magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

Hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése – 7

Időoptimális rendszer 

A véges beállású rendszer „lépcsős” időlefolyású uT(t) irányítójele – lásd az előző 56. folytatás 5. és 6. ábráit – a mintavételezési idő ütemének ritmusában gyorsít (uT(t)>0) és „fékez” (uT(t)<0), illetve az n lépést követően állandósul. A gyorsítás első fázisában kihasználható az irányítójel megengedett maximuma, ami az első fékező fázisban már nem jut érvényre.

.

    Elméletileg igazolható tétel, hogy az energiatárolók okozta késleltetéseket tartalmazó n rendszámú önbeálló folyamat y(t) kimenőjele olyan u(t) irányítójellel vihető a legrövidebb Tmin idő alatt az y(0)=0 nyugalmi állapotából egy előírt y(Tmin)=1 egyensúlyi végállapotába, amelyben a 0<tn=Tmin időintervallumban az irányítójel n számú átkapcsolásával az umax értékkel gyorsít és -umax értékkel „fékez” (22.b. ábra). Az irányítójel ±umax értékek közötti váltakoztatásának stratégiájával kialakított szabályozást „bang-bang” szabályozásnak hívjuk. Az időoptimális irányítás szabályozójára a WBB(z) impulzusátviteli függvénnyel hivatkozunk.

 

Megjegyzés

A Wp(s)=kp/(1+sTp) átviteli függvényű (kp>0, Tp>0) egytárolós, arányos taggal leírt folyamat bemenetére az umax korláttal rendelkező umax1(t) jelet kapcsolva, a kimenőjel y(t)=kpumax[1-exp(-t/Tp)] szerint változik. Ezért a bemenőjellel Tmin=-Tpln[1-1/(kpumax)] idő alatt lehet az y(t) kimenőjelet y(Tmin)=1 értékre vezérelni. A Tmin idő elteltét követően az u(t) jelet az y(Tmin)=1 fenntartásához u=1/kp értékre kell visszakapcsolni (1.a. ábra). Magasabb (n>1) rendszám esetén az y(t) kimenőjel y(Tmin)=1 értékre történő beállását az u(t) jel n számú, ±umax értékek közötti átkapcsolásával lehet elérni (1.b. ábra).

 

HÁ 22

1. ábra Az időoptimális irányítás u(t) irányítójele és y(t) szabályozott jellemzője 

 

Az utolsó kapcsolásig eltelt tn=Tmin idő elérése előtt az u(t) irányítójel értéke n páros esetében -umax, n páratlan esetében +umax értékű és a Tmin időpillanattól kezdődően az u=1/kp állandó értéke tartja fenn az y(Tmin)=1 értékű szabályozott jellemzőt. A t1, t2, …, tn időpontok meghatározása a rendszám n>1 eseteiben nehézkes számítási eljárást igényel. A ΔTi időintervallumok egyre rövidebbek, az utolsó értéke tn-tn-1Tn. Ha a ΔTi időintervallumoknak van legnagyobb közös osztója [1], akkor ezt az értéket választva a DDC-szabályozó Ts mintavételezési idejének, megtervezhető egy olyan

 

Wc(z)=WBB(z)

 

impulzusátviteli függvénnyel jellemzett szabályozási algoritmus, amely az időoptimális tulajdonságokat megvalósító irányítójelet működteti a folyamat bemenetén. Miután a legnagyobb közös osztó általában igen kis számérték, a szabályozási algoritmus magas fokszámmal rendelkezik. Az általános analízis helyett az időoptimális rendszer irányításának üzemtanát egy példa keretei között tárgyaljuk. 

 

Példa

Egy önbeálló, másodrendű FI-folyamat átviteli függvénye:

 

HE 52

 

Hibrid szabályozási rendszerben a szabályozás DI-modellje alapján tervezzük meg a WDB(z) impulzusátviteli függvényű, véges beállást létrehozó szabályozót, ha a túlvezérlés megengedett mértéke uTmax=±10. Ezt követően tervezzünk olyan WBB(z) impulzusátviteli függvényével leírt szabályozási algoritmust, amely egységminta-sorozat ua(kTs) alapjellel a szabályozott jellemzőt Tmin optimális idő alatt az y(Tmin)=1 végértékére állítja be, miközben az irányítójel megengedett értéke továbbra is uTmax10. A zárt hibrid szabályozási rendszerek uT(t) és y(t) időfüggvényeinek alapján hasonlítsuk össze a véges beállású és az időoptimális tulajdonságú rendszereket. 

 

Megoldás

Ha WDB(z) véges beállású rendszer üzemelése során az uTmax=10 feltételt kell betartanunk, akkor a választható Ts mintavételezési idő a túlvezérlési arányra vonatkozó feltétel alapján:

 

HE 53 

 

Ekkora Ts mellett 2Ts=7,6026 idő alatt a szabályozott jellemző a végértékére állna be. A további számításokat – a veges.m fájl mintája alapján – MATLAB-támogatással végeztük. A kapott eredmények:

 

HE 54

 

Az uT(t) irányítójel időfüggvénye (2. ábra):

 

57 2 ábra 

2. ábra A véges beállású rendszer u(kTs) és uT(t) irányítójele 

 

A WDB(z) algoritmus láthatóan nem használja ki az irányítójel lehetséges optimális stratégiáját, a ±umax irányítójellel történő beavatkozást. Ez a „fékezési” ütemben kialakuló uT≈|-3,7|<|-umax|=10 értékből következik. Valószínűsíthető, hogy a gyorsabb beállás érdekében az első fázisban tovább kellene gyorsítani, a második fázisban pedig nagyobb intenzitással kellene fékezni. A WDB(z) algoritmus azonban erre nem képes, mert az algoritmus paraméterei és a mintavételezés üteme kényszeríti ki az irányítójel értékeit és az átkapcsolási időpontokat. Az adott másodrendű folyamattal az időoptimális irányítás uT(t) és y(t) jeleinek (az itt nem ismertetett részletszámítások mellőzésével) a 3. ábra szerint kellene lefolyniuk. 

 

HÁ 24 

3. ábra Az időoptimális beállást megvalósító u(t) irányítójel és az y(t) szabályozott jellemző 

 

A t1 és t2 átkapcsolási időpontok kiszámíthatók, ezek az értékek a részletszámítások alapján t1≈4,4, t2≈6,4. Ez azt jelenti, hogy a véges beállás 2Ts=7,6 idejéhez képest – az irányítójel korlátozásának változatlan értékű betartásával – a rendszer jelentős mértékben felgyorsult (Tmin=6,2<2Ts=7,6). Mivel a t1=4,4 és ΔT2=t2-t1=6,4-4,4=2, a gyorsítási és fékezési időintervallumoknak van legnagyobb közös osztója (Ts=0,4). Mintavételezési időnek ezt a legnagyobb közös osztót választva, a hibrid szabályozási rendszer u(kTs) irányítójelének időoptimális beállást megvalósító mintasorozatát az alábbiak szerint lehet megtervezni (4. ábra). 

HÁ 25  

4. ábra Az optimális beállást megvalósító irányítójel u(kTs) mintasorozata 

 

Az u(kTs) mintasorozatból a zoh az időoptimális uT(t) jelet állítja elő. 11Ts=4,4 ideig gyorsítva, majd ezt követően 5Ts=2 ideig fékezve az y(t) szabályozott jellemző 16Ts=6,4 idő alatt az egységnyi végértékére vihető. Az umax1(t) ugrásfüggvényből származtatható mintasorozat Z-transzformáltja

 

Z{umax1(t)} → Z{umax1(kTs)}=umaxz/(z-1).

 

A Z-transzformáció eltolási tételének figyelembevételével a 4. ábra alapján az u(kTs) irányítójel Z-transzformáltja közvetlenül felírható:

 

HE 55

 

A h(z)=ua(z)-y(z) bemenetű és u(z) kimenetű DDC-szabályozó impulzusátviteli függvénye mindezek alapján:

 

HE 56

 

Miután az önbeálló folyamat átviteli tényezője 

 

kp=Gp(1)/Hp(1)=(g1+g2)/(1+h1+h2),

 

egyszerű behelyettesítéssel beláthatjuk, hogy a szabályozó impulzusátviteli függvényének HBB(z) nevezője (z-1) gyöktényezővel rendelkezik. Ez azt jelenti, hogy a szabályozónak most is – mint a véges beállású algoritmus esetében – integráló fokozata van [2]. Ezen túlmenően a GBB(z) számlálónak tényezője a Wp(z) impulzusátviteli függvény Hp(z) nevezője, tehát a szabályozó a folyamat minden pólusát kompenzálja. Az időoptimális hibrid szabályozási rendszer DI-modelljének hatásvázlata az 5. ábrán látható: 

HÁ 26

5. ábra Az időoptimális rendszer hatásvázlata 

 

A W0(z)=WBB(z)Wp(z) nyitott- és a zártkör eredő impulzusátviteli függvényei:

 

HE 57

 

Ellenőrzésként számítsuk ki az ua(z)=z/(z-1) alapjelre (egységminta-sorozatra) adott u(z) és y(z) válaszokat. A hatásvázlat alapján:

 

HE 58 

 

A rendszert MATLAB felhasználásával vizsgáljuk. Az idoopt.m fájl program és futásának eredményei: 

 

» idoopt

%időoptimális rendszer (idoopt.m fajl)

echo on;

Gps=1;Hps=[100 20 1];       %Wp(s)

Ts=0.40;[Gpz,Hpz]=c2dm(Gps,Hps,Ts);

printsys(Gpz,Hpz,'z');pause; %Wp(z)

 num/den =

    0.00077898 z + 0.00075848

   -------------------------

    z^2 - 1.9216 z + 0.92312

Gcz=conv([10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -20 0 0 0 0 11],Hpz);

Hcz1=conv([1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0],Hpz);

Hcz2=conv([10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -20 0 0 0 0 11],Gpz);

Hcz=Hcz1-Hcz2;

printsys(Gcz,Hcz,'z');pause;

grid on; %WBB(z)

 num/den =

    10 z^18 - 19.2158 z^17 +

    +9.2312 z^16 - 20 z^7 + 38.4316 z^6–

    – 18.4623 z^5+ 11 z^2 –

    –21.1374 z + 10.1543

   --------------------------------------

   z^18 - 1.9294 z^17 + 0.91553 z^16 +

   +0.01558 z^6 + 0.01517 z^5–

   - 0.0085688 z - 0.0083433

dstep(Gcz,Hcz,50);

title('vc(k) átmeneti függvény');pause;

[G0z,H0z]=series(Gpz,Hpz,Gcz,Hcz); %W0(z)

[GRz,HRz]=cloop(G0z,H0z);grid on;  %WR(z)

dstep(GRz,HRz,50);

title('y(k)=vR(k) átmeneti függvény');pause;

[GRu,HRu]=feedback(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

grid on; %WRu(z)

dstep(GRu,HRu,50);

title('uT(k) irányítójel');pause;

[GRh,HRh]=feedback(1,1,G0z,H0z);

grid on;  %WRh(z)

dstep(GRh,HRh,50);

title('h(k) hibjel');pause;

disp('vége');

vége 

 

A programfutás eredményeiből a DB-szabályozó WBB(z) impulzusátviteli függvényét (printsys(Gcz,Hcz,’z’);) és átmeneti mintasorozatát (dstep(Gcz,Hcz,50)) a 6.a. ábrán, a zárt rendszer eredő átmeneti függvényének mintasorozatát (dstep(GRz,HRz,50)) a 6.b. ábrán, a hibajel mintasorozatát (dstep(GRh,HRh,50)) a 6.c. ábrán és az uT(t) tartott irányítójelet (dstep(GRu,HRu,50)) a 6.d. ábrán adtuk meg.

 

HÁ 27 A

 

HÁ 27 B

6. ábra Az időoptimális rendszer jelei 

 

A program futása során kapott grafikonokból (lásd 6. ábra) megfigyelhetjük, hogy kb. 16Ts=Tmin=6,4 idő alatt az y(kTs) eléri az y(16Ts)=1 értéket, és ezalatt a h(kTs) hibajel mintasorozata is közel zérusra csökken. Az egzakt értékeket azért nem kaptuk meg, mert a t1 és t2 átkapcsolási időpontok is közelítő adatok. Ezeket a pontos értékekhez képest úgy választottuk meg, hogy a t1 és t2-t1 legnagyobb közös osztója a lehetőség szerint „nagy” legyen, mivel ez a közös osztó határozza meg a mintavételezési időt, ami a WBB(z) fokszámát alapvetően befolyásolja. Ha az átkapcsolási időket pontosabban (több számjegyre) közelítenénk, a legnagyobb közös osztó csökkenne, ami Ts csökkenését és WBB(z) fokszámának további növekedését eredményezné.

     Az időoptimális algoritmus alkalmazásából származó és a véges beállású algoritmushoz képesti nyereség nem olyan számottevő, hogy ezt az időoptimális algoritmust erőltetni legyen érdemes. A gyakorlati alkalmazást illetően a WBB(z) szabályozási algoritmus magas fokszámán túlmenően kétségeket támaszthat az is, hogy az irányítójel ±uTmax értékek közötti „rángatása” a beavatkozó szerv fokozott igénybevételét is jelentheti.

 

Folytatjuk! 

 

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné 

 

  szbela13@gmail.com 

  fjuhaszne@gmail.com  



[1] Ilyen közös osztó gyakorlatilag bizonyosan található, mivel az átkapcsolási időintervallumokat csak véges pontossággal tudjuk számszerűen meghatározni.

[2] Ez egyébként abból is következik, hogy az y(t) szabályozott jellemző végértékére az yA(t)=1 alapértéknek megfelelő y(Tmin)=1 értéket írtuk elő.