magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 3

A Z-transzformáció jelentősége a diszkrétidejű, dinamikus rendszerek analízisében

A Z-transzformáció a DI-rendszerek analízisében és szintézisében hasonló jelentőséggel bír, mint a Laplace-transzformáció az FI-rendszerek esetében. A transzformáció belépő számsorozatokra vagy olyan belépő Dirac-deltákat tartalmazó függvénysorozatokra alkalmazható, amelyben a Dirac-impulzusok jelterületeinek mérőszámai képviselik a számsorozat számértékeit. A különféle jelterületű Dirac-impulzusokat tartalmazó függvénysorozatra alkalmazott Laplace-transzformációt diszkrét Laplace-transzformációnak nevezik.

.

    Az FI-rendszerekben a szabályozási algoritmust a szabályozó

Wc(s)=u(s)/h(s) átviteli függvénye (differenciálegyenletének egy „más alakja”) jelenítette meg, és Wc(s) rendszertechnikai meghatározását követnie kellett egy szerkezeti–áramköri méretezési eljárásnak is. DI-rendszerekben a szabályozási algoritmust a szabályozó Wc(z)=u(z)/h(z) impulzusátviteli függvénye (differenciaegyenletének egy „más alakja”) képviseli, és ez most az irányítójel meghatározásának egy olyan rekurzív eljárásához vezet, ami az univerzális kialakítású digitális folyamatirányító számítógépre közvetlenül programozható. Miután az impulzusátviteli függvény a Z-transzformáció alkalmazása alapján származtatható, ezért ennek megismerése és az analízisben, illetve a szintézisben történő felhasználása alapvető jelentőségű. A Z-transzformáció alkalmazásának meghatározó sajátossága, hogy a lineáris diszkrét dinamikus rendszereknek a diszkrét idő tartományában differenciaegyenletekkel adott matematikai modelljét, a z komplex operátortartományában algebrai egyenletekké lehet egyszerűsíteni, és ezért a DI-szabályozási rendszerek leírásában és analízisében alapvető jelentőségű.

 

A Z-transzformáció definíciója

A Z-transzformáció egy f(kTs)={f(0), f(Ts), f(2Ts), …, f(kTs), …} belépő (f(kTs)=0, ha k<0) mintasorozathoz (számsorozathoz) az F(z) operátorfüggvényt [1] rendeli, illetve a f(kTs) mintasorozatot az F(z) komplexváltozós függvényre képezi le. A Z-transzformáció (a leképzés képfüggvényét meghatározó) definíciós egyenlete a

 

DBE 11

 

alakban felírható végtelen hatványsor. A leképzésnek az ad értelmet, hogy egyrészt a diszkrét elemekből álló

 

f(kTs)={f(0), f(Ts), f(2Ts), …, f(kTs), …}

 

mintasorozathoz egy polinomok hányadosaként előálló F(z)=Z{f(kTs)}=G(z)/H(z) operátorfüggvényt rendel, másrészt a diszkrét állapotdifferencia-egyenletet a z komplex operátortartományban algebrai egyenletté alakítja át.

 

DBE 12

 

A Laplace- és a Z-transzformáció fenti definíciós kifejezéseiből láthatjuk, hogy az adott f(t), illetve f(kTs) tárgyfüggvényekhez rendelt F(s) és F(z) funkcionálok a t időváltozó helyett az s, illetve a k diszkrét idő helyett a z operátorokat szerepeltetik a képfüggvényekben. Fontos megjegyeznünk, hogy az F(s), illetve az F(z) kifejezésekben nem az s, illetve z komplexváltozók megcseréléséről van szó.

 

Példa

Az f(t)=1(t) folytonosidejű belépő egységugrás jel, és legyen f(kTs)=1(kTs) az ebből Ts mintavételezési idővel származtatott diszkrétidejű mintasorozat, amit számsorozatnak vagy egységnyi jelterületű Dirac-delta impulzusokból álló függvénysorozatnak is tekinthetünk (1. ábra).

 

 Béla Diszkrét 12

1. ábra Az egységminta-sorozat értelmezése


Az f(kTs) mintasorozat leírása elemeinek felsorolásával:

 

f(kTs)={1, 1, 1, …, 1, …}.

 

Ennek Z-transzformáltja a definíciós kifejezés szerint:

 

DBE 13 

 

A Z{f(kTs)}=Z{1(kTs)} olyan végtelen számú elemet tartalmazó mértani sor összege, amelynek kvóciense z1. Ha ennek értéke az egységnél kisebb (vagyis z az egységnél nagyobb), a mértani sor konvergens, és az összegképlet alapján F(z) (a mértani sor összege) zárt alakban is megadható. Fontos észrevennünk, hogy az f(kTs) mintasorozat a f(t)=1(t) folytonos időfüggvényen kívül olyan további időfüggvényekből is származtatható, amelyeknek a kTs mintavételezési időpontokban felvett értéke f(kTs)=1. Ha például f(t)=cos(ωt), és Ts=2π/ω, akkor

 

f(kTs)={cos(0π), cos(2π), cos(4π), … , cos(2), …}={1, 1, 1, …, 1, … },

 

ami szintén az egységminta-sorozat, és ezért Z{f(kTs)}=Z{cos(2kπ)} most is

F(z)=z/(z-1) stb. 

    Néhány – a szabályozási rendszerek analízisében gyakran előforduló – fontosabb belépő mintasorozat Z-transzformáltját táblázatos formában adjuk meg (1. táblázat). A Z-transzformációs táblázat mellett feltüntettünk egy olyan folytonos f(t) időfüggvényekből álló Laplace-transzformációs táblázatot is, amelyből a megfelelő mintasorozatok származtathatók. Egy adott f(kTs) mintasorozat elvileg végtelenül sok folytonos f(t) függvényből előállítható [2]. A táblázatban ezen belépő f(t) függvényeknek (és ezek F(s) Laplace-transzformáltjaiknak) egyikét szerepeltettük. Figyeljük meg, hogy a Z-transzformációs táblázatban szereplő különféle f(kTs) mintasorozatok Z{f(kTs)}=F(z) Z-transzformáltjai zárt képletben megadhatók, és ezek mindegyike a z komplexváltozó olyan algebrai törtjei, amelyben a nevező polinomja a számláló polinomjánál magasabb (vagy legfeljebb azzal azonos) fokszámú. Az is figyelemreméltó, hogy a Th holtidővel eltolt f(t-Th) folytonosidejű időfüggvény F(s) Laplace-transzformáltja exp(-sTh) transzcendens tényezőt is tartalmaz [3], ezzel szemben az mTs diszkrét idővel késleltetett, diszkrétidejű mintasorozat F(z) Z-transzformáltja algebrai tört marad (m egész). A Laplace- és Z-transzformációk elméletével számos munka foglalkozik, ezek általában táblázatos formában is megadják az L{f(t)}=F(s) és Z{f(kTs)}=F(z) összerendeléseket[4]. Az F(s)-, illetve az F(z)-funkcionálok zárt képletben történő felírása komplikált eljáráshoz vezethet.

 

Példa:

 

DBE 14

 

  

 DBSz 1 

 1. táblázat 

 

Mintavételezés leírása impulzusmodulációval

Matematikai mintavételezés

Az f(t) folytonosidejű belépőjel, valamint a δ*(t)=∑δ(t-kTs) Dirac-delta impulzusokból álló impulzussorozatnak (a „vivő”-jelnek) modulációjával – az f(t) és δ*(t) szorzatának képzésével – állítható elő az

 

f*(t)=f(t)δ*(t)=f(t)∑δ(t-kTs)=∑f(kTs)δ(t-kTs)

 

modulált jel, az f(kTs) jelterületű  Dirac-delta függvényekből álló f*(t) függvénysorozat (matematikai mintavételezés). A kTs idővel eltolt δ(t-kTs) Dirac-delta impulzust mintavevő impulzusnak is nevezik, mivel a f(t) jellel való f(t)δ(t-kTs) szorzata f(kTs) jelterületű Dirac-delta impulzust eredményez, vagyis  f(t)δ(t-kTs)=f(kTs)δ(t-kTs). A szorzó modulátort és ennek kimenő- és bemenőjeleit a 2. ábrán szemléltetjük [5].

 

Diszkrét 13 ábra

 2. ábra A matematikai mintavételezés szemléltetése

 

A szorzómodulátor (vagy a matematikai mintavételezést szimbolizáló mintavételező kapcsoló) kimenetén keletkezett f(kTs) jelterületű Dirac-impulzusok f*(t) függvénysorozatát az f(t) jel matematikai mintavételezésének definiáljuk. A modulált f*(t) függvénysorozatnak a Laplace-transzformáltja ennek alapján értelmezhető. Részletezve:

 

DBE 16

 

A z=exp(sTs), s=ln(z)/Ts jelöléssel:

 

DBE 17

 

Ezekből

 

DBE 18

 

Mindezekből következik, hogy az f(kTs) mintasorozat Z-transzformáltja a diszkrét f*(t) függvénysorozat Laplace-transzformáltjának is tekinthető:

 

L{f*(t)}=Z{f(kTs)} (impulzusinvariancia-elv).

 

A z=exp(sTs) megfeleltetés a DI-tag frekvenciafüggvényének meghatározásakor kap jelentős szerepet. (Az f*(t) jel az f(kTs) jelterületű Dirac-impulzusok

 

f*(t)={f(0)δ(t), f(Ts)δ(t-Ts), f(2Ts)δ(t-2Ts), …, f(kTs)δ(t-kTs), …}

 

függvénysorozata, az

 

f(kTs)={f(0), f(Ts), f(2Ts), …, f(kTs), …}

 

pedig az impulzusok területi mérőszámaiból képzett számsorozat).

 

Az inverz Z-transzformáció

Az inverz Z-transzformációval az F(z) ismeretében az ennek megfelelő

f(kTs)=Z-1{F(z)} mintasorozat határozható meg. Definíciós kifejezése [6]:

 

DBE 19

 

Azzal az esettel foglalkozunk, amikor a mintasorozat Z-transzformáltja

F(z)=G(z)/H(z) alakban – a z változóban algebrai törtként – adott, és G(z) a z változó m fokszámú, H(z) a z változó n fokszámú (n≥m) polinomja (lásd a Z-transzformációs táblázatot). A H(z)=0 egyenlet zpi gyökei az F(z) szinguláris helyei (pólusai). Az F(z) függvény a H(z) nevezőjének vezető együtthatójára normalizált alakja:

 

DBE 20

 

Ebben zzi a G(z) számláló gyökei (F(z) zérusai), zpi a H(z) nevező gyökei (F(z) pólusai). Az inverz transzformáció tényleges kiértékelését nem a definíciós egyenlet alapján végezzük.

 

Az inverz Z-transzformáció módszerei

 

Táblázat használata, F(z) → f(kTs) megfeleltetés

A Z-transzformációs táblázatból megkereshető, hogy egy adott F(z) transzformált függvényhez milyen f(kTs) mintasorozat tartozik (lásd például az 1. táblázat adatait, vagy részletesebben Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems című munkáját).

 

Polinomok osztása

Az F(z) függvény m fokszámú G(z) számláló polinomjának osztása a H(z) nevező n≥m fokszámú polinomjával (ha m=n akkor f(0)0):

 

g0zm+g1zm–1+…+gm : zn+h1zn–1+…+hn=f(0)+f(1)z1+f(2)z2+… .

 

Példa:

 

DBE 21

 

Vagyis: f(kTs)={0, 1Ts, 2Ts, 3Ts, ...}. Ez a számsorozat a f(t)=t1(t) belépő, folytonosidejű függvényből Ts mintavételezési idővel vett mintasorozatnak is tekinthető, mivel f(kTs)=kTs1(kTs)={0, 1Ts, 2Ts, 3Ts, ...}.

 

Részlettörtre bontás

Ha az F(z)=G(z)/H(z) zpi pólusai egymástól különbözőek és G(z) polinomból a z tényező kiemelhető, akkor F(z)/z részlettörtekre bontható. Ennek, valamint a Z-1{z/(z-zpi)}=(zpi)k tulajdonság figyelembevételével kapjuk:

 

DBE 22

 

Példa:

DBE 23

 

A Z-transzformáció néhány fontosabb tétele

 

     • A linearitás tétele:

    A Z-transzformáció és az inverz Z-transzformáció lineáris művelet:

 

DBE 24

 

ahol u(k), x(k) belépő mintasorozat, a, b, c, d állandók.

 

Az eltolási tétel:

Az f(kTs) tárgyfüggvény rTs lépésszámú diszkrét idővel történő eltolásának (késleltetésének, Shifting) Z-transzformáltja (képfüggvénye, r≥1, egészszám):

 

DBE 25

 

Ha r=1, akkor a késleltetett sorozatra Z{f [(k-1)Ts]}=z-1F(z)   →  (z-1 a késleltetés – eltolás – operátora), a z-1F(z) kifejezés a z operátor tartományban az f(kTs)=Z-1{F(z)} mintasorozat egy lépésnyi késleltetését jelenti a diszkrét időtartományban: Z-1{z-1F(z)}=f [(k-1)Ts]). Ha r=-1, akkor a siettetett sorozatra:

Z{f [(k+1)Ts]}=zF(z)-zf(0) (z a siettetés operátora).

 

Megjegyzés

A t folytonos időtartományában az f(t) belépő időfüggvény Th holtidő okozta késleltetése az s Laplace-operátortartományban transzcendens függvényt eredményezett, mivel 

 

   DBE 26

   

A kTs diszkrét időtartományában a belépő f(kTs) mintasorozat Th holtidő okozta késleltetése, ha a Th holtidő a Ts mintavételezési időnek Th=rTs szerint egészszámú többszöröse:

 

DBE 27

 

Ez utóbbi kifejezés szerint a mintasorozat rTs holtidő okozta késleltetése a z operátortartományban nem vezet transzcendens függvényhez, vagyis ha

Z{f(kTs)} a z változó algebrai törtje, akkor a Z{f(kTs-rTs)} ezt a tulajdonságát megtartja (r egészszám).

 

 Az eltolási tétel teremti meg azt a lehetőséget, hogy a DI-tag k diszkrét időtartományában értelmezett differenciaegyenletét a z tartományban algebrai egyenletté alakíthassuk át [7].

 

    • A csillapítási tétel

Ha Z{f(kTs)}=F(z), akkor az exp(akTs)f(kTs) diszkrét mintasorozatnak a Z-transzformáltja:

 

DBE 28

 

 • A tf(tidőfüggvényből származtatott mintasorozat Z-transzformáltja

 

DBE 29

 

Példa:

 

DBE 30 

   

    • A konvolúció tétele

Ha Z{f(kTs)}=F(z), és Z{g(kTs)}=G(z), akkor:

 

DBE 31

 

Megjegyzés

F(z)G(z)≠Z{f(kTs)g(kTs)}, vagyis a mintasorozatok f(kTs)g(kTs) szorzatának Z-transzformáltja nem azonos a mintasorozatok F(z)=Z{f(kTs)}, G(z)=Z{g(kTs)} Z-transzformáltjainak F(z)G(z) szorzatával, és Z1{F(z)G(z)}=f(kTs)*g(kTs)}!

 

   • Kezdeti- és végértéktételek

 

DBE 32

 

Megjegyzés

Az f(kTs)k=∞=f() végértéktétel csak akkor érvényes, ha az F(z) minden zpi szinguláris helye (pólusa) a komplex számsík egységsugarú körének belsejében van (ekkor ugyanis bizonyos, hogy f(kTs) mintasorozatnak létezik a f() végértéke, vagyis pl. f()≠∞, vagy f(kTs) nem periodikus).

 

   Folytatjuk!

 

   Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

 

  szbela13@gmail.com

  fjuhaszne@gmail.com 



[1] A Z{f(kTs)}=F(z) jelölésen kívül – ha az f(kTs) mintasorozat egy folytonos f(t) jel mintavételezéséből származik – a Z{f(t)}=F(z) jelölést is használjuk. Ennek – a matematikailag nem korrekt jelölésnek – a jelentése: F(z) a folytonos f(t) időfüggvényből képzett mintasorozat Z-transzformáltja (a Z{f(t)}=F(z) jelölés azért nem korrekt, mert a f(t) folytonos függvénynek nem értelmezhető a Z-transzformáltja). Egy másik szokásos – szintén nem korrekt – jelölés Z{F(s)}=F(z). Ennek jelentése: 

 

Z{F(s)}=Z{L–1{F(s)}}=Z{f(t)}→Z{f(kTs)}=F(z).

 

Az f(kTs) jelöli a mintasorozat kTs helyen lévő mintáját és magát a teljes mintasorozatot is. A kifejezésekben k a minta sorszáma: k=0,1,2,…,k,…,∞. A Laplace-transzformáció f(t) → L{f(t)}=F(s), a Z-transzformáció az 

 

f(kTs) → Z{f(kTs)}=F(z

 

egyértelmű összerendeléseket jelenti. A mintasorozat egy másik szokásos jelölése a minta elemeinek felsorolásával:

 

f(kTs)={f(0), f(Ts), …, f(kTs), …}.

 

[2] Nem szükségszerű, hogy az f(k)={f0, f1, f2,…, fk,…} mintasorozathoz időfüggvény legyen hozzárendelve, a Z-transzformáció számsorozatokhoz is értelmezhető:

 

Z{f(k)}=f0+ f1z1+ f2z2…,+ fkz–k+….

 

[3] Ha az F(s) függvénynek transzcendens tényezője is van, akkor ez a számításokat nehézkessé teheti.

[4] Irodalom: Doetsch,G: Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der Z-Transformation Oldenburg, Jury, E. I.: Sampled-data Control Systems. Wiley.

[5]A fizikai realizáció során a vivőjel egy τ<s ideig fennálló véges jelterületű és véges amplitúdójú Ts periódusidejű impulzussorozat, a modulátor pedig egy szorzóáramkör. Vivőjelnek gyakran harmonikus jel is használható, amelynek amplitúdóját, körfrekvenciáját vagy fázisát változtatja a moduláló jel. Az eljárást ekkor amplitúdó- (AM), frekvencia- (FM), illetve fázis- (PM)-modulációnak nevezik. A PWM-modulációban a véges amplitúdójú vivőjel impulzusszélességét modulálja a folytonosidejű moduláló jel.

[6] R jelenti a z komplex sík origó középpontú, R-sugarú olyan körét, amelynek belsejében van az F(z)zk–1 minden zpi szinguláris helye. Elméleti jelentőségű képlet, az inverz transzformációra a gyakorlatban más formulákat használunk (a F(z)zk-1 komplex változós függvény zárt görbe menti integráljának kiszámítása a reziduumtételre vezethető vissza).

[7] A Z-transzformáció Z{f[(k+1)Ts]}=zF(z)-f(0) eltolási tétele hasonló jelentőségű, mint a Laplace-transzformáció L{df(t)/dt}=sF(s)-f(0) differenciálási szabálya. Az előbbi alkalmazásával a lineáris DI-tag differenciaegyenletét, utóbbival a lineáris FI-tag differenciálegyenletét lehet algebrai egyenletté egyszerűsíteni.