magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Hibrid szabályozás rendszertechnikai tervezése – 6 

Hibrid szabályozás tervezése véges beállásra a diszkrét modell alapján 

A hagyományos PID-algoritmusok mellett a DDC-szabályozásokban alkalmazható a h(kTs) hibajel feldolgozásának olyan eljárása is, amelynek eredményeként a folyamat bemenetén működő uT(t) irányítójel az y(t) szabályozott jellemzőt véges idő alatt (véges beállású rendszerek) vagy optimális idő alatt (időoptimális rendszerek) az ua alapjelnek megfelelő végértékére állítja be. A véges beállású rendszerek szabályozási algoritmusainak meghatározása vezet el az időoptimális irányítási algoritmusok meghatározásához is, ezért elsőként ezekkel foglalkozunk.

.

   Vizsgálataink során feltételezzük, hogy az irányított folyamat önbeálló, holtidőmentes, vagy ha a folyamatnak holtidőt tartalmazó késleltetése is van, akkor azt m1 fokszámú Strejc-polinommal közelítjük. A folyamat energiatárolásból származtatható jelkésleltetéseinek időállandói Tpi>0, holtideje Th>0 és átviteli tényezője kp>0. Ez utóbbi jelentése szerint a szabályozott jellemző y=1 állandósult értékének fenntartásához az irányítójel u=1/kp állandósult értéke szükséges. A folyamat átviteli függvénye:

 

HE 34

 

A hibrid szabályozásnak jellegzetes tulajdonsága – mint ahogy azt már többször említettük –, hogy a DDC-szabályozó (a Ts mintavételezési ütemezés és a zoh-tartószerven keresztül érvényre jutó „tartás” következményeként) a szabályozási algoritmusnak megfelelő, ún. „lépcsős” időlefolyású uT(t) irányítójelet működtet a folyamat bemenetén. Az uT(t) irányítójel eme „lépcsői” és a lépcsők időtartamai a diszkrét jeleket feldolgozó szabályozási algoritmussal és a mintavételezési idővel rugalmasan alakíthatók. Ez a tulajdonság lehetőséget teremt arra, hogy az irányítójelet (a „klasszikusnak” tekinthető PID-algoritmus helyett) más elvek szerint állítsuk elő. Egy ilyen lehetőség a véges idő alatti beállást megvalósító szabályozási algoritmusnak az alkalmazása [1]. A DeadBeat- (DB) -szabályozási algoritmus tervezése során azt kívánjuk elérni, hogy a hibrid szabályozási körben a szabályozó bemenetén működtetett h(kTs)=yA(kTs)-y(kTs)=1(kTs)-y(kTs) hibajel mintasorozat [2] hatására a DB-diszkrét szabályozó u(kTs) kimenetén olyan diszkrét irányítójel mintasorozat keletkezzen, amelynek hatására a folytonos y(t) szabályozott jellemzőről képzett y(kTs) mintasorozat véges számú lépést követően az egységet veszi fel. Ekkor: 

 

u(kTs) ={u(0),u(Ts),u(2Ts),…, u[(n-1)Ts],  u(nTs), u[(n+1)Ts], u[(n+2)Ts],…}= 

           ={u(0),u(Ts),u(2Ts),…, u[(n-1)Ts]        1/kp,     1/kp,         1/kp, … 

y(kTs) ={y(0),y(Ts),y(2Ts),…, y[(n-1)Ts],  y(nTs), y[(n+1)Ts], y[(n+2)Ts],…  }= 

           ={y(0),y(Ts),y(2Ts),…, y[(n-1)Ts],        1,         1,             1, …          }, 

 

ahol kp az önbeálló tulajdonságúnak feltételezett FI-folyamat átviteli tényezője és y(0)=0. Az u(kTs) és az y(kTs) mintasorozat jellegzetes tulajdonságai, hogy nTs véges idő eltelte után az irányítójel mintái 1/kp állandó értékek [3], és a szabályozott jellemző mintái is az alapjel egységminta-sorozatának megfelelő

y(nTs)=1 végértékükre állnak be. Igazolható, hogy ilyen szabályozási algoritmus létezik, és az nTs beállási idő – bizonyos korlátozások mellett – szabadon előírható [4]. A tervezés alapkérdése az u(kTs) mintasorozat 

 

u(0)u(Ts),…, u[(n-1)Ts]

 

mintáinak meghatározása, mivel ezek hatására kell, hogy nTs idő alatt az y(kTs) szabályozott jellemző mintasorozatának az y(nTs)=1 állandósult értéke kialakuljon. Az u(kTs) mintasorozat n, n+1, n+2, … sorszám alatti mintái mindegyikének azért kell 1/kp értékűnek lennie, mert az önbeálló folyamat kp átviteli tényezője miatt ezek eredményezhetnek az n, n+1, n+2, … sorszám alatti egységnyi értékű y(kTs)=1 kimeneti mintákat. Figyelembe kell vennünk azt a tényt is, hogy az u(kTs) irányítójel mintasorozatot a WDB(z) szabályozási algoritmus a

 

h(kTs)=ua(kTs)-y(kTs)

 

hibajel-mintasorozatból állítja elő (1. ábra). Ha az nTs idő elteltével az y(kTs) mintasorozat az egységet veszi fel és ezen az értéken állandó marad, akkor az nTs időponttól kezdődően a hibajel mintái

 

h(nTs)=ua(nTs)-y(nTs)=1-1=0

 

értékek. Ez a zérus hibajel akkor képes fenntartani az nTs idő elteltét követően az u(nTs)=1/kp mintákból álló diszkrét irányító jelet, ha a szabályozónak integráló tulajdonsága van (az integráló tag képes zérus bemenőjel esetén az állandó értékű kimenőjel fenntartására, lásd a 16. ábrát). A WDB(z) szabályozási algoritmus meghatározásának azt az eljárását alkalmazzuk, amikor a diszkrét szabályozó u(kTs) kimenő, illetve a h(kTs) bemenő mintasorozatának meghatározása alapján a diszkrét szabályozási algoritmus a WDB(z)=u(z)/h(z) transzformált függvények hányadosaként kapható. 

 

HE 35 

 

A WDB(z) meghatározásához tehát lényegében annak az u(z) irányítójelnek az ismerete szükséges, amely a folyamat bemenetén működve az y(z) szabályozott jellemzőt véges idő alatt az egységre állítja. A következőkben tárgyalt módszertől eltérő eljárások is léteznek a véges beállást létrehozó szabályozási algoritmus meghatározására, ezekre irodalmi hivatkozást adunk [5].

     A véges beállásnak megfelelő hibrid rendszer diszkrét modellje és ennek ua(k)=yA(k), h(k), u(k) és y(k) mintasorozat jelei az 1. ábrán láthatók. Az ok-okozat relációból következik, hogy az yA alapérték és az y tényleges érték állítja elő a h hibajelet, a hibajel az u irányítójelet és az irányítójel az y szabályozott jellemzőt. Ebben a zárt hatásláncú jelfolyamban az u irányítójel mintasorozatának olyannak kell lennie, hogy az y szabályozott jellemző mintasorozata n számú lépés alatt az y=1 értékét felvegye, és ettől kezdődően ez is maradjon.

HÁ 16 

1. ábra A véges beállású, zárt hibrid szabályozás ua alapjelének, h hibajelének, u irányítójelének és y=vR kimenőjelének mintasorozatai

 

Jelen munkában azt az esetet tárgyaljuk, mikor a véges beállás n lépésszáma az FI-folyamat Wp(s)=Gp(s)/Hp(s) átviteli függvényének n rendszámával azonos [6] és az ua(k)=yA(k) alapjel egységminta-sorozat. 

 

A folyamat diszkrét modellje 

Ha a folytonosidejű, önbeálló folyamat Wp(s)=Gp(s)/Hp(s) átviteli függvénye energiatároló okozta jelkéséseket tartalmaz (vagy ha Th holtidő típusú jelkésleltetése is van, de azt Strejc-polinomokkal közelítettük, és ennek figyelembevételével a Hp(s) nevező polinom fokszáma n), akkor a folyamat tartószervvel kiegészített és a nevező vezető együtthatójára normalizált impulzusátviteli függvénye a hibrid rendszer diszkrétidejű modelljében:

 

HE 36

 

Gp(z) számláló polinom jellegzetes tulajdonsága, hogy a z változóban (n-1) fokszáma eggyel alacsonyabb a Hp(z) nevező polinom n fokszámánál (a Wp(z)-nek egy pólustöbblete van), ami abból következik, hogy a folytonos szakasz átmeneti függvénye általában vp(0)=0 értékről indul (ezt a tulajdonságot a Gp(z) számláló go=0 paramétere jelenti meg). A továbbiakban az alrendszerek impulzusátviteli függvényeinek a z-1 változóra átalakított polinomos alakját is használjuk, mert ezzel számolva a zárt rendszer mintasorozatainak a meghatározása – a Z-transzformáció Z-1{z-rf(z)}=f[(k-r)Ts] eltolási tétele közvetlen alkalmazhatóságának következményeként – egyszerűsödik. A z-ben és a z-1-ben felírt impulzusátviteli függvények egymással egyenértékűek, egymásba átszámíthatók [7]. Ismételten hangsúlyoznunk kell, hogy a tárgyalt esetben a folytonosidejű, önbeálló, aszimptotikusan stabilis folyamat Wp(s) átviteli függvényének pólusai az s komplex sík pi=-1/Tpi negatív valós tengelyén helyezkednek el, illetve a folytonos folyamatnak megfelelő Wp(z) impulzusátviteli függvény zpi pólusai (a Hp(z)=zn+h1zn-1+…+hn-1z+hn polinom gyökei) a z komplex sík egységsugarú körében, a pozitív valós tengely 1>zpi>0 szakaszán vannak. Ezek értékei rendre zpi=exp(piTpi)=exp(-Ts/Tpi), és i=1,2,…,n). Mindezen tulajdonságokból az is következik, hogy a folyamat diszkrét modelljének karakterisztikus egyenlete és átviteli tényezője

 

HE 37 

 

A Hp(z) polinom gyöktényezős alakja Wp(z) pólusait tartalmazza, a kp átviteli tényező azt mutatja meg, hogy állandósult állapotban (k→∞) az egységminta-sorozattal gerjesztett DI-folyamat y(∞Ts) kimenőjel mintája az u(∞Ts)=1 bemenőjel mintának hányszorosa. A kp átviteli tényező értéke a folyamat folytonosidejű modellje (a Wp(s) átviteli függvénye) alapján is számítható:

 

kp=Wp(s)|s=0=[Gp(s)/Hp(s)]|s=0

 

A véges beállást létrehozó u(kTs) irányítójel mintasorozatának meghatározása 

Az energiatárolásból származó jelkésleltetéseket tartalmazó Wp(s)=Gp(s)/Hp(s) átviteli függvényű önbeálló FI-folyamat SRE-típusú DI-matematikai modellje Wp(z)=Gp(z)/Hp(z)=y(z)/u(z) (2. ábra). 

HÁ 17 

2. ábra A Wp(s) átviteli függvényű FI-folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvénnyel jellemzett DI-modellje

 

Ha ennek bemenetén olyan u(kTs) mintasorozatot működtetünk, melynek Z-transzformáltja

 

HE 38 

 

akkor a kimenőjelből (az y(t) szabályozott jellemzőből) vett y(kTs) mintasorozat Z-transzformáltja:

 

HE 39

 

Az u(kTs)=Z-1{u(z)} és y(kTs)=Z-1{y(z)} mintasorozatok alapvető tulajdonsága, hogy a Ts mintavételezési idő egész számú többszöröseivel eltolt, véges n számú, ugrás alakú mintasorozatok szuperpozícióiból állnak (lásd még az 5. ábrát). Az u(z) és y(z) kifejezéseiből az is kiolvasható, hogy a mintasorozatok kezdeti értékei u(0)=1/Gp(1), y(0)=0, végértékei u()=Hp(1)/Gp(1)=1/kp, y()=Gp(1)/Gp(1)=1. A végértékek az n lépésnyi diszkrét idő elteltével jönnek létre, és ettől kezdődően az u és y mintasorozatok mintaelemei nem változnak [8].

     A zárthurkú DI-szabályozási rendszerben a DDC-szabályozó Wc(z)=WDB(z) impulzusátviteli függvényét válasszuk meg olyan feltételek alapján, hogy a rendszert érő ua(z)=z/(z-1) egységminta-sorozat alapjelre – figyelembe véve y(z) által létesített negatív visszacsatolását is – a korábban felírt u(z) jelet állítsa elő (3. ábra).

 

HÁ 18 

3. ábra A hibrid rendszer diszkrét modellje DB-szabályozóval

 

Miután a DDC-szabályozó h(z)=ua(z)-y(z) bemenőjelének (a hibajelnek) kell előállítani a véges idő alatti beállást megvalósító és az előzőekben meghatározott u(z) kimenőjelet (ami egyben a folyamat bemenőjele is), a szabályozó WDB(z) impulzusátviteli függvényének

 

HE 40  

 

kifejezésnek kell lennie. Ha tehát az adott Wp(z)=Gp(z)/Hp(z) impulzusátviteli függvényével definiált önbeálló folyamathoz alkalmazott soros kompenzációs szabályozónak a

 

HE 41

 

WDB(z) impulzusátviteli függvénnyel jellemzett algoritmust választjuk [9], akkor a zárt rendszer kimeneti mintasorozata (az adott alapjel mellett) véges nTs idő alatt az y(nTs)=1 végértékére beáll. A WDB(z) impulzusátviteli függvénynek jellegzetes tulajdonsága, hogy GDB(z)=Hp(z) számlálóját és

 

HDB(z)=znGp(1)-Gp(z)

 

nevezőjét a folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényének Gp(z) számláló és Hp(z) nevező polinomjai egyértelműen megszabják. A véges beállású hibrid rendszer DI-modelljének hatásvázlatát az alrendszerek impulzusátviteli függvényeinek feltüntetésével a 4. ábra tartalmazza. Vegyük észre, hogy a szabályozó számlálójának Hp(z) polinomja a folyamat minden pólusát – egyszerűsítéssel kiejtve – kompenzálja. (A szabályozó WDB(z) impulzusátviteli függvényének GDB(z)=Hp(z) számlálója azonos a folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényének Hp(z) nevezőjével [10]).

 

HÁ 19 

4. ábra Véges beállású (DeadBeat: DB) szabályozási rendszer hatásvázlata 

 

A nyitott DI-szabályozási kör eredő impulzusátviteli függvényei a hatásvázlat alapján: 

 

HE 42

 

Ennek megfelelően a zárt DI-rendszer WR(z)=y(z)/ua(z) eredő impulzusátviteli függvénye:

 

HE 43

 

WR(z) fontos tulajdonsága, hogy a z-1 változónak véges fokszámúFIR- (Finite Impulse Response) -típusú – polinomja, ahol n a folyamat rendszáma. Hasonló tulajdonság jellemzi a h(z)/ua(z)=1/[1+W0(z)] és az u(z)/ua(z)=WDB(z)/[1+W0(z)] eredő impulzusátviteli függvényeket is. Figyelemre érdemes a Gp(1) jelentése, ami a folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényének a számlálóban szereplő Gp(z) polinom együtthatóinak összege: Gp(1)=G(z)|z=1=g1+g2+…+gn. Miután a szabályozó WDB(z) impulzusátviteli függvényének nevezője HDB(z)=znGp(1)-Gp(z), látható hogy ennek gyöke a zp=1 számérték [11] (tehát a (z-1) gyöktényező kiemelhető a HDB(z) nevezőből), ami a WDB(z) impulzusátviteli függvénynek integráló tulajdonságot kölcsönöz. Ez a hatás azt eredményezi, hogy állandósult állapotban az alapjel és a szabályozott jellemző mintái egymással azonosak, illetve az arányos tagon keresztül „támadó” állandó zavarójelet a véges beállású hibrid rendszer – állandósult állapotban – teljes mértékben elhárítani képes. Ez a tulajdonság most is abból származik, hogy a rendszer egyensúlyi állapotában a h(kTs) hibajelnek szükségszerűen zérusnak kell lennie (kn mellett lim[h(kTs)]0), mert ha nem ez lenne – a szabályozó integráló tulajdonsága miatt – a rendszer nem lehetne az nTs időponttól kezdődően egyensúlyi helyzetben [12]. Figyeljük meg, hogy a zárt rendszer WR(z) FIR-típusú eredő impulzusátviteli függvényének minden pólusa a z komplex sík origójában van, vagyis az aszimptotikus stabilitás a zárt szabályozási rendszerre is megoldott [13].

 

Legyen ua egységminta-sorozat, ekkor a h hibajel, az u irányítójel és az y szabályozott jellemző mintasorozatainak h(z), u(z) és y(z) Z-transzformáltjai:

 

HE 44 

 

Részletesebben is kifejtve:

 

HE 45 

 

Figyelembe véve a Z-transzformáció eltolási tételét [14], a h(z), u(z) és y(z) kifejezésekből kiolvasható hogy a h(kTs) hibajel, valamint az általa létrehozott u(kTs) irányítójel és y(kTs) szabályozott jellemző mintasorozatai a Ts mintavételezési idő egész számú többszöröseivel eltolt, súlyozott egységminta-sorozatok szuperpozíciójából tevődnek össze. Vegyük figyelembe, hogy az irányítójelet befolyásoló hi együtthatók [15] alternáló jellegűek. Mindezek alapján az u(kTs) és y(kTs) jelek a 5. ábrán vázolt jelkomponensekből épülnek fel, a h(kTs) hibajel mintasorozatának ábrázolását az olvasóra bízzuk. 

HÁ 20

5. ábra Véges beállású, hibrid szabályozási rendszer u(kTs), uT(t), y(kTs) időfüggvényei egységminta-sorozat alapjel esetén 

 

Az 5. ábrán látható, hogy az nTs időponttól kezdődően az u(kTs) és y(kTs) minták már nem változnak, vagyis nTs idő eltelte után (kn) az u(kTs)=Hp(1)/Gp(1)=1/kp és y(kTs)=Gp(1)/Gp(1)=1 állandó értékeknél a diszkrét rendszer egyensúlyi helyzetbe kerül  [16]. A véges beállítást megvalósító DDC-szabályozó minden adatát a folyamat Hp(z) és Gp(z) polinomjaiban szereplő hi és gi paraméterek szolgáltatják. Ezek mindegyike a Ts mintavételezési időnek is a függvénye. A WDB(z) impulzusátviteli függvény – mint korábban már láttuk – szükségszerűen integráló tulajdonságú, ezért i=1 típusú integrálszabályozásról van szó. Az adott folyamat, és az ezt működtető WDB(z) algoritmus alkalmazásával tehát egy egységminta-sorozat alapjel hatásának kitett hibrid szabályozási rendszerben az n energiatárolós önbeálló folyamat kimenőjelének mintasorozata nTs idő alatt y(nTs)=1 végértékére beállítható. Ez a tény azt sugallná, hogy Ts megfelelően kis értékű megválasztásával tetszőleges gyors működés lenne elérhető, még abban az esetben is, ha a folyamat n rendszáma nagy. Ez azonban nincs így. Ennek oka az, hogy gyorsítani (a beállás nTs idejét lerövidíteni) most is csak az irányítójel túlvezérlésével lehet, aminek viszont technikai és technológiai korlátai vannak. 

 

A túlvezérlési arány számítása

A gyakorlati megvalósításban az nTs beállási idő lerövidítésének az irányítójel megengedett mértékű túlvezérlése szab határt. Az uT(t) irányítójel időlefolyását a 5. ábrán láthattuk. A túlvezérlési arány az ábra alapján:

 

HE 46 

 

A túlvezérlési arány – mint ahogy az a képletből kiolvasható – a Ts mintavételezési időnek is függvénye, és Ts csökkentésével meredeken növekszik. Ez Ts megválasztásának korlátot szab. Egy megengedett ut túlvezérlési arány betartásához szükséges mintavételezési idő közelítő értéke:

 

HE 47 

 

A szabályozó realizálása

A véges beállást megvalósító diszkrét szabályozó rendszertechnikai tervezésének végeredménye most is a szabályozó impulzusátviteli függvényében jelenik meg. Ennek általános alakjai:

 

HE 48 

 

Ebben n a szabályozó impulzusátviteli függvénye számlálójának és nevezőjének fokszáma, ami azonos a folyamat diszkrét modelljének n rendszámával. Az irányítójel u(k) aktuális értékét a WDB(z-1) alakból közvetlenül lehet kiszámítani:

 

HE 49 

 

A WDB(z) nevezőjének a zp=1 érték gyöke, ami az integráló tulajdonság biztosítéka. Ezen túlmenően a HDB(z) polinomnak további n-1 számú gyöke is van, és ezek egy része megközelítheti a z sík egységsugarú körét. Ezek a gyökök az irányítójel igen lassan csillapodó oszcillációját eredményezhetik, amelyek az FI-folyamat y(t) jelében is megjelenhetnek (rejtett oszcilláció, intersampling ripples). Ennek hatáselemzésével, illetve elhárításának módszerével az irodalomra hivatkozunk [17]

 

Példa

Egy önbeálló, másodrendű, két energiatárolós folytonosidejű SISO-folyamat átviteli függvénye:

 

HE 50 

 

Hibrid szabályozási rendszerben a szabályozás DI-modellje alapján tervezzük meg azt a WDB(z) impulzusátviteli függvényével leírt diszkrét szabályozási algoritmust, amely egységminta-sorozat ua(kTs) alapjellel a szabályozott jellemzőt 2Ts véges idő alatt az y(2Ts)=1 végértékére állítja be, miközben a megengedett túlvezérlési arány ut=50. 

 

Megoldás

A túlvezérlési arányra vonatkozó feltétel alapján:

 

HE 51 

 

A további számításokat MATLAB-támogatással végezzük. A számításokat végrehajtó program, és ennek futásából kapott eredmények: 

 

 

%méretezés véges beállásra (veges.m fajl)

cho on; 

Gs=1;Hs=[200 30 1];grid on;% Wp(s) 

step(Gs,Hs); 

title('A folyamat vp(t) átmeneti függvénye'); 

pause

Ts=2.1668; 

[Gz,Hz]=c2dm(Gs,Hs,Ts); 

printsys(Gz,Hz,'z');pause;% Wp(z) 

 num/den = 

     0.010543 z + 0.0094602 

   ------------------------ 

   z^2 - 1.7025 z + 0.72251 

Gcz=Hz;H1=polyvalm(Gz,1); 

Hcz=[H1 -Gz(1,2) -Gz(1,3)];% WDB(z) 

printsys(Gcz,Hcz,'z');pause;% WDB(z) 

 num/den = 

           z^2 - 1.7025 z + 0.72251 

   ------------------------------------- 

0.020003 z^2 - 0.010543 z - 0.0094602 

dstep(Gcz,Hcz,10); 

title('A szabályozó átmeneti függvénye'); 

pause;                      

[G01,H01]=series(Gcz,Hcz,Gz,Hz); 

[G0z,H0z]=minreal(G01,H01);    % W0(z)

2 pole-zeros cancelled 

[GRz,HRz]=cloop(G0z,H0z);      % WR(z) 

dstep(GRz,HRz,10); 

title('Az y(kTs)szabályozott jellemző'); 

pause;                          

    [GRzu,HRzu]=feedback(Gcz,Hcz,Gz,Hz); 

dstep(GRzu,HRzu,10); 

title('Az u(kTs) irányítójel'); 

disp('vége'); 

vége 

 

Az eredményként megjelenő grafikonokat a 6. ábra szemlélteti.

 

HÁ 21

6. ábra A „veges.m”-fájl futási eredményeinek grafikonjai 

 

A grafikonokból szemléletesen kiolvashatók a hibrid rendszer DB-szabályozási algoritmusának alkalmazásával kapott eredmények. A folyamat n=2 rendszámának megfelelően 2Ts=4,3336 idő alatt az irányítójel és a szabályozott jellemző mintasorozatai a végértékükre állnak be. Az ut=50 túlvezérlési arány némi kétségeket támaszthat, de a Ts mintavételezési idő növelésével ut csökkenthető. Ennek „ára” a beállási idő növekedése. 

 

Folytatjuk!  

 

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné 

 

  szbela13@gmail.com 

  fjuhaszne@gmail.com 

 

[1] Ezt az algoritmust DeadBeat- (röviden DB) -algoritmusnak is nevezik, és erre a továbbiakban a DB jelöléssel hivatkozunk. A véges beállású hibrid rendszer üzemtani tulajdonságait olyan feltételek mellett tárgyaljuk, mikor az önbeálló folyamat dinamikájában energiatárolók okozta jelkésleltetések játszanak szerepet, és az alapjel egységminta-sorozat. A DB-algoritmussal működő rendszer u(kTs) és y(kTs) mintasorozatainak elemei egy véges nTs idő eltelte után állandó értékek.

[2] Az egységminta-sorozat szerint változó alapjel Z-transzformáltja

 

Z{ua(kTs)}=Z{1(kTs)}=ua(z)=z/(z-1),

 

a szabályozott jellemző mintasorozatának Z-transzformáltja

 

Z{y(kTs)}=y(z)=Wp(z)u(z).

 

 

[3] Ha az u(kTs) diszkrét irányítójel mintái az nTs diszkrét időtől kezdődően 1/kp értékek, akkor a zérusrendű tartás következtében a folytonosidejű uT(t) jel is időben állandó 1/kp értékű.

[4] Mi azzal a témakörrel foglalkozunk, amikor az nTs beállási idő n lépésszáma azonos a folyamat átviteli függvényének n rendszámával.

[5] Csáki Frigyes: Szabályozások dinamikája. Akadémiai Kiadó, R. Isermann: Digitale Regelsysteme. Springer Verlag. Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems. Saunders College Publishing.

[6] Elméletileg a folyamat n rendszámánál kisebb vagy nagyobb lépésszámmal is elérhető a véges idő alatti beállás. A kisebb lépésszám jelentős mértékű túlvezérlést eredményezhet, valamint a folytonos uT(t) irányítójel és az y(t) szabályozott jellemző nemkívánatos oszcillációját okozhatja (minimum típusú DB-rendszerek). A véges idő alatti beállást megvalósító szabályozási algoritmus más típusú alapjelek eseteire is tervezhető.

[7] Az átszámítás úgy valósítható meg, hogy a W(z)=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvény z változóban felírt kifejezésének számlálóját és nevezőjét z-n-el szorozzuk. Ezzel

 

Wp(z-1)=(g1z-1+…+gnz-n)/(1+ h1z-1 … +hnz-n).

 

 

[8] A kezdeti és végérték tételek: f(0)=F(z)z=∞,  f()=(1-z-1)F(z)|z=1.

[9] Erre a formulára Frigyes Andor tett javaslatot. Irodalom: A. Frigyes – B. Szilágyi: Anwendung des zeitoptimalen Steuerungsprinzips zum Entwurf eines DDC Regelungssystems. Periodica Polytechnica.

[10] Miután a labilis folyamat labilis |zpi|≥1 pólusainak soros kompenzációval történő „kiejtése” általánosan tiltott szabály, a DB-algoritmus kizárólag stabilis folyamatok irányítására alkalmas.

[11] Erről egyszerűen meggyőződhetünk, ha a HDB(z)=znG(1)-G(z) polinomba a z=1 helyettesítést elvégezzük (HDB(z)z=1=0).

[12] A Wc(z)=WDB(z) kifejezés szerint realizált DeadBeat-szabályozási algoritmusnak más formái is kialakíthatók, ezeket azonban jelen munkában nem tárgyaljuk. 

[13] Általánosan érvényes tulajdonság, hogy a FIR-típusú impulzusátviteli függvényű tag aszimptotikusan stabilis.

[14] A Z-transzformáció eltolási tétele: Z{f[(k-r)Ts]}=z-rZ{f(kTs)}. Ebben Z{f(kTs)} az eltolás nélküli  mintasorozat Z-transzformáltja.

[15] Félreértésre adhat okot, hogy – nem szerencsés módon – a h=ua-y hibalelet és a Hp(z) polinom együtthatóit ugyanaz a h betű jelenti. Ez utóbbi esetben azonban a hi betűjel mellett indexek is szerepelnek. A

 

H(z)=1+h1z-1+ h2z-2+…+hiz-i+…+hnz-n

 

mindegyik hi paramétere a Ts mintavételezési időnek is függvénye.

[16] Ilyen tulajdonságokat folytonosidejű rendszerben elérni elvileg nem lehet. Az aszimptotikusan stabilis integrálszabályozások az ua(t)=1(t) alapjelre képesek ugyan beállítani a szabályozott jellemző y(∞)=1 végértékét, de miután az u(t) és y(t) időfüggvények exp(pRit) típusú exponenciális komponensekből állnak, ez az állandósult üzemhelyzet elvileg csak a t=∞ időpontban jöhet létre, ha egyébként real(pRi)<0. A hibrid rendszer uT(t) irányítójelének „lépcsős” lefolyása és a lépcsők szabad megválasztása teremti meg a véges idő alatti beállás létrejöttének lehetőségét.

[17] Keviczki László – Bars Ruth – Hetthessy Jenő – Barta András – Bányász Csilla: Szabályozástechnika. Műegyetemi Kiadó.