó zp1=exp(-Ts/Tp1), zp2=exp(-Ts/Tp2) pólusát kompenzáljuk (egyszerűsítéssel „kiejtsük”) a szabályozó zci=zp1, zcd=zp2 zérusával. Ez a kiejtés nem lehet egzakt, mivel a folyamat Tp időállandói munkapontfüggő értékek. Mindezek miatt a pólus zérussal történő „eltüntetéséről” kizárólag az egységsugarú kör belsejében (a stabilitási tartományban) lévő pólusok esetében lehet szó, amikor is a nem tökéletes pólus–zérus egyezés problémát nem jelent.

    Tanulságos lehet a W(z)=(z-zc)/(z-zp) impulzusátviteli függvénynek megfelelő Z-1{W(z)}=w(k) súlysorozat és a Z-1{zW(z)/(z-1)}=v(k) átmeneti mintasorozat tanulmányozása zc és zp különféle értékeire. Ennek elvégzését az olvasóra bízzuk. Segítség az inverz transzformációhoz:

 

w(k)=Z-1{W(z)}=Z-1{z/(z-zp)-zc/(z-zp)}. 

 

Legyen a bemenőjel az u0=állandó elemekből álló

u(k)=u01(k)={u0, u0, u0,…} mintasorozat (ami például az u(t)=u01(t) FI-jelből is származtatható. Elvileg lehetséges, hogy ennek a bemeneti mintasorozatnak a hatására a diszkrétidejű tag kimenetén létrejön a kimenőjel olyan y(k) mintasorozata, amelynek k→∞ esetén y(k)k→∞ mintái y()=y0=állandó≠0 értékhez tartanak (az ilyen tulajdonságú diszkrét tag aszimptotikusan stabilis, és önbeálló). Ebben az „állandósult állapotban” a k diszkrét idő elég nagy értékeinél a DI-jel y(k) és y(k-i) megelőző mintái már gyakorlatilag mind egyformák. A diszkrét rendszer állandósult állapotában is az u(k) és y(k) mintasorozatok kielégítik a tag differenciaegyenletét, ezért:

 

a0y()+a1y(∞–1)+…+any(∞–n) = b0u(∞)+b1u(∞–1)+…+bmu(∞–m)

a0y0+a1y0+…+any0 = b0u0+b1u0+…+bmu0

y0(a0+a1+…+an) = (b0+b1+…+bm)u0.

 

Innen a kimeneti minta k=∞ esetén felvett (állandósult) értéke:

 

DBE 64 

 

Ebben kd az önbeálló DI-tag átviteli tényezője, amely azt mutatja meg, hogy az állandósult állapot y0 kimeneti mintája a bemeneti u0 állandó mintának hányszorosa (y0=kdu0). Az aszimptotikusan stabilis DI-rendszer állandósult állapotának kialakulása a diszkrét állapotegyenlet alapján is vizsgálható. Az

u(k)=u01(k) bemeneti mintasorozat esetében az aszimptotikusan stabilis rendszer állandósult állapotában u()=u0, és x(∞+1)=x() mellett:

 

DBE 65

 

ahol kd=Cd(I-Ad)1Bd+Dd az aszimptotikusan stabilis, önbeálló diszkrét tag átviteli tényezője, dc-erősítése [6].

      A lineáris, diszkrét SISO-tag egyik rendszerjellemző függvénye a v(k) átmeneti mintasorozat. Ez a tag y(k)=v(k) kimenő mintasorozata, ha a gerjesztő jel mintasorozata az u(k)=1(k)={1,1,…,1,…} egységminta-sorozat, és a kezdeti feltételek zérusok. A W(z)=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvény ismeretében a v(k) átmeneti mintasorozat Z-transzformáltja, illetve ennek inverz transzformáltja [figyelembe véve, hogy az egységminta-sorozat Z-transzformáltja Z{1(k)}=z/(z-1)]:

 

DBE 66

 

A v(k) átmeneti mintasorozatnak a diszkrét időben történő lefolyása alapján a diszkrét jelátvivő tagokat – hasonlóan, mint ahogy azt a folytonos tagoknál is tettük – egymástól karakterisztikusan elkülönülő csoportokba sorolhatjuk. Ezek a felosztások az önbeálló és a nem önbeálló DI-tagok.

 

Önbeálló diszkrét tagok

Az önbeálló (arányos jellegű), lineáris, diszkét tagok jellegzetes tulajdonsága, hogy v(k) átmenti mintasorozatuk (az egységminta-sorozatra adott válaszuk) végértéke v()=kd0 állandó érték (kd az önbeálló diszkrét tag átviteli tényezője, dc-erősítése). Ennek jelentése az, hogy a bemeneten működtetett u(k)=u01(k) gerjesztés hatására keletkező y(k) kimenő mintasorozat a tranziensek lejátszódása után beáll egy y()=kdu0 állandó (de nem zérus) értékre. Az önbeálló tag impulzusátviteli függvényének minden zpi pólusa az egységsugarú kör belsejében van, vagyis az önbeálló tag aszimptotikusan stabilis. Átmeneti mintasorozatának jellegzetes grafikonja, valamint póluseloszlása a 2. ábrán látható.

 

Béla 23  

2. ábra Az önbeálló DI-tag jellegzetes tulajdonságai

 

Az önbeálló tag pólusai az egységsugarú körben vannak, és az egységugrás mintasorozatra adott v(k) válasza k→∞ esetén v()=kd állandó értékhez tart. A kialakuló tranziens folyamat igen lassan csillapodik, ha a pólusok vagy póluspárok valamelyike az egységsugarú kört belülről közelíti meg.

 

Nem önbeálló diszkrét tagok

A nem önbeálló DI-tagok jellegzetes tulajdonsága, hogy v(k) átmeneti mintasorozatuk

   •  végértéke zérus (differenciáló jellegű, diszkrét tagok),

   •  végértéke végtelen (integráló jellegű, diszkrét tagok),

   •  kvázistacioner állapotban periodikus lengőmozgást végez (lengő jellegű, diszkrét tagok).

Ezeket a tulajdonságokat a 3. ábrán példákkal szemléltetjük [7].

 

Béla Diszkrét 24 

3. ábra A nem önbeálló diszkrét tagok átmenti mintasorozatai (példák)

 

Figyeljünk fel az elsőrendű FIR-szűrőt definiáló DI-tag W(z) impulzusátviteli függvényének és v(z) átmeneti mintasorozatának tulajdonságaira:

 

DBE 68

 

Ez a tag kizárólag g=-1 paraméternél definiál diszkrétidejű ideális differenciáló tagot, g≠-1 esetben a tag önbeálló. A v(k) átmeneti mintasorozat meghatározását g  értékeire az olvasóra bízzuk. Segítség: a

Z–1{z/(z-1)} inverz transzformált az egységminta-sorozat, a Z-1{g[z/(z-1)]z-1} inverz transzformált g mintaelemekből álló, egy lépéssel késleltetett mintasorozat. A nem önbeálló DI-tagok v(k) átmeneti mintasorozatainak általános tulajdonságait a 4. ábra mutatja.

 

Béla Diszkrét 25

4. ábra Nem önbeálló DI-tagok jellegzetes átmeneti mintasorozatai

 

Az átmeneti mintasorozatokból látható, hogy az aszimptotikusan stabilis, önbeálló DI-tag az állandó gerjesztésre, állandósult állapotban, állandó értékű (de nem zérus) kimenőjel választ ad. Nem így az integráló jellegű és a lengő DI-tagok, amelyeknek kimenőjelei az állandó bemenőjel hatására állandó kimenőjelet felvenni nem képesek (gerjednek). A differenciáló jellegű diszkrét tag ugyan aszimptotikusan stabilis, de bármekkora is az állandó mintákból álló bemenőjel mintáinak az értéke, a kimenőjel állandósult mintájának értéke minden esetben zérus [8]. A differenciáló diszkrét tag impulzusátviteli függvényének jellegzetes tulajdonsága a stabilis pólusok, valamint a zz=1 helyen lévő zérus.

     A hibrid szabályozási rendszer diszkrétidejű modelljének bemeneti mintasorozata a szabályozott jellemző yA(k) előírt értékét megjelenítő ua(k) alapjel mintasorozat, kimeneti jele pedig a szabályozott jellemző y(k) tényleges értékének mintasorozata. A negatívan visszacsatolt eredőrendszer jelátviteli tulajdonságait – hasonlóan a folytonosidejű szabályozási rendszerekhez – most is kizárólag az önbeállóság jellemezheti, még abban az esetben is, ha valamelyik alrendszerére ez a feltétel nem teljesül (az ua(k)=1(k) alapjel egységminta-sorozatra a szabályozott jellemző y(k)=vR(k) mintasorozatának előbb-utóbb állandó értéket kell felvennie, miután az alapjel a szabályozott jellemző kívánt értékét reprezentálja). A labilitás a szabályozó alrendszerére általában fennáll, miután Wc(z) – a kedvező értéktartási és követési tulajdonságok megvalósítása miatt – rendszerint integráló fokozatot is tartalmaz.

 

Példa

Tervezzük meg a diszkrétidejű tag W(z) impulzusátviteli függvényét, ha követelményként írjuk elő, hogy az egységminta-sorozat bemenőjelre az alábbi v(k) átmeneti mintasorozat választ adja (5. ábra).

 

Béla Diszkrét 26

5. ábra Az u(k)=1(k) gerjesztésre előírt y(k)=v(k) válasz

 

Megoldás

A v(k) mintasorozat  egy diszkrét ideális differenciáló tag vD(k)={10,0,0,}, valamint egy diszkrét integráló tag [9] vI(k)={0,1,2,…,k,k+1,} mintasorozatainak összegeként állítható elő (6. ábra). 

Béla Diszkrét 27  

 6. ábra A vD(k) és vI(k) mintasorozat-komponensekből felépített eredő v(k) mintasorozat

 

Miután az u(z)=z/(z-1) mintasorozatra előírt válasz y(z)=v(z), az ezt előállító tag impulzusátviteli függvénye:

 

DBE 69

 

A tervezett diszkrétidejű tag differenciaegyenlete az impulzusátviteli függvénye alapján:

 

(1-z-1)y(z)=(10-19z-1+10z-2)u(z)→y(k)=y(k-1)+10u(k)-19u(k-1)+10u(k-2) .

 

A W(z) impulzusátviteli függvény folytonos rendszerből is származhat például olyan módon, hogy az u(kTs) mintasorozat zérusrendű tartón (D/A-átalakítón) keresztül működteti a W(s) átviteli függvényű folytonos folyamatot, amelynek folytonosidejű y(t) kimenőjelét a mintavételező (A/D-átalakító) y(kTs) diszkrétidejű jellé alakítja át. Az u(kTs) és az y(kTs) diszkrétidejű jelek között definiálható a folytonos modellből származtatható egységugrás-ekvivalens impulzusátviteli függvény (7. ábra).

 

Béla Diszkrét 28

7. ábra W(z) diszkrétidejű modell származtatása a folytonosidejű W(s) átviteli függvényből

 

Az u(kTs) → y(kTs) függvénykapcsolatot korábban már részleteztük. Akkor a folytonos folyamatot a dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t), y(t)=Cx(t)+Du(t) állapotegyenletével (az A, B, C, D paramétermátrixokkal) írtuk le, és a diszkrét modell SRE-típusú x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k), y(k)=Cdx(k)+Ddu(k) állapotdifferenciaegyenletét (az Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixokat) határoztuk meg. Lényegét tekintve ezúton is a diszkrét modellt számítjuk, de ezt most a folyamat W(s) átviteli függvényének ismeretében tesszük, és a folytonosidejű W(s) átviteli függvénynek megfelelő diszkrétidejű W(z) impulzusátviteli függvényt keressük.

     Ha a W(s) átviteli függvény aszimptotikusan stabilis önbeálló tagot jellemez, akkor ezt a tulajdonságot a W(z) is megtartja. Ennek magyarázata az, hogy a tartószerv uT(t) kimenőjele – az egységminta-sorozat u(kTs) bemenőjelének következményeként – egységugrás, ezért t→∞ mellett y()=v()=állandó, vagyis v(kTs)k=∞=állandó, tehát a mintavételezés és a zoh az adott – nyitott hatásláncú – esetben a stabilitást nem befolyásolja [10]. Hasonló tulajdonság érvényes a nem önbeálló tagokra is. Ha W(s) differenciáló, integráló vagy lengő jellegű tulajdonságot mutatott, a W(z) diszkrét modellben ez általában szintén átöröklődik. Alapvetően más a helyzet, ha a zoh és a mintavételezés a visszacsatolást tartalmazó, zárt hatáslánc belsejébe kerül. Ekkor a Ts mintavételezési idő helytelen (túlságosan nagy értékű) megválasztása a visszacsatolt hibrid rendszer labilitását eredményezheti (lásd a későbbiekben tárgyalásra kerülő „DI-szabályozó rendszertechnikai méretezése” című fejezetet).

     Legyen a folytonosidejű, holtidő nélküli tag átviteli függvénye a

W(s)=G(s)/H(s) algebrai tört. Az ebből zérusrendű tartóval származtatható W(z) impulzusátviteli függvény általános alakja [11]:

 

DBE 70

 

Ebben v(kTs) az FI-tag v(t) átmeneti függvényéből képzett mintasorozat. Akkor, ha a W(s) átviteli függvény H(s) nevezőjének nincsenek egyforma gyökei, és egyik gyök sem zérus, akkor a W(s) átviteli függvénynek megfelelő W(z) impulzusátviteli függvény az alábbiak szerint határozható meg:

 

DBE 72 

 

Példa

A két energiatárolós, folytonosidejű tag átviteli tényezője k=1, időállandói Tp1=1, Tp2=1/2, és ennek megfelelően a W(s) átviteli függvénye:

 

DBE 73

 

Ts=1/10 mintavételezési idő és zérusrendű tartás mellett számítsuk ki az FI-tagból származtatható W(z) impulzusátviteli függvényt. 

DBE 74

 

A feladat megoldásának egy másik eljárása az lehet, hogy a W(s) átviteli függvényhez (a W(s) közvetlen vagy párhuzamos felbontását alkalmazva) meghatározzuk az FI-tag A, B, C, D paramétermátrixait (tf2ss), majd ezek és a Ts mintavételezési idő ismeretében kiszámítjuk a DI-tag  Ad=exp(ATs),

Bd=A1[exp(ATs)-I]-1B, Cd=C, Dd=D mátrixait (c2dm), és ennek alapján a W(z) impulzusátviteli függvényt: W(z)=Cd(zI-Ad)-1Bd+Dd (ss2tf).

Ugyanez MATLAB-támogatással:

 

Gs=1;Hs=conv([1 1],[1/2 1]);Ts=1/10;

[Gz,Hz]=c2dm(Gs,Hs,Ts,’zoh’);[z,zp,k]=tf2zp(Gz,Hz);

 

vagy

 

[A,B,C,D]=tf2ss(Gs,Hs);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,’zoh’);

[Gz,Hz]=ss2tf(Ad,Bd,Cd,Dd);printsys(Gz,Hz,’z’);

 

Látható, hogy az FI-rendszer W(s) átviteli függvényének pi pólusai a DI-rendszer W(z) impulzusátviteli függvényében a zpi=exp(piTs) diszkrét pólusokban jelennek meg. A zérusok transzformációjára ez nem így van. Ha

W(s) n-m>0 pólustöbblettel rendelkezik (n>m), akkor a G(z) számlálónak mindig n-1 számú zérusa van, bármekkora is W(s) pólustöbblete. W(s) m számú zi zérusai – hasonlóan a pi pólusokhoz – közelítőleg zzi≈exp(ziTs) szerint képződnek le, a többi n-m-1 zérus transzformációja pedig más törvényszerűség szerint alakul. Ez utóbbi diszkrét zérusoknak nincs folytonosidejű megfelelőjük, és rendszerint a z sík negatív valós tengelyére esnek. Kimutatható továbbá az is, hogy a folytonos megfelelővel nem rendelkező zérusokból n-m>2 pólustöbblet esetében egy, n-m>4 esetében kettő stb. diszkrét zérus nagyobb az egységnél [12].

 

Példa

A folytonosidejű tag átviteli függvénye:

 

DBE 75

 

Ts=0,2 mintavételezési idő és zérusrendű tartás mellett számítsuk ki az FI-tagból származtatható DI-tag W(z) impulzusátviteli függvényét. MATLAB-támogatással:

 

Gs=[1,1];Hs=conv([2,1],conv([3,1],conv([4,1],[5,1]))); Ts=0.2;[Gz,Hz]=c2dm(Gs,Hs,Ts);[z,zp,k]=tf2zp(Gz,Hz);.

 

DBE 76 

Az egyenletben található gyökök számítása:

 

exp(-0,2*1)=0,8187,   exp(-0,2*(1/2))=0,9048,   exp(-0,2*(1/3))=0,9355,   

exp(-0,2*(1/4))=0,9512,   exp(-0,2*(1/5))=0,9608. 

 

A zz=-3,6771 és a zz=-0,2643 zérusoknak nincs folytonosidejű megfelelője. 

 

A W(s)=G(s)/H(s) átviteli függvényével leírt folytonosidejű rendszerből származtatható, diszkrétidejű rendszer W(z)=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvényének meghatározása – néhány egyszerű esettől eltekintve – nehézkes számítási eljárással lehetséges. Ennek során el kell végezni a v(t)=L1{W(s)/s} inverz Laplace-transzformációt, majd az így kapott v(t) átmeneti függvényből képezni kell a v(kTs) mintasorozatot és ennek Z{v(kTs)} Z-transzformáltját, és mindezek ismeretében

W(z)=(1-z-1)Z{v(kTs)}. A MATLAB szolgáltatása ekkor jelentős támogatást nyújt, például:[Gz,Hz]=c2dm(Gs,Hs,Ts,’zoh’);.

 

Megjegyzés

A folytonosidejű és a diszkrétidejű rendszerek közötti többféle lehetséges kapcsolat közül az egységugrás ekvivalens (SRE) típust tárgyaltuk. Általában az ekvivalens DI-modell mintasorozatokkal szimulálja az FI-modell működését, vagyis a DI-modell az FI-modellhez hasonló működést mutat (8. ábra). 

Béla Diszkrét 29 

8. ábra Az FIDI szimuláció

 

A szimulációnak egyik célja a számítások egyszerűsítése, mert a DI-rendszer matematikai modellje (a differenciaegyenlet megoldása) az FI-rendszer matematikai modelljénél (a differenciálegyenlet megoldásánál) egyszerűbben számítható. Egy másik cél a W(s) realizálása, ami a W(s) átviteli függvénynek a W(z) impulzusátviteli függvénnyel történő szimulációjával lényegesen egyszerűbb, miután ez utóbbiban egy digitális számítógépen futó program futása jelenti a realizálást. A folytonosidejű W(s) átviteli függvény diszkrétidejű W(z) impulzusátviteli függvénnyel történő megfeleltetése ideális, ha a DI- rendszer y(kTs) válasza megegyezik az FI- rendszer y(t) válaszainak mintáival, bármilyen u(t), illetve u(kTs) gerjesztés esetén. Ez a követelmény csak igen egyszerű esetben teljesül (például, ha W(s)=kc → W(z)=kc). Az általános célkitűzés az lehet, hogy a W(z) diszkrétidejű modell bizonyos értelemben optimális és ugyanakkor egyszerű is legyen. Az nyilvánvaló, hogy a szimuláció annál pontosabb, minél kisebb a Ts mintavételezési idő (lásd például a SRE-típusú megfeleltetést) vagy minél nagyobb a ωs=2π/Ts mintavételi körfrekvencia. A Ts elfogadható legnagyobb értékét egyrészt az FI-jelek sávszélessége, másrészt az FI-rendszer frekvenciafüggvényének sávszélessége, A állapotmátrixának sajátértékei befolyásolják. Mindenesetre alapkövetelménynek tekintjük, hogy a szimuláció őrizze meg a rendszer kauzalitását[13] és stabilitását, ha az FI-rendszer rendelkezett ezekkel a tulajdonságokkal. Az alapprobléma: mit válasszunk a szimuláció jóságának mértékéül? A különféle szimulációs módszerek az FI-rendszer w(t) impulzus válaszán, v(t) egységugrás válaszán, a W() frekvencia függvényén, a W(s) átviteli függvényén és a rendszer állapotváltozós leírásán alapszanak. Ezek részletezésére azonban nem térünk ki, jelen munkában a SRE (egységugrás válaszon alapuló) szimulációt használjuk [14].

 

Folytatjuk!

 

   Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

 

  szbela13@gmail.com

  fjuhaszne@gmail.com 



[1] Az Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixok a W(z) impulzusátviteli függvény közvetlen, a párhuzamos vagy az egyéb felbontásai alapján határozhatók meg. Vagy MATLAB-támogatással a közvetlen felbontásnak megfelelő alak: [Ad,Bd,Cd,Dd]=tf2ss(Gz,Hz);.

[2] Ez az alak formális hasonlóságot mutat az FI-rendszer W(s) átviteli függvényével. A lényegi különbség azonban az, hogy a DI-rendszer jelei mintasorozatok, és a W(z) impulzusátviteli függvény azt mutatja meg, hogy az u(k) bemeneti mintasorozatból a lineáris, diszkrét tag milyen y(k) kimeneti mintasorozatot állít elő: y(z)=W(z)u(z). A W(z) pólus–zérus eloszlása – a k0 állandó megadásával – a W(z) „ábrája”.

[3] A W(z) impulzusátviteli függvény pólus–zérus eloszlása abból a szempontból fontos, hogy ezek a z komplexváltozós sík egységsugarú köréhez képest hol (azon belül, rajta vagy kívül) helyezkednek el (lásd DI-tag aszimptotikus stabilitása).

[4] q>0 jelentése a bemeneti mintasorozat qTs késleltetésére utal.

[5] Az FI-tag W(s) átviteli függvényében a pólusok valós részének az előjele dönti el a tag stabilitását, az origóban lévő pólusok darabszáma pedig a tag típusszámát. A DI-tag W(z) impulzusátviteli függvényében a pólusok abszolút értéke határozza meg a DI-tag stabilitását. A W(z)=1/(z-1) impulzusátviteli függvény (illetve a zp=1 pólus) DI integráló tagot definiál, emiatt a zp=1 pólusok darabszáma a DI-tag típusszámát jelenti.

[6] Az állandósult állapotban kialakult y() minta a Z-transzformáció végértéktételéből is meghatározható, ha H(z) pólusaira az abs(zp)<1 feltétel teljesül. Részletesen kifejtve:

 

DBE 67

.

Vegyük észre az önbeálló, folytonos és az önbeálló, diszkrét tagok átviteli tényezője (dc-erősítése) közötti különbséget! Az önbeálló, folytonosidejű tag átviteli tényezője k=-CA-1B+D=bm/an, az önbeálló diszkrétidejű tagé pedig kd=Cd(I-Ad)-1Bd+Dd=∑bi/∑ai

MATLAB-támogatás: k=dcgain(A,B,C,D); k=dcgain(Gs,Hs); kd=ddcgain(Ad,Bd,Cd,Dd); kd=ddcgain(Gz,Hz);.

[7] Az önbeálló, illetve a nem önbeálló (differenciáló, integráló, lengő jellegű) diszkrét tagok tulajdonságai megfelelnek a hasonlóan csoportosított folytonosidejű tagok tulajdonságainak, de most ezeket a fogalmakat az átmeneti mintasorozatokra értelmezzük.

[8] A diszkrét integráló tag egyik lehetséges impulzusátviteli függvénye

W(z)=z/(z-1), vagyis W(z)-nek pólusa van az egységsugarú kör zp=1 pontján. A diszkrétidejű ideális differenciáló tag egy lehetséges impulzusátviteli függvénye W(z)=(z-1)/z=1-z-1, ami zérust jelent az egységsugarú kör zz=1 pontján. Ez utóbbi tagot „ideális” diszkrét differenciáló tagnak tekintjük, mert egységminta-sorozattal gerjesztve, és zoh-val kiegészítve, egyetlen mintavételi ideig tartja fenn az állandó értékű kimeneti jelét (FIR-szűrő).

[9] Jegyezzük meg: a folytonos rendszer integráló tagjának átviteli függvénye W(s)=1/s, a diszkrét rendszer integráló tagjának impulzusátviteli függvénye

W(z)=1/(z-1), vagy z/(z-1), vagy (z+1)/(z-1).

[10] Ez matematikailag is belátható. A W(s)=G(s)/H(s) átviteli függvény s síkon lévő pi pólusai (a diszkretizálás eredményeként) a W(z) impulzusátviteli függvény z síkon lévő zpi=exp(piTs) pólusaiba képződnek le, és W(z) pólusainak száma azonos a W(s) pólusainak számával. Stabilis (real(pi)<0) pólus az egységsugarú kör belsejébe, labilis (real(pi)0) pedig az egységsugarú körre vagy ezen kívülre kerül. Az s sík p=0 pólusa a z sík 1 pontjába, a p=-∞ pólus a z sík origójába „megy át”. Bizonyítható, hogy abban az esetben, ha a W(s) átviteli függvényű tag v(t) átmeneti függvényének v(0)=0 értéke van, akkor W(z) zérusainak száma n-1 (eggyel kisebb, mint a pólusainak száma), bármekkora is W(s) pólustöbblete. A zpi=exp(piTs)>0 leképzésből az is következik, hogy W(z) impulzusátviteli függvénynek – ha ez egy FI-tag W(s) átviteli függvényének diszkretizálásából származik – a z sík negatív valós tengelyén pólusa nem lehet. Ha a W(s) átviteli függvény H(s) nevezőjének 

 

(s-p1)(s-p2)=[s-(σ+jω)][s-(σ-)]=s2-2σs+σ22

 

konjugált komplex póluspárból álló gyöktényezője van, akkor ugyanez a gyöktényező az impulzusátviteli függvény H(z) nevezőjében:

 

[z-exp(p1Ts)][z-exp(p2Ts)]=

={z-exp[(σ+jω)Ts]}{z-exp[(σ-)Ts]}=

=z2-2exp(σTs)cos(ωTs)z+exp(2σTs).

 

[11] Ennek felírásához vegyük figyelembe, hogy G(s)/H(s) a folytonosidejű tag átviteli függvénye, és ezért G(s)/[sH(s)] a tag v(t) átmeneti függvényének a Laplace-transzformáltja. A v(kTs) ebből az átmeneti függvényből képzett mintasorozat. Általában a folytonosidejű f(t) időfüggvény Laplace-transzformáltja

 

L{f(t)}=F(s)=B(s)/A(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm)/(a0sn+a1sn-1+…+an)

 

alakban adódó olyan algebrai tört, melynek minden pi pólusa (az A(s)=0 karakterisztikus egyenlet minden gyöke) egymástól különböző. Ekkor az f(t)-ből képzett f(kTs) mintasorozat Z-transzformáltja:

 

DBE 71

.

[12] Irodalom: Dr. Tuschák Róbert: Szabályozástechnika. Műegyetemi Kiadó.

[13] Kauzális rendszer: az y(t1) vagy y(k1) válasz kizárólag az u(t), illetve u(k) gerjesztések olyan értékeitől függ, amelyekre t≤t1 és k≤k1.

[14] Irodalom: Fodor György: Jelek és rendszerek. Műegyetemi Kiadó.