magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 2

A diszkrét jelátvivő tag differenciaegyenlete és állapot-differenciaegyenlete 

A hibrid, lineáris szabályozási rendszer diszkrét modelljének hatásvázlatán szereplő bármely u(kTs) bemenő és y(kTs) kimenő mintasorozattal rendelkező – a lineáris diszkrét dinamikus rendszert absztraháló – jelátvivő tagjának általános rendszerjellemző függvénye – amelyből a többi rendszerjellemző függvény is származtatható – a tag differenciaegyenlete (1. ábra).

.

Egy bemenetű, egy kimenetű, diszkrétidejű SISO-tag esetében ez vagy egy n rendszámú állandó együtthatójú lineáris

 

a0y(k)+a1y(k-1) +…+an–1y[k-(n-1)] +any(k-n)=

=b0u(k)+b1u(k-1)+…+bm-1u[k-(m-1)]+bmu(k-m

 

u bemenő-, és y kimenőjelek közötti függvénykapcsolatot leíró differenciaegyenlet (DDE), vagy az ebből származtatható n számú, elsőrendű, lineáris differenciaegyenletet tartalmazó differenciaegyenlet-rendszer (Diszkrét Állapot-differenciaEgyenlet, DÁE, x(k) a diszkrétidejű állapotvektor), amelyet az y(k) kimeneti mintasorozatot meghatározó algebrai egyenlet egészít ki [1]. Az

 

DBE 1

 

vektor-mátrix alakban is felírható differenciaegyenlet-rendszert és az ezt kísérő algebrai egyenletet a DI-tag állapottér-reprezentációjának is nevezik.


Béla Diszkrét 6

 1. ábra Diszkrétidejű SISO-tag különféle matematikai modelljei

 

 Megjegyzés

A differenciaegyenletekben az u(k)→u(kTs)=ud(kTs),  x(k)→x(kTs)=xd(kTs), y(k)→y(kTs)=yd(kTs) jelek diszkrét mintasorozatok, amire a d index, a Ts mintavételezési idő és a kTs diszkrét idő egyaránt utal (k:0,1,2,…,∞). A leírás egyszerűsítése céljából azonban a továbbiakban elhagytuk az u, x, y jelek diszkrét voltára utaló d indexet és a Ts mintavételezési időt. Például az y(k) jelentése a kimeneti minta értéke a k sorszámú, illetve a kTs időpontbeli mintavételezési helyen: y(k) → y(kTs). Az ai, bi, gi, hi a DDE (diszkrét differenciaegyenlet) valós paraméterei, az Ad, Bd, Cd, Dd a DÁE (diszkrét állapot-differenciaegyenlet) paramétermátrixai, k a diszkrét idő sorszáma [2]. Azt a kérdést, hogy a diszkrét SISO-tag differenciaegyenletéből az ezzel egyenértékű állapot-differenciaegyenletet hogyan lehet meghatározni, a későbbi részekben tárgyaljuk (lásd az impulzusátviteli függvény különféle felbontásait). Az egy bemenetű, egy kimenetű, n rendszámú SISO-tag esetében az állapot-differenciaegyenlet Ad állapotmátrixa n×n méretű négyzetes mátrix, Bd bemeneti mátrixa 1 méretű oszlopvektor, Cd kimeneti mátrixa 1×n méretű sorvektor, Dd pedig skalár. A DI-tag aszimptotikus stabilitásán azt értjük, hogy az állandó u0 elemekből felépülő u(kTs)={u0(0),u0(Ts),…,u0(kTs),…} bemeneti mintasorozat hatására a rendszer olyan y(kTs) mintasorozat választ ad, amelynek mintái kellően nagyszámú lépést követően (elvileg k→∞ esetén) az álladó y()=y0 mintákból állnak. Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező diszkrét tag önbeálló

      A DDE vezető együtthatóra normalizált alakjából látható, hogy egy tetszőleges kTs diszkrét időpontban a kimeneti minta y(k) értéke az aktuális u(k) és a megelőző m számú bemeneti, valamint a megelőző n számú kimeneti mintáknak [3] lineáris súlyozott kombinációja (n a diszkrét rendszer rendszáma).

 

Megjegyzés

A folytonosidejű-, és a diszkrétidejű lineáris rendszerek matematikai leírása igen sok formális hasonlóságot mutat. A folytonosidejű dinamikus tagnak u(t), x(t), y(t) jelei időben folytonosidejű (FI) analóg jelek, és a rendszer állapotegyenlete azt írja le, hogy az u(t) gerjesztés és az x(0) kezdeti feltétel milyen x(t) és y(t) FI választ generál. A diszkrét dinamikus rendszerek u(k), x(k), y(k) jelei diszkrét idejű mintasorozatok (DI-jelek), és a rendszer állapot differencia egyenlete azt írja le, hogy az u(k) gerjesztés és az x(0) kezdeti minta milyen x(k), y(k) DI mintasorozat választ hoz létre. Mindkét lineáris rendszerre érvényes a szuperpozició elve. Az FI- és DI-rendszerek állapotegyenleteiben [4] az i sorszámú        (i=1,2,…,n) differenciálegyenlet, illetve differenciaegyenlet kifejezései gerjesztetlen esetben:

 

DBE 2

 

Mindezek alapján belátható, hogy például az FI-rendszer állapotegyenletének aii paramétere s-1 dimenziójú szám, szemben a DI-rendszer állapot-differenciaegyenletében szereplő aii paraméterrel, ami dimenziótalan. Ez a tulajdonság abból következik, hogy a dxi(t)/dt az FI-rendszer i sorszámú xi(t) állapotváltozójának az állapotsebessége, és ezért dim[dxi(t)/dt]=dim[aiixi(t)] → dim[aii]=s-1. Az xi(k+1) a DI-rendszer i sorszámú állapotváltozója a k+1 sorszámú diszkrét időben, az xi(k) pedig ugyanezen állapotváltozó a k sorszámú diszkrét időben. Mindezekből az is következik, hogy a DI-rendszer Ad állapotmátrixában szerepet játszó aii együtthatók dimenziótlan számok.


A diszkrét állapot-differenciaegyenlet (DÁE)

analitikus megoldása

Levezetés nélkül [5] adjuk meg a diszkrét rendszer állapot-differenciaegyenletének x(0) kezdeti mintára és u(k) gerjesztés-mintasorozatra vonatkozó x(k), y(k) megoldásainak analitikus képletét:

 

 x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k),

    y(k)=Cdx(k)+Ddu(k

DBE 3

 

A megoldóképletből látható, hogy az x(k) megoldásnak két összetevője van. Az x(0)≠0 kezdeti mintavektor által generált xs(k) mozgáskomponens mintasorozat-vektor a diszkrét rendszer sajátmozgása. Az u(k)≠0 belépőgerjesztés mintasorozattal kiváltott xg(k) mozgáskomponens mintasorozat-vektor a diszkrét rendszer gerjesztett mozgása.

 

DBE 4 

Az Ad a diszkrét rendszer állapotmátrixa, a Φd(k)=Adk pedig a diszkrét rendszer alapmátrixa [6]. Az FI-rendszerhez hasonlóan most is alapvetően fontos tulajdonság, hogy a sajátmozgást kizárólag a DI-rendszer Ad állapotmátrixa és az állapotvektor x(0) kezdeti értéke befolyásolja, szemben a gerjesztett mozgással, amely az Ad állapot- és Bd bemeneti mátrixokon túlmenően az u(k) gerjesztés mintasorozatától is függ. 

     A DI-rendszer stabilitásának egy megfogalmazása: aszimptotikusan stabilis az állapot-differenciaegyenletével leírt lineáris diszkrét rendszer, ha gerjesztetlen (u(k)=0) esetben az x(0) kezdeti érték által generált xs(k) sajátmozgásának mind az n számú komponense a diszkrét idő sorszámának k→∞ értékénél zérushoz tart (2. ábra). Matematikailag is kifejezve [7]:

 

DBE 5 

Béla Diszkrét 7  

2. ábra Aszimptotikusan stabilis DI-rendszer (DI-tag) lecsengő sajátmozgása

 

Az xsi(∞)=0 feltétel teljesül, ha a diszkrét rendszer Ad állapotmátrixának minden λdi sajátértéke (a det(λdI-Ad)=0 karakterisztikus egyenlet minden λdi gyöke) abs(λdi)<1 (i=1, 2, …, n, 2. ábra). Más megfogalmazásban: aszimptotikusan stabilis a diszkrét rendszer, ha Ad állapotmátrixának minden sajátértéke a komplex számsík egységsugarú körének belsejében (a stabilitási tartományban) van [8]. Ha a SISO-tagot az n rendszámú differenciaegyenletének matematikai modelljével írjuk le, akkor a stabilitásnak az előzőekkel egyenértékű feltétele, hogy a rendszer a0λdn+a1λdn-1+…+an-1λd+an=0, vagy a vezető együtthatóra (hi=ai/a0) normalizált

 

λdn+h1λdn–1+…+hn–1λd+hn=0

 

alakú karakterisztikus egyenletének kizárólag az egységnél kisebb abszolút értékű λdi gyökei legyenek [9]. A DDE- és DÁE-modell – az y(k) kimenőjel mintasorozatának meghatározása szempontjából – egymással egyenértékű, de a DÁE „gazdagabb”, mert az y(k) kimenőjelen túlmenően a dinamikus rendszer n számú xi(k) állapotváltozóinak a mintasorozatait is szolgáltatja. 

 

Folytonos rendszerből származtatható diszkrét rendszer

matematikai modellje

A hibrid rendszer A, B, C, D paramétermátrixokkal rendelkező folytonosidejű folyamatának diszkrét matematikai modellje többféle módon származtatható [10]. Ezek egyike az egységugrás-ekvivalens (SRE: Step Response Equivalent) DI matematikai modell. Ennek tulajdonsága, hogy u(k)=1(k) egységminta-sorozat bemenőjelre olyan y(k)=v(k) kimenőjelet (válasz mintasorozatot) ad, mint amit a folytonos rendszer az u(t)=1(t) egységugrás bemenőjelre a kTs mintavételezési időpontokban adna. Az FI-modellről a DI-modellre történő átalakítást szemléltető hatásvázlatot [11] a 3. ábra tartalmazza.

 

Béla Diszkrét 8  

 3. ábra Folytonos rendszer SRE-típusú DI-modelljének értelmezése

 

Az u(kTs) jelterületű Dirac-impulzusoknak tekintett diszkrét mintasorozatot a zérusrendű tartás (zoh) a folyamat bemenetén „lépcsős időlefolyású”, folytonosidejű uT(t) gerjesztésként jeleníti meg, amely a kTs(k+1)Ts időintervallumban állandó [12]. Ebben az időintervallumban az u(t) gerjesztőjel és az x(t) állapotváltozó időfüggvényei közötti függvénykapcsolatot az FI-folyamat dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t) állapotegyenlete írja le. Az u(t), x(t) jelek időfüggvényeinek kialakulását a 4. ábra szemlélteti.

Béla Diszkrét 9 

 4. ábra Az x(t) állapotváltozó időfüggvénye a kTss időintervallumban

 

A folytonosidejű folyamat állapotegyenletének megoldásakor a koordináta-rendszer origóját helyezzük a kTs időpontra, ekkor x(0)=x(kTs), illetve u(t)=uT(kTs)1(t). A folytonosidejű állapotváltozó időfüggvényének a kTs(k+1)Ts időintervallumban kialakuló x(t) menete, és  a t=(k+1)Ts helyen felvett x[(k+1)Ts] értéke (a folytonos rendszer Φ(t)=eAt alapmátrixának és a B bemeneti mátrixának ismeretében) analitikusan felírható (lásd a folytonosidejű rendszer állapotegyenletének az előző részekben tárgyalt analitikus megoldását). Mindezek alapján:

 

DBE 6

 

A folytonos rendszerből származó diszkrét rendszerSRE-típusú – diszkrét matematikai modelljének Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixai (a folytonos rendszer A, B, C, D paramétermátrixainak, valamint a Ts mintavételezési időnek az ismeretében) kiszámíthatók. A Bd paramétermátrix levezetésének mellőzésével és det(A)≠0 feltételezésével:

 

DBE 7

 

Ha a folytonosidejű rendszer A állapotmátrixa λi sajátértékekkel rendelkezik, akkor az ebből származó diszkrétidejű rendszer Ad állapotmátrixának sajátértékei λdi=exp(λiTs). Ebből az is következik, hogy az aszimptotikusan stabilis FI-rendszer (amikor is real(λi)<0) diszkretizálásával keletkező DI-rendszer is aszimptotikusan stabilis marad, mivel abs(λdi)<1, ha real(λi)<[13]. Fontos észrevennünk, hogy az FI-rendszerből származtatott DI-rendszer Ad, Bd paramétermátrixai a folytonos rendszer A, B paramétermátrixain túlmenően a Ts mintavételezési időnek is a függvényei, illetve a diszkretizálás az FI-rendszer C, D paramétermátrixait változatlanul hagyja (Cd=C, Dd=D). 

     Az FIDI-átalakítás alapján a hibrid szabályozási rendszert a jelek és a közöttük lévő függvénykapcsolatok (differenciaegyenletek) szempontjából mintegy homogenizálhatjuk. A hatáslánc FI-részének DI-modellel történő leírásával tisztán DI-jeleket (mintasorozatokat) és a közöttük lévő függvénykapcsolatokat impulzusátviteli függvénnyel leírt DI-tagokat tartalmazó hatásvázlathoz jutunk. Ennek eredményeként a hibrid rendszer DI-jelekre homogenizált modelljével dolgozhatunk [14].

 

Példa

Az egytárolós arányos taggal jellemzett folyamatot illusztráló RC-áramkör elsőrendű differenciálegyenlete (állapotegyenlete) és diszkretizálásának hatásvázlaton történő szemléltetése az 5. ábrán látható. Az áramkör T=RC időállandója legyen T=10 s, ezért a Ts mintavételezési időt válasszuk T>>Ts=T/10=1 s értékre. Most a folytonosidejű, RC-áramkörrel szimbolizált folyamat A=a=-1/RC=-1/10, B=b=1/RC=1/10, C=c=1, D=d=0 paramétermátrixai skaláris adatok. Az egységugrás ekvivalens diszkretizálás eredményeként kapott Ad =ad=exp(aTs)=exp(-Ts/T) diszkrét állapotmátrix és a

 

Bd=bd=a-1[exp(aTs)-1]b=T[1-exp(-Ts/T)](1/T)=1-ad, Cd=cd=c=1, Dd=dd=d=0

 

paramétermátrixok szintén skaláris adatok, ezért a diszkrét modell differenciaegyenlete is elsőrendű.

 

Béla Diszkrét 10

 5. ábra Elsőrendű FI-rendszer DI-modelljének hatásvázlata

 

Az FI-tag differenciálegyenletének u(t)=1(t) egységugrás gerjesztésre és x(0)=0 zérus kezdeti feltételre vonatkozó x(t)=y(t)=v(t) megoldása, valamint a DI-tag differenciaegyenletének u(kTs)=1(kTs) egység mintasorozat gerjesztésre és x(0)=0 zérus kezdeti mintára vonatkozó x(kTs)=y(kTs)=v(kTs) megoldása a differenciálegyenlet, illetve a differenciaegyenlet analitikus megoldóképletei alapján:

 

DBE 8

 

Az FI-tag x(t)=v(t)=1-exp(-t/T) átmenti függvényének, valamint a SRE-diszkretizálás eredményeként kapott  x(kTs)=v(kTs)=1-exp(-kTs/T) átmeneti mintasorozatának összehasonlításából láthatjuk, hogy a folytonosidejű v(t) átmeneti függvény t=kTs helyeken felvett értékei azonosak az átmeneti mintasorozat megfelelő v(kTs) mintáinak értékeivel (k=0,1,2,…,k,…,∞). Meg kell említenünk, hogy az FI-rendszer differenciálegyenletét a t időtartományban, illetve a DI-rendszer differenciaegyenletét a kTs diszkrét időtartományban történő analitikus x(t), y(t), x(kTs), y(kTs) megoldás helyett a Laplace-, illetve a Z-transzformációk alkalmazásával az s, illetve z operátorok tartományában is meghatározhatjuk (a differenciaegyenlet Z-transzformációval történő megoldását a későbbiekben – a Z-, illetve inverz Z-transzformáció tárgyalásakor – részletezzük). Ezek alkalmazásával:

 

DBE 9

 

Az FI-rendszer általában n>1 rendszámú, ekkor a DI-modell meghatározása mátrixműveleteket igényel. Ezt illusztrálja a következő példa, amelyben az adott FI-folyamat A, B, C, D paramétermátrixainak ismeretében és a Ts mintavételezési idő felvételével számítjuk a DI-modell Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixait:

 

DBE 10

 

Természetesen most is fennáll az a tulajdonság, hogy a folytonosidejű rendszer v(t) átmeneti függvényének a t=kTs helyeken felvett értékei azonosak a diszkrétidejű rendszer v(kTs) átmeneti mintasorozatának a kTs helyen felvett megfelelő értékeivel. MATLAB támogatással:

 

 A=input(’A=’);B=input(’B=’);C=input(’C=’);D=input(’D=’);

Ts=input(’Ts=’);[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,’zoh’);

printsys(Ad,Bd,Cd,Dd);[v,x]=step(A,B,C,D);

[vk,xk]=dstep(Ad,Bd,Cd,Dd);

 

A diszkrétidejű SISO-jelátvivő tag

rendszerjellemző függvényei

A DI-tagok rendszerjellemző függvényei formális hasonlóságot mutatnak az FI-tagok hasonló függvényeihez (11. ábra). A DI-tagokat leíró rendszerjellemző függvények: 

    • A differenciaegyenlet (DDE) vagy az állapot-differenciaegyenlet (DÁE). Ez utóbbi:

                                                             

 x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k)

 y(k)=Cdx(k)+Ddu(k),

 

    • A súlysorozat: az u(k)=δ(k) egységmintára (egységimpulzusra) adott

y(k)=w(k) válaszminta-sorozat x(0)=0 zérus kezdeti mintánál (6. ábra),

    • Az átmeneti mintasorozat: az u(k)=1(k) egységminta-sorozatra adott

y(k)=v(k) válaszminta-sorozat x(0)=0 zérus kezdeti mintánál,

    • Az impulzusátviteli-függvény: a w(k) súlysorozat Z{w(k)}=W(z) Z-transzformáltja, vagy az y(k) kimeneti és az u(k) bemeneti mintasorozatok Z-transzformáltjainak W(z)=y(z)/u(z) hányadosa x(0)=0 zérus kezdeti mintánál,

    • A diszkrét frekvenciafüggvény: a súlysorozat F{w(k)} Fourier-transzformáltja vagy az u(k) és az y(k) mintasorozatok Fourier-transzformáltjainak hányadosa x(0)=0 zérus kezdeti mintánál: 

 

Wd[exp(jωTs)]=W(z)z=exp(jωTs)=y()/u().                                         

 

Béla Diszkrét 11  

 6. ábra FI- és DI-tagok rendszerjellemző függvényei

 

A rendszerjellemző függvények egymással egyenértékűen jellemzik a diszkrét dinamikus rendszert, bármelyikük ismerete lehetővé teszi, hogy tetszőleges u(k) bemenőjel mintasorozatra az y(k) kimenőjel mintasorozatot (a választ) meghatározzuk. Ez a tulajdonság a lineáris rendszerre érvényes szuperpozíció elvből származik. A diszkrétidejű tag tulajdonságainak leírására (hasonlóan az FI-tag W(s) átviteli függvényéhez) a W(z) impulzusátviteli függvény használata a leggyakoribb. Alkalmazásához szükséges megismerkedni a mintasorozatok Z-transzformációjának fogalmával és a Z-1- (inverz) -transzformációval. W(z) ismerete alapján a többi rendszerjellemző függvény is meghatározható. A szabályozó rendszertechnikai méretezésekor fontos szerepet töltenek be a nyitott kör [FI: W0(), illetve DI: W0d(ejωTs)] frekvenciafüggvényei, amelyeket átviteli karakterisztikáknak is neveznek. Az a0(ω)=absW0() és a0d(ω)=absW0d(ejωTs) amplitúdókarakterisztikák (amplitúdómenetek), és a φ0(ω)=arcW0() és φ0d(ω)=arcW0d(ejωTs) fáziskarakterisztikák (fázismenetek) az aszimptotikusan stabilis FI- vagy DI-tagok frekvenciaátviteli tulajdonságait írják le, megmutatva, hogy a szóban forgó tag a harmonikus jeleket hogy engedi magán keresztül, vagyis mint analóg, illetve digitális szűrő milyen tulajdonságokkal rendelkezik [15].

 

Folytatjuk!

 

Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

 

szbela13@gmail.com

fjuhaszne@gmail.com

 



[1] MIMO-tag esetében az y(k)=Cdx(k)+Ddu(k) a kimenőjelek k számának megfelelő algebrai egyenletrendszer is lehet. Ekkor u, x, y vektorok, Bd, Cd, Dd pedig ún. illeszkedő mátrixok.

[2] Félreértésre adhat okot, hogy k a diszkrét idő sorszámát és az általános diszkrétidejű MIMO-tag kimenőjeleinek k számát egyaránt jelöli. Egyelőre a diszkrét SISO-tag állapotegyenletét tárgyaljuk, amikor is egyetlen y(kTs) kimeneti mintasorozatról van szó. A diszkrét állapot-differenciaegyenlet Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixaiban a d indexet – a folytonos rendszer A, B, C, D paramétermátrixaitól való megkülönböztetés miatt – megtartjuk.

[3] Az y(k) válasz kifejezésében az u gerjesztés

 

g0u(k)+g1u(k-1)+g2u(k-2)+…+gmu(k-m)

 

komponenseiből álló súlyozott összeg a gerjesztés mozgó átlaga (MA). A

 

h1y(k-1)+h2y(k-2)+…+hny(k-n)

 

válasz a k sorszámú ütem előtti értékeinek súlyozott mozgó átlaga által az

y(k)-ra vonatkozó visszahatása (autoregresszió, AR). A rendszer általában ARMA- (auto regressive, moving average) -típusú.

[4] Mindkét lineáris rendszer közös tulajdonsága, hogy érvényes rájuk a szuperpozíció elve.

[5] Az állapot-differenciaegyenlet megoldóképletének levezetése (adott x(0) kezdeti értékkel és u(k) gerjesztéssel, valamint Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixokkal) a k diszkrét idő k= 0,1,2,..,k-1 értékeknek „lépésről lépésre” a differenciaegyenletbe történő helyettesítésével kaphatók:

 

k=0: x(1)=Adx(0)+Bdu(0)

k=1: x(2)=Adx(1)+Bdu(1)=Ad[Adx(0)+Bdu(0)]+Bdu(1)=

   =Ad2x(0)+AdBdu(0)+Bdu(1) stb. 

 

Az u(k), x(k), y(k) vektorok mindegyik komponense mintasorozat. A rendszer állapotváltozóinak száma n. A kimeneti mintasorozatot meghatározó y(k)=Cdx(k)+Ddu(k) kifejezés nem differenciaegyenlet. Az x(k) meghatározását követően y(k) egyszerű helyettesítéssel számítható.

[6] A DI-rendszer analízisében az Ad állapotmátrix és a Φd(k)=Adk alapmátrix hasonló szerepet játszik, mint amilyen szerepe van az FI-rendszerek analízisében az A állapotmátrixnak és a Φ(t)=eAt alapmátrixnak. Az állapot-differenciaegyenlet megoldását (az analitikus megoldóképlet helyett) általában inverz Z-transzformációval, vagy MATLAB-támogatás igénybevételével számítjuk: x(k)=Z-1{x(z)}, y(k)=Z-1{y(z)}, vagy

 

[yk,xk]=dlsim(Ad,Bd,Cd,Dd,u,x0);.

 

[7] A sajátmozgás xs(k) állapotvektorának xsi(k) komponense az x(k) állapotvektor mindegyik komponensének kezdeti értékétől függ.

[8] Ez egyszerűen belátható, ha Ad diagonális, főátlójában a λdi sajátértékeivel. Mivel xs(k)=Adkx(0), ezért ekkor k→∞ esetén xsi(k)dikxi(0)0, ha ׀λdi׀ kisebb 1-nél. (Emlékeztetőül megismételjük: a folytonosidejű rendszer esetében az aszimptotikus stabilitás feltétele az, hogy  a rendszer A állapotmátrixának minden λi sajátértékére real(λi)<0 legyen. Diszkrétidejű rendszer aszimptotikus stabilitásának feltétele ezzel szemben az, hogy Ad állapotmátrixának minden λdi sajátértéke a komplex számsík egységsugarú körének belsejében legyen: abs(λdi)<1). A λdi sajátértékek vizsgálatának módszereit a későbbiekben tárgyaljuk (Jury-teszt stb.).

[9] Figyeljünk fel arra, hogy az aszimptotikus stabilitás biztosításához a DI-rendszer H(λd)=det(λdI-Ad) karakterisztikus polinomjának nem Hurwitz-polinomnak kell lennie.

[10] Egységugrás ekvivalens leképzés, impulzusválasz ekvivalens leképzés, ekvivalens pólus–zérus leképzés, leképzés numerikus integrálással, bilineáris transzformáció, delta transzformáció stb. A kapott DI-modellt az FI-rendszer diszkrétidejű szimulációjának is nevezik. A folytonosidejű modellhez a diszkrétidejű modell összerendelésének különféle lehetséges módszereit tárgyaló egyik kiváló munka: Keviczky László–Barsh Ruth–Hetthessy Jenő–Barta András–Bányász Csilla: Szabályozástechnika. Műegyetemi Kiadó.

[11] A zérusrendű tartó u(kTs) bemeneti mintasorozatának mintaelemeit olyan u(kTs)δ(t-kTs) Dirac-impulzusoknak is tekinthetjük, amelyeknek u(kTs) jelterületei hordozzák az információt. Ez a szemlélet ad lehetőséget arra, hogy egy számsorozatot olyan általánosított függvényekből álló függvénysorozatnak értelmezzünk, amelynek létezik a Laplace-transzformáltja:

 

L{u(kTs)δ(t-kTs)}= u(kTs)exp(-skTs).

 

[12] A Dirac impulzussorozat modulációjával kapott matematikai mintavételezés és a zérusrendű matematikai tartás megfelelően írja le a fizikai mintavételezés és fizikai tartás eredményeként előállított jelek időlefolyását.

[13] A λdi=exp(λiTs) kifejezésből az is látszik, hogy dim[λi]=s-1, illetve dim[λdi]=1. MATLAB támogatással:

 

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,’zoh’);.

 

[14] Ha az FI-rendszer (az állapotegyenlete helyett) a

 

W(s)=C(sI-A)-1B+D=G(s)/H(s)

 

átviteli függvényével definiált, akkor az ennek megfelelő SRE-típusú DI-modell szintén meghatározható. A W(s) átviteli függvényével leírt folytonosidejű SISO-tag diszkrétidejű SRE-modellje a

 

W(z)=Cd(zI-Ad)-1Bd+Dd=G(z)/H(z)

 

impulzusátviteli függvény. Ennek meghatározása MATLAB támogatással:

 

[Gz,Hz]=c2dm(Gs,Hs,Ts,’zoh’);.

 

[15] MATLAB-támogatások a rendszerjellemző függvények használatára:

FI: lsim,impulse,step,tf2ss,nyquist,bode,

DI: dlsim,dimpulse,dstep,tf2ss,dnyquist,dbode.

 

 

   
Advertisement