magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése – 5

A diszkrétszabályozó realizálása

A diszkrétszabályozó rendszertechnikai tervezésének végeredménye a szabályozó impulzusátviteli függvényében jelenik meg, amelyet a realizálás, vagyis egy számítógépes program megírása követ.

.

     Ennek általános alakja:

 

HE 29

 

Ebben n a szabályozó impulzusátviteli függvényének fokszáma. Ez azt jelenti, hogy az irányítójel aktuális u(k) értékét – felhasználva a szabályozó impulzusátviteli függvényének Wc(z-1) kifejezését – az ennek megelőző és a hibajel aktuális és megelőző értékeiből az alábbi algoritmus szerint lehet kiszámítani:

 

HE 30

 

A kifejezés alapján látható, hogy az aktuális u(k) meghatározásához – a di (i=1,2, ... n) és a ci  (i=0,1, ... n) paramétereken túlmenően – a h jel aktuális és az u, h jelek n számú megelőző értékeire is szükség van, amelyeket megfelelő adatfrissítéssel tárolni is kell [1]. Kompakt szabályozókban az adott rekurzív formula szerinti számítást a digitális eszközön gépi kódban írt program végzi, digitális folyamatirányító számítógépen ez a program magas szintű, valósidejű programnyelven is megírható. A Gc(z) polinom n számú gyökeivel lehet kompenzálni a diszkrétidejű folyamat m számú stabilis zpi pólusait, a Hc(z) gyökei tartalmazhatják az integráló fokozat zcp=1 gyökét, illetve a további n-1 számú gyök a szabályozó realizálásának szükséges velejárója. Az u(k) irányítójel meghatározásának szemléltetése az 1. ábrán látható, és azt érzékelteti, hogy az aktuális u(k) irányítójel kiszámításához (a di és ci paramétereken túlmenően) a hibajelnek és az irányítójelnek hány adata szükséges.

 

HÁ 11

1. ábra Az u(k) irányítójel kiszámításához felhasznált adatok

 

A szabályozó Wc(z)=Gc(z)/Hc(z) impulzusátviteli függvényének számlálója és nevezője általában a z komplex változónak azonos n fokszámú polinomjai, aminek fizikai jelentése az, hogy a hibajel felléptének pillanatában az irányítójel a hibajel változására azonnal reagál, vagyis késleltetés nélkül elindítja a beavatkozást [2]. Ismételten hangsúlyozzuk, hogy a hibrid rendszer DI-modellje alapján végrehajtott méretezésnek akkor van gyakorlati jelentősége, ha a Ts mintavételezési idő a folyamat időállandóival összemérhető, tehát hatása nem elhanyagolható.

 

Strukturális és feltételes stabilitás

A szabályozási rendszer matematikai modelljének alapján különféle stabilitásfogalmakat használhatunk. A strukturálisan stabilis szabályozási rendszer fogalma arra a matematikai modellre vonatkozik, amelyikkel a valóságos fizikai rendszert leírjuk. Ez a modell szükségszerűen a tényleges fizikai rendszereknek – a másodlagos jelenségek elhanyagolásával előállított – egyfajta közelítése. Az FI- és DI-rendszermodellek alapján definiált strukturális stabilitás fogalma azt jelenti, hogy a körerősítés bármekkora k>0 értéke mellett a negatív visszacsatolásban üzemelő lineáris szabályozási rendszer aszimptotikusan stabilis. A szabályozási rendszerek körerősítésének abban van lényeges szerepe, hogy a zárt rendszer a szabályozott jellemzőt nemkívánatosan befolyásoló zavarásokat milyen mértékben és milyen gyorsan képes közömbösíteni. Stabilis folyamat szabályozásakor a megfelelő mértékű zavarelhárítás a körerősítés növelését igényli, ami viszont általában a rendszer stabilizálását nehezíti [3].

     Az FI-modellel leírt, fizikailag is megvalósított szabályozási rendszer a strukturális stabilitás kritériumának akkor felelne meg, ha a nyitott kör W0(s)=G0(s)/H0(s) átviteli függvénye alapján képzett zárt rendszer HR(s)=H0(s)+G0(s)=0, illetve

 

   (s+p1) … (s+pn)+k(s+z1) … (s+zm)=

=(s+pR1)(s+pR2) …(s+pRi) …(s+pRn)=0

 

karakterisztikus egyenletének minden pRi gyöke az s sík stabilis félsíkján maradna (real(pRi)<0), miközben a k körerősítés a 0 intervallumot befutja. Miután a zárt rendszer pRi pólusai a nyitott kör átviteli függvényének pi pólusaiból (H0(s)=0 egyenlet pi gyökeiből) indulnak (k=0) és a zi zérusaiba (G0(s)=0 egyenlet zi gyökeibe) vagy a végtelenbe tartanak (k=∞), a strukturálisan stabilis FI-rendszer minden gyökhelygörbe ágának az s sík stabilis félsíkján kellene maradnia. Tekintsük az alábbi példát:

 

HE 32

 

A rendszer gyökhelygörbéjét MATLAB-támogatással számítjuk:

 

Gos=3*conv([1 4],[1 4 13]);

Hos=26*conv([1 1],conv([1 1],conv([1 2],[1 3]));

rlocus(Gos,Hos);

 

55 2 ábra

2. ábra Strukturálisan stabilis FI-szabályozási rendszer matematikai modelljének gyökhelygörbéje

 

A 2. ábra alapján látható hogy a nyitott kör W0(s) átviteli függvényének z1=-4, z2,3=-2±3j zérusai és a p1,2=-1, p3=-2, p4=-3 pólusai negatív valós részűek és miközben 0<k<∞, a zárt szabályozási rendszer pRi pólusait tartalmazó mind a négy gyökhelygörbe ág a stabilis tartományban marad. Ezért a WR(s)=W0(s)/[1+W0(s)] átviteli függvényű zárt szabályozás FI-matematikai modellje strukturálisan stabilis rendszert mutat, pRi pólusai bármely k>0 körerősítés mellett a stabilis tartományban maradnak. Ez a megállapítás a gyakorlati tapasztalatoknak ellentmond, mivel a tényleges fizikai rendszer a körerősítés növelésével általában előbb-utóbb labilissá válik, gerjed. Ennek egyik oka, hogy a valóságos viszonyok között a nyitott hurokban olyan további jelkésleltetések is lehetnek, amelyeket a matematikai modellalkotáskor első közelítésben elhanyagoltunk. Ennek tipikus példája a valóságos körülmények között mindig jelenlévő Th holtidő, ami a gerjedés biztos előidézője lehet. Ha Th értéke az energiatárolásból származó időállandókhoz képest igen kicsi, a zárt hatáslánc holtidőből származtatható gerjedése (labilitása) csak igen nagy körerősítésnél jelentkezik [4].

     A DI-modell alapján leírt hibrid szabályozási rendszer strukturális stabilitása akkor létezne, ha a nyitott kör W0(z)=G0(z)/H0(z) impulzusátviteli függvénye alapján képzett zárt rendszer

 

HR(z)=H0(z)+G0(z)=

=(z+zp1)…(z+zpn)+k(z+zz1)…(z+zzm)=

=(z+zpR1) (z+zpR2)…(z+zpRi)…(z+zpRn)=0

 

karakterisztikus egyenletének minden zpRi gyöke a z sík egységsugarú körében maradna, miközben a körerősítés a 0 intervallumot befutja. Erre viszont elvi lehetőség kizárólag akkor lehetne, ha W0(z) zzi zérusainak (a G0(z) polinom zzi gyökeinek) és zpi pólusainak (a H0(z) polinom zpi gyökeinek) száma azonos lenne, és mindegyik az egységsugarú kör belsejében helyezkedne el (a gyökhelygörbe ágai a zp pólusokból kiindulva a zz zérusokba tartanak, és mindeközben minden ág az egységsugarú körben marad). Ez viszont azért nem lehetséges, mert időkésleltetés nélküli folyamat a fizikai valóságban nem létezik, és ennek következményeként az FI-folyamat DI-modelljének Wp(z) impulzusátviteli függvénye (ami a nyitott kör impulzusátviteli függvényének is szerves része, mivel:

 

W0(z)=Wc(z)Wp(z))

 

olyan, hogy Gp(z) számlálója eggyel alacsonyabb fokszámú, mint a Hp(z) nevezője, és ezért W0(z) pólustöbblete legalább egy. Ez azt is jelenti, hogy a zárt hibrid rendszer DI-modelljének gyökhelygörbéje (illetve a gyökhelygörbéjének minimum egy ága) a stabilis tartományt (a z sík egységsugarú körének belsejét) elhagyja. Ennek a megállapításnak némileg ellentmond a W0(z)=G0(z)/H0(z)=k(z+1)/(z-1) impulzusátviteli függvény. A zárt hibrid rendszer DI-modelljének pólusa ekkor a (z-1)+k(z+1)=0 karakterisztikus egyenlet zpR=-(k-1)/(k+1)<1 gyöke. A gyökhelygörbe a zp=1 pontból indul (k=0) és a zz=-1 pontban ér véget (k=∞, vagyis a z sík egységsugarú körének belsejében marad), miközben 0<k<∞ (3. ábra).

 

HÁ 13

3. ábra Strukturálisan stabilis DI-rendszer matematikai modelljének gyökhelygörbéje

 

Az ellentmondás feloldása abban van, hogy a valóságos, hibrid rendszerben megvalósuló üzemelés viszonyai között – bár W0(z) a diszkrét integráló tag egyfajta impulzusátviteli függvénye – a hibrid szabályozási rendszer DI-modelljében W0(z) pólustöbblete nem lehet zérus. Az előzőektől eltérő másfajta indoklás: a hibrid rendszer lényeges eleme az A/D-átalakítóval végzett mintavételezés és a D/A-átalakítóval végrehajtott zérusrendű tartás, amely előállítja a szabályozott jellemző y(k) mintasorozatát és a folyamat uT(t) irányítójelét. Ez az átalakítás szükségszerűen egy kb. Ts/2 nagyságú holtidőt visz a szabályozás zárt hatásláncába még akkor is, ha egyébként a folyamat holtidőtől mentes lenne. Ez meggátolja a hibrid rendszer strukturálisan stabilis tulajdonságának lehetőségét. Ha azonban a mintavételezési idő a felgyorsított nyitott kör időállandóihoz képest igen kicsi, akkor az ennek hatására bekövetkező labilitás csak igen nagy körerősítésnél jelentkezne [5].

 

Példa

Legyen egy negyedrendű hibrid szabályozás DI-modelljének nyitott köri W0(z) impulzusátviteli függvénye és a zárt kör HR(z)=0 negyedfokú karakterisztikus egyenlete például [6]:

 

HE 33

 

A DI-rendszer HR(z)=0 karakterisztikus egyenletének zpR1,2,3,4 gyökeit tartalmazó gyökhelygörbe ágai a z sík zp1=0, zp2=0, zp3=1, zp4=0,4119 pontjából indulnak (k=0, és zp1,2,3,4  a nyitott kör W0(z) impulzusátviteli függvényének pólusai). Egyik ág a zz=-0,7453 pontba (W0(z) zz zérusába), három további ág a végtelenbe tart, miközben k→∞. Magát a gyökhelygörbét MATLAB-támogatással ábrázolhatjuk. A felhasznált függvények:

 

Goz=0.15*[1 0.7453];Hoz=conv([1 0 0],…

conv([1 -1],[1 -0.4119]));

rlocus(Goz,Hoz);

 

A minőségileg helyes gyökhelygörbe grafikonja a 4. ábrán látható.

 

HÁ 14

4. ábra Feltételesen stabilis hibrid szabályozás DI-modelljének gyökhelygörbéje

 

Az adott DI-modellel leírt hibrid szabályozási rendszer a kkrt≥1,121 erősítési tényezőnél labilissá válik, miután a zárt rendszernek egy konjugált komplex gyökpárja az egységsugarú körre (zpR1,2=0,9033±j0,428621, stabilitási határ) vagy azon kívülre kerül. A k=51,8 értéknél egy további gyökpár is elhagyja a stabilitási tartományt, majd ezek egyike ugyan befut a stabilis tartomány zz=-0,7453 pontjába, de ez a rendszer labilitásán már nem változtat, miután a többi három pólus a labilis tartományban marad. A zárt rendszer vR(nTs) mintasorozatát számító MATLAB-utasítások:

 

k=input(’k=’);Goz=0.15*k*[1 0.7453];

Hoz=conv([1 0 0],conv([1 -1],[1 -0.4119]));

[GRz,HRz]=cloop(Goz,Hoz);grid on;

dstep(GRz,HRz,50);

title(’A zárt rendszer vR(nTs)mintasorozata’);

 

Futási eredmények például k=kkrt/2=0,56 és k=kkrt=1,121 erősítési tényezőre az 5. ábrán láthatók.

 

HÁ 15

 

5. ábra A zárt DI-szabályozás átmeneti függvényei

 

Mindezek alapján belátható, hogy a fizikailag megvalósított folytonos vagy hibrid szabályozási rendszer strukturális stabilitása elméleti jelentőségű. Csak a fizikai rendszert leíró matematikai modellre lehet érvényes a strukturális stabilitás fogalma abban az esetben, ha az elhanyagolásokat figyelmen kívül hagyjuk. A fizikai valóságban mindig létezik olyan hurokerősítés, ami a visszacsatolt folytonosidejű vagy hibrid rendszer labilitását előidézi, vagyis gyakorlatilag a feltételes stabilitás esetéről lehet szó.

 

Folytatjuk!

  

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné  

 

  szbela13@gmail.com 

  fjuhaszne@gmail.com   



[1] Ha „kézi” szabályozás alkalmazására kerülne sor, és a mintavételezési idő erre alkalmat adna, az irányítójel u(k) aktuális értékét – a paraméterek és az u(k-1), h(k), h(k-1), h(k-2) adatok ismeretében – a mintavételezést követően egy gépkezelő is kiszámíthatná. Ezzel olyan beavatkozást létesítene, mint amilyet egyébként az automatikus DDC-szabályozó PIPD-algoritmusa is elvégez. Hasonló „kézi” algoritmusképzést az FI-rendszerben – miután itt a jelek folytonosidejű időfüggvények – megvalósítani igen körülményes lenne.

[2] Ezzel ellentétesen a folyamat Wp(z)=Gp(z)/Hp(z) n fokszámú impulzusátviteli függvénye általában pólustöbblettel rendelkezik (nevezője a számlálójánál magasabb fokszámú polinom), aminek oka az energiatárolásból és a holtidőből származtatható jelkésleltetések.

[3] A ritkán előforduló labilis folyamatok szabályozásakor a körerősítés növelésével lehet stabilizálni a zárt szabályozási rendszert.

[4] A gerjedés egy másik oka az lehet, hogy a nagy körerősítés esetén már az igen kis értékű hibajel telítődésbe viszi az irányítójelet előállító szervet, ami a zárt rendszert is egy „relé üzemmódba” viheti át. Ebben az üzemmódban az irányítójel ±umax értékek között periodikusan változik, és a zárt rendszer nem képes nyugalmi állapotba kerülni (lásd állásos szabályozások).

[5] Más a helyzet akkor, ha a W0(z)=G0(z)/H0(z) nyitott köri impulzusátviteli függvénynek megfelelő differenciaegyenlet és ennek negatív visszacsatolásával keletkező zárthurkú dinamikus rendszer matematikai modellje teljes egészében a digitális számítógépen futó real time programjában ölt testet. Ekkor a hurokban nem szerepelnek az A/D- és D/A-átalakítók, és elvileg lehetséges, hogy a H0(z) nevezőnek nincs pólustöbblete, vagyis minden gyökhelygörbe ág a stabilitási tartományban maradhat, miközben 0<k<∞. Ekkor azonban nem hibrid rendszerről van szó, vagyis egyik alrendszere sem egy folytonosidejű folyamat diszkretizálásából származik.

[6] Irodalom: Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems. Saunders College Publishing. 1992.