magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Állapotirányítás, állapotirányítás megfigyelővel, optimális (LQR) irányítás – 11

A soron következő 11. folytatás az Állapotirányítás, állapotirányítás megfigyelővel, optimális (LQR) irányítás című fejezet befejező része. Ezzel a témakörrel az analóg szabályozás tárgyalása is lezárul, és a további anyagrészek már a diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényeit, valamint a  hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezését elemzik. A cikksorozat előző 10. részében egy alkalmazási példában az optimális irányítás tervezése kapcsán kiszámított eredmények értékelése terjedelmi korlátok miatt elmaradt. Ennek a részletezésével indul a soron következő folytatás.

.

 

Az r1=0,0001 és r2=0,01 súlyozó tényezőkre kapott eredmények azt mutatják, hogy a J(x,u) költségfüggvény minimumára kapott J1=0,4636, ill. J2=0,8572 értékek közül a kisebb r1 tényezőnél kedvezőbb a beállítás, mikor is az uopt1 maximális értéke a nagyobb (max(uopt1)=140,4219). Ennek jelentése az, hogy az optimális rendszer gyorsításához szükséges nagyobb irányítójel az „olcsóbb”. A visszacsatolt rendszer hatásvázlata a 1. ábrán látható.

 

Szilagyi februar abra 1 

1. ábra Az állapotvisszacsatolt rendszer hatásvázlata

 

A tárgyalt LQR-szabályozás 1. ábrán látható struktúrájában az FLQ=[fLQ1  fLQ2] visszacsatolás sorvektorát úgy választottuk meg, hogy a folyamat x(0) kezdeti feltételeiből induló sajátmozgására optimalizáltuk az állapotvisszacsatolt rendszert. A valóságos üzemvitel körülményei között a folyamatot a zavarójelek hatása is érheti, ill. a szabályozási folyamat során a zavarelhárításon túlmenően az alapjel követése is előírt feladat lehet. Ha az állapotirányításra állapotmegfigyelőt (állapotbecslőt) kell használnunk, akkor az x(t)-x*(t) becslési hibát nem csupán a kezdeti feltételek közötti különbségek idézik elő, hanem erre a hibára a zavarójeleknek és a mérési zajoknak is befolyásuk lehet. Ezekre az esetekre is kialakítható az optimális becslés és optimális irányítás stratégiája. Ez a költségfüggvény különféle értelmezését is igényli. A téma részletesebb feldolgozására irodalmi hivatkozást adunk [1].

 

Összefoglalás

Az A, B, C, (D=0) paramétermátrixaival leírt, irányítható és megfigyelhető SISO-folyamat állapotvisszacsatolása során – a folyamat sajátmozgásának befolyásolására – az x(t) állapotváltozókról az u(t) bemenetre történő visszacsatolás sorvektorát kétféle módon választottuk meg (ezt szimbolizálja a K kapcsoló f vagy fLQ állásai, 2. ábra).

 

szil abra 2 vagott kozl 7

2. ábra SISO-folyamat kétfajta állapotvisszacsatolása

 

A K kapcsoló f állásában a visszacsatolás F átviteli tényezőjével a rendszer AR=A-BF eredő állapotmátrixának λRi sajátértékeit egy előírt méretezési előírásnak megfelelő értékre állíthatjuk be, amivel a visszacsatolt rendszer exp(λRit) szerint időben lejátszódó sajátmozgását is befolyásoljuk (méretezés a visszacsatolt rendszer AR=A-BF eredő állapotmátrixának előírt sajátérték eloszlására). Az F meghatározására A, B és λRi ismeretében az Ackermann-formula szolgál, amely szerint:

 

  F=[0 0 0 … 0 1][B AB A2B …An-1B]-1[An+hR1An-1+…+hR(n-1) A+hRnI].

 

MATLAB-támogatás: [F]=acker(A,B,lambdaR).

A pólusáthelyező szabályozás alkalmazásakor – ha a folyamat xi(t) állapotváltozói nem mérhetőek – a megfigyelő (állapotbecslő) használható. Ekkor az u(t)=-Fx*(t) visszacsatolást a megfigyelő x*(t) állapotvektoráról kell létrehozni.

A K kapcsoló fLQ állásában a visszacsatolás FLQ átviteli tényezője mellett a rendszer eredő állapotmátrixa AR=A-BFLQ. Az FLQ megválasztásának elve ekkor a szil egy 1 ok

költségfüggvény valamelyikének minimalizálása (Q, Qy, R súlyozó tényezők, SISO-folyamat esetében Qy=qy, R=r skaláris), vagyis olyan uopt(t) választása, amelynél az állapotegyenlet x(t) megoldása és az uopt(t) alapján számítható J(x,uopt) vagy J(y,uopt) költségfüggvény valamelyikének minimuma van. Ez a követelményrendszer olyan uopt(t) irányítójelet igényel, amely az x(t) állapotváltozókkal az uopt(t)=-FLQx(t) állapotvisszacsatolásnak megfelelő kapcsolatban van, ahol a visszacsatolás FLQ átviteli tényezője:

szil egy 2 AAAA JO 

és S az

 

SA+ATS-SBR-1BTS+Q=0

 

ún. algebrai Riccati-mátrixegyenlet megoldása. Az FLQ-visszacsatolás átviteli tényezőjének (sorvektorának) meghatározására numerikus módszerek állnak rendelkezésre. 

      MATLAB-támogatással: [FLQ,S,lambdaR]=lqr(A,B,Q,R).

                                      [FLQ,S,lambdaR]=lqry(A,B,C,D,Qy,R). 

A fentiek szerint választott uopt(t)=-FLQx(t) mellett a J(x,u) költségfüggvény minimuma

szil egy 3 gyak 

Az LQR-szabályozás alkalmazásakor – ha a folyamat xi(t) állapotváltozói nem mérhetőek – a megfigyelő (állapotbecslő) szintén felhasználható. Ekkor az u(t)=-FLQx*(t) visszacsatolást a megfigyelő xi*(t) állapotváltozóiról lehet létrehozni.

Az LQR-irányítás gyakorlatban való elterjedésének akadályait a nehézkes és komplikált matematikai apparátus használata mellett a megfelelő Q és R súlyozó mátrixok megválasztásának szubjektív körülményei jelentik.

 

Megjegyzés

• A költségfüggvényt véges tv értékekre is definiálhatjuk. Ekkor:

szil egy 4

Ebben xT(tv)Px(tv)/2 a végköltség (P pozitív definit), amely az x(tv) végállapotot korlátozza. A költségfüggvényben azért kell a végköltséget is figyelembe venni, mert a véges idejű feladatnál tv véges és x(tv) lehet előre rögzítetlen is. Az optimális irányítójelet ebben az esetben is az állapotváltozókról történő 

uopt(t)=-R-1BTS(t)x(t) 

visszacsatolás szolgáltatja, de ekkor az S(t) mátrix az időnek is függvénye, amivel az FLQ(t) visszacsatolási átviteli tényező is időfüggő. Az S(t) mátrix most a

szil egy 5 

Riccati-mátrix-differenciálegyenlet S(tv)=P peremfeltételre vonatkozó megoldása [2].

• A szabályozott folyamatot véletlen hatások is érhetik. Ennek figyelembevétele úgy történhet, hogy az állapotsebességet egy ún. zx(t) állapotzaj, a kimenőjelet egy zy(t) megfigyelhetőségi (mérési) zaj additív hatásainak is kitesszük. Mindkét zaj stacionárius-sztochasztikus folyamat, minden t-re korreálatlan, Gauss- (normális) -eloszlású, zérus várható értékkel (Ezx(t)=Ezy(t)=0, E a várható érték) és adott konvergenciafüggvénnyel. Ekkor a folyamat állapotegyenlete: 

szil egy 6

A LQG (Linear Quadratic Gaussian) irányítási feladatban keressük azt az uopt(t) irányítójelet, amely minimalizálja a

 szil egy 7

funkcionált. A probléma megoldása a Kálmán-szűrő néven ismert állapotvisszacsatolás kialakításához vezet, amely lényegét tekintve egy sztochasztikus állapotbecslő. A sztochasztikus rendszerek optimális irányításának tématerületével e munka keretei között nem foglalkozunk.

 

 

Ezzel a cikkel az Állapotirányítás, állapotirányítás megfigyelővel, optimális (LQR) irányítás téma végére értünk.
A folytatásban új tárgykörrel jelentkezünk.



Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

 

szbela13@gmail.com

fjuhaszne@gmail.com

 



[1] Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems. Saunders College Publishing. Tuschák Róbert: Szabályozó szintézise a költségfüggvény optimálásával. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. Alkalmazott Informatikai tanszék. Tanszéki kiadvány. Keviczky László – Bars Ruth – Hetthéssy Jenő – Barta András – Bányász Csilla: Szabályozástechnika. Műegyetemi Kiadó. Csáki Frigyes: Korszerű szabályozáselmélet. Akadémiai Kiadó. Bokor József – Gáspár Péter: Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal. Typotex kiadó.

[2] Benjamin C. Kuo. Önműködő szabályozó rendszerek.

 

   
Advertisement