magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Hibrid szabályozás rendszertechnikai tervezése – 9

Állapotvisszacsatolás a hibrid szabályozási rendszerben

Az állapotvisszacsatolás célja – mint ahogy azt a folytonosidejű szabályozás kapcsán már részleteztük – vagy a Wp(s) átviteli függvényű folyamat pi pólusainak átrendezése egy előírt pRi póluseloszlási követelmény kielégítésére (mindez annak érdekében, hogy a labilis folyamatot stabilizáljuk és az energiatárolásból származó jelkésleltetéseket csökkentsük), vagy egy az u(t) irányítójeltől és a folyamat x(t) állapotváltozóitól függő J(x,u) költségfüggvény minimalizálásának megvalósítása (LQR-irányítás).

.

   Mindkét eset a folyamat állapotváltozóinak egy F vagy FLQ átviteli tényezőkön keresztül a bemenetre történő negatív visszacsatolásával volt elérhető [u(t)=kcua(t)-Fx(t), illetve u(t)=kcua(t)-FLQx(t)]. Ha a folyamat x(t) állapotváltozóihoz érzékelő szervekkel hozzáférni nem lehet, a folyamatot modellező megfigyelőről (a megfigyelő által becsült x*(t) állapotváltozóiról) lehet az állapotvisszacsatolást megvalósítani.

   Hibrid rendszerben az FI-folyamat DI-modelljéről (a DI-megfigyelőről) tudjuk az állapotvisszacsatolást létrehozni az előző (Hibrid szabályozás rendszertechnikai tervezése – 8) folytatás 2. ábrája struktúrájának megfelelő elrendezése szerint [1]. Ez a megfigyelő most a digitális eszközön futó program, lényegét tekintve az FI-folyamat dinamikájával mintegy párhuzamosan lejátszódó algoritmus, a folyamat digitális szimulációja. Az A, B, C paramétermátrixokkal rendelkező SISO FI-folyamat uT(t) irányítójel bemenetén D/A-átalakítóval, y(t) szabályozott jellemző kimenetén A/D-átalakítóval csatlakozik a DDC irányítóberendezéshez, ami most a DI-folyamatmodellt, az F-visszacsatolást és a kc korrekciós átviteli tényezőt tartalmazza. A D/A-átalakító most is – a digitális–analóg átalakításon túlmenően – az u(k) mintasorozat zérusrendű tartását végzi, az A/D-átalakító mintavételezi és y(k) digitális jellé alakítja az y(t) szabályozott jellemzőt. Az FI-folyamat SRE-típusú diszkrét állapot-differenciaegyenletének paramétermátrixai Ad, Bd, Cd, állapotváltozója x(k). Ezt az állapot-differenciaegyenletet modellezi a megfigyelő, amelynek paramétermátrixai Adm, Bdm, Cdm, állapotváltozója x*(k). Feltételezzük, hogy a diszkrét megfigyelő ideális abból a szempontból, hogy paramétermátrixai azonosak a folyamat diszkrét modelljének paramétermátrixaival (Adm=Ad=exp(ATs), Bdm=Bd=A-1[exp(ATs)-I]B, Cdm=Cd=C, és A reguláris).

   A pólusáthelyező állapotvisszacsatolás követelményét úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a folyamat diszkrét modelljének a folytonos modelljéből származó zpi=exp(piTs) pólusait az F visszacsatolási tényező megfelelő megválasztásával egy előírt zpRi értékekre kell mintegy áthelyezni. A zpi pólusok – amelyek az FI-folyamat pi pólusainak a z síkra történő leképzései – a z sík zpi=exp(piTs) pontjaiban vannak, labilis folyamatnál legalább az egyikük az egységsugarú körön kívül. Az állapotvisszacsatolással a zpi pólusokat a zpRi pólusokra kívánjuk „cserélni”, és ezeket általában az egységsugarú kör belsejébe [2] akarjuk tenni (stabilizálás állapotvisszacsatolással). Ezen túlmenően a zpRi pólusokat olyan helyekre célszerű elhelyezni, hogy a DI-rendszer tranziensei gyorsan lecsengjenek. A gyorsítás eszköze most is az irányítójel túlvezérlése, amelynek korlátai vannak.

    Az 1. ábra struktúrája hasonló az FI-folyamat folytonosidejű megfigyelőjéről történő állapotvisszacsatolásakor kialakított struktúrához, a különbség abban van, hogy itt diszkrét mintasorozatok és diszkrét alaptagok írják le a rendszer viselkedését. A folyamatot ennek DI-modelljével jellemezzük és az állapotvisszacsatolást a diszkrét folyamatmodell x*(k) állapotváltozóiról létesítjük. A méretezés során most is az F, M vektorok és a kc skaláris átviteli tényező a méretezendő paraméterek. Ezek meghatározásának képletei formális hasonlóságot mutatnak a korábban már felírt és az FI-rendszerekre vonatkozó képletekkel, értelemszerűen azonban most a DI-rendszer Ad, Bd, Cd, paramétermátrixai és a diszkrét zpi, illetve a zpRi , zpMi pólusok a képletekben szereplő változók.

 

HÁ 32

1. ábra Állapotvisszacsatolás megfigyelőről hibrid rendszer esetében 

 

A megfigyelhetőségi és irányíthatósági feltételek meglétekor az F és M adatok az FI-rendszer vizsgálata során tárgyalt összefüggések értelemszerű felhasználásával számíthatók. Részletezve:

 

HE 66 

 

Az egyenletrendszerben HR(Ad) a 

 

det[zI-(Ad-BdF)]=zn+hR1zn-1+…+hRn=(z-zpR1)(z-zpR2)…(z-zpRn

 

polinom z=Ad helyettesítéssel, ahol zpRi az állapotvisszacsatolt DI-rendszer előírt pólusai. A megfigyelő zpMi pólusait úgy célszerű megválasztani, hogy a felgyorsított rendszer zpRi pólusainál is gyorsabban lecsengő tranzienseket eredményezzenek. A HM(AdT) pedig a 

 

det[zI-(AdT-CdTM)]=zn+hM1zn-1+…+hMn=(z-zpM1)(z-zpM2)…(z-zpMn

 

polinom z=AdT helyettesítéssel, ahol zpMi a DI-állapotmegfigyelő előírt pólusai. Miután zpRi és zpMi méretezési előírások, a HR(z) és HM(z) polinomok hRi és hMi együtthatóit is előírt (a zpRi és zpMi pólusokból meghatározható) értékeknek tekinthetjük. Az F és M vektorok kiszámításához a MATLAB acker függvényét használhatjuk, de ha az állapot-differenciaegyenlet irányíthatósági kanonikus alakjával dolgozunk, a számításokat jelentősen egyszerűsíthetjük. 

 

Megjegyzés

Az FI-folyamat Wp(s)=Gp(s)/Hp(s) átviteli függvényének az s komplex síkon elhelyezkedő pi pólusai az A állapotmátrixának λi=pi sajátértékei. Ezek számértékei (ha a folyamat a Tpi időállandókkal jellemezhető energiatároló okozta késleltetéseket tartalmaz): pi=-1/Tpi. A folyamat DI-modelljének zpi pólusai a diszkrét állapotdifferencia egyenlet Ad=exp(ATs) állapotmátrixának λdi=zpi=exp(piTs)=exp(-Ts/Tpi) sajátértékei, más megfogalmazásban a Wp(z)=Gp(z)/Hp(z) impulzusátviteli függvényének a z komplex síkon elhelyezkedő pólusai. Az állapotvisszacsatolt diszkrét rendszer – ha az állapotvisszacsatolást a DI-modell x*(k) állapotvektoráról hajtanánk végre – eredő diszkrét állapotmátrixa ARd=Ad-BdF, és ennek előírt sajátértékei a λdRi=zpRi pólusok (vagyis az F tényezőt kell úgy megválasztani, hogy ennek az előírásnak eleget tegyünk). Az eredő rendszer impulzusátviteli függvénye WR(z)=GR(z)/HR(z), amelynek pólusai a HR(z) nevező gyökei. A zpRi pólusokra vonatkozó követelményt az s változó síkján is megfogalmazhatjuk olyan módon, mintha azt írnánk elő, hogy a folyamat Tpi időállandóit mekkora – általában TRipi – értékre kívánjuk „cserélni”. Vagyis zpRi=exp(-Ts/TRi), ahol TRi a Tpi helyett választott időállandó (2. ábra).

 

HÁ 33

2. ábra Pólusáthelyezés szemléltetése az s és a z komplex változók síkjain 

 

Miután a megfigyelő M visszacsatolásának alapfeladata az x(0)≠x*(0) kezdeti értékek miatti eltérés gyors eltüntetése, a zpMi pólusokat úgy kell megválasztani, hogy ezek a felgyorsított rendszerhez képest is gyorsabb tranzienseket eredményezzenek.

     Az állapotvisszacsatolt DI-modell szabályozási rendszerének struktúrája is kiegészíthető a h(k)=ua(k)-y(k) hibajel hatásvonalába beiktatott 1/(z-1) impulzusátviteli függvényű diszkrét integráló taggal, amelynek alapján a rendszer típusszáma a kívánalmak szerint alakítható. Az integrátort a z-1 shiftelő diszkrét alaptag egységnyi átviteli tényezővel történő pozitív visszacsatolása képviseli, ezzel a folyamat állapotváltozóinak száma a xI(k) állapotváltozóval bővül. A DI-integrátor beiktatásával kialakított hatásvázlat struktúrát a 3. ábrán láthatjuk. 

HÁ 34

3. ábra Integrátor beiktatása a DI-rendszer állapotvisszacsatolásának hatásláncába 

 

Az F visszacsatoló vektor és a kcf átviteli tényező méretezése teljesen hasonló a korábban már tárgyalt FI-rendszerben bemutatott méretezési eljárással. 

 

Diszkrét rendszer állapotvisszacsatolása LQ-szabályozóval

A DI-modell esetében is alkalmazhatjuk az LQ-szabályozást, de most a minimalizálandó célfüggvény: 

HE 67 

 

A J(x,u) költségfüggvény minimumát létrehozó optimális irányítójel most is

uopt(k)=-FLQx(k), ahol az FLQ visszacsatoló vektor 

 

FLQ=R1BdTS 

 

és S az

 

SAd+AdTSSBdR1BdTS+Q=

 

Riccati-egyenlet S-re történő megoldása. Ebben a kifejezésben Ad, Bd a DI-folyamatmodell paramétermátrixai, Q és R a költségfüggvényben szereplő és a tervező által felvett súlyozó tényezők (Q pozitív definit vagy szemidefinit szimmetrikus mátrix, R pedig SISO-folyamat esetében pozitív skaláris). Az FI-rendszereknél bemutatott összefüggésekhez való formális megfeleltetés itt is nyilvánvaló. Az alkalmazás problémáját a bonyolult elméleti módszer igénye, a Riccati-egyenlet numerikus megoldásának eljárása, valamint a Q és R súlyozó tényezők szubjektív felvételei jelentik. 

 

Folytonosidejű és diszkrétidejű szabályozások alapképleteinek összehasonlítása

Táblázatos formában foglaljuk össze a lineáris folytonosidejű (FI) és a hibrid szabályozási rendszer diszkrétidejű (DI) modelljeinek azon fontosabb összefüggéseit (a hasonlóságokat és a különbözőségeket), amelyeket a rendszeranalízisben és a szabályozó rendszertechnikai méretezésében felhasználunk. Hasonló összehasonlítást az FI- és DI-dinamikus tagok tulajdonságaira már az előző részekben közreadtunk.

 

ST a javított

ST b javított

ST c javított

 

A fenti folytatással a hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése témakör befejeződött

  

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné 

 

  szbela13@gmail.com 

  fjuhaszne@gmail.com  



[1] Az állapotváltozókról történő közvetlen visszacsatolás itt nem jön szóba még abban az esetben sem, ha az állapotváltozók hozzáférhetőek lennének. Ennek oka, hogy annyi érzékelő szervre és A/D-átalakítóra lenne szükség, ahány állapotváltozója van a folyamatnak. Mindezek miatt az állapotvisszacsatolást ekkor a folyamat diszkrét modelljéről (a diszkrét megfigyelőről) létesítjük.

[2] Integrátor létrehozására a folyamat zp pólusát a z sík zR=1+j0 pontjába is helyezhetjük. 

 

 

   
Advertisement