magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése – 4 

A tervezés lépései a diszkrétidejű modell felhasználásával 

A továbbiakban a folytonosidejű és a diszkrétidejű tervezési módszerek áttekintése után részletesen megvizsgáljuk a diszkrétidejű modell felhsználásával végrehajtott tervezés egyes lépéseit, amelyeket konkrét példákon keresztül szemléltetünk. 

.

 

1. A Ts mintavételezési idő megválasztása

A folytonosidejű Wp(s) átviteli függvényű szakaszmodell paramétereinek (a Tpi időállandóinak és a Th holtidejének) ismerete alapján – a korábban közölt ajánlást figyelembe véve – megválasztjuk az alkalmazni kívánt Ts mintavételezési időt. Lehetséges, hogy az erre épített méretezési eljárás a zárt rendszer olyan működésmódjához vezet, amely Ts esetleges módosítását igényli. Ha ez előfordul, a módosított mintavételezési idővel a méretezést meg kell ismételni. Ha a folyamatnak Th holtideje is van, célszerű, ha Th a választott mintavételezési idő egész számú többszöröse (Th=lTs, és l egész), mert ez a folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényének meghatározását egyszerűsíti. 

 

2. A folyamat Wp(z) diszkrét modelljének meghatározása

Az adott Wp(s) folytonosidejű szakaszmodell és az ajánlás alapján felvett Ts mintavételezési idő ismeretében meghatározzuk a zérusrendű tartószerv átviteli függvényével bővített FI-folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényét és az ennek megfelelő pólus–zérus alakot (Th=lTs). 

 

HE 19 

 

Ennek jellegzetes tulajdonsága, hogy a diszkrét zpi pólusok a folytonos folyamat Tpi időállandóiból származnak, értékeik rendre zpi=exp(-Ts/Tpi). Ebből következik, hogy Tp1>Tp2>¼>Tpm>0 esetén 1>zp1>zp2>¼>zpm>0, vagyis a nagyobb időállandókhoz tartozó zpi pólusok az egységhez közelebb álló számértékek, és a z sík valós tengelyének a 1>zpi>0 szakaszán helyezkednek el. Ha a folyamat Th holtideje a Ts mintavételezési idő egész számú többszöröse (Th=lTs), akkor Wp(z)a Wp(s) transzcendens tényezőjének ellenére – a z operátornak továbbra is algebrai törtje marad, és további l számú pólusa van a z komplex sík origójában is. Wp(z) „kézi módszerrel” történő számítása – Wp(s) magasabb fokszáma és a zérusok nem kölcsönös megfeleltetése miatt – igen körülményes, így a MATLAB igénybevétele itt fokozottan indokolt. A Wp(z) számítása MATLAB-támogatással [1]

 

       % Wp(s)=Gp(s)/Hp(s) adatainak bevitele: 

       Gps=input('Gps=');Hps=input('Hps='); 

       % A Ts mintavételezési idő bevitele:

       Ts=input('Ts=');               

       % Wp(z)=Gp(z)/Hp(z) kiszámítása:

       [Gpz,Hpz]=c2dm(Gps,Hps,Ts,'zoh'); 

       % Wp(z) pólus–zérus alakja:

       [zz,zp,kpd)=tf2zp(Gpz,Hpz);

       % Wp(z) pólusainak kiíratása:            

       disp(zp);                          

 

Ezzel – ha az adatbekéréseknek (lásd input-utasítások) eleget tettünk – meghatároztuk a szakasz Wp(z) impulzusátviteli függvényét (c2dm), valamint ennek zzi zérusait és zpi pólusait (tf2zp). A kompenzációs szabályozó tervezésekor a Wp(z) impulzusátviteli függvény zpi pólusainak van meghatározó szerepe [2].

 

3. Diszkrét Wc(z) szabályozási algoritmus megválasztása

A méretezés követelményei alapján választunk egy Wc(z) impulzusátviteli függvénnyel leírt diszkrét szabályozót. Ez igen gyakran egy „ideális” [3] PD-fokozatot tartalmazó, diszkrétidejű PIPD-szabályozó, amelynek impulzusátviteli függvénye:

 

HE 20

 

A  szabályozási algoritmus differenciaegyenlete a Wc(z) impulzusátviteli függvény z-1 változóra rendezett alakjából közvetlenül felírható. A DI-szabályozó az aktuális u(kTs) irányítójelet ennek megelőző

 

z-1u(z→ u[(k-1)Ts]

 

értékéből, valamint a hibajel h(z) → h(kTs) aktuális és két  megelőző

 

z-1h(z) → h[(k-1)Ts], z-2h(z→ h[(k-2)Ts]

 

értékeiből az alábbi algoritmus szerint állítja elő:

 

u(kTs)=u[(k-1)Ts]+ c0h(kTs)+ c1h[(k-1)Ts]+ c2h[(k-2)Ts]=

u[(k-1)Ts]+kcd{h(kTs)-(zci+zcd)h[(k-1)Ts]+zcizcdh[(k-2)Ts]}.

 

A kompenzációra most is a póluskiejtés módszerét alkalmazva, Wc(z) zci és zcd zérusai kell hogy kiejtsék a szakasz diszkrét modelljének (a Wp(s) folytonosidejű modelljének két legnagyobb Tp1>0,Tp2>0 időállandójából származó) zp1=exp(-Ts/Tp1)=zci és zp2=exp(-Ts/Tp2)=zcd diszkrét pólusait. Ezen túlmenően – a diszkrét szabályozó impulzusátviteli függvényének Hc(z) nevezőjében megjelenő (z-1) tényezőjéből kiolvashatóan – a nyitott körbe egy integráló hatás is beiktatódik. Ez a tényező a hibrid szabályozás DI-modelljének i típusszámát befolyásolja, és ha a W0(z) nevezőjének egyetlen zp=1 értékű gyöke van, a szabályozás i=1 típusú integrálszabályozás [4]. A szabályozó méretezésének feladata – a felvett PIPD-típusú diszkrét szabályozó választásának következményeként – ilyen módon a kcd=c0 paraméter meghatározására egyszerűsödik.

 

Megjegyzés

A szabályozási algoritmus megválasztásakor természetesen más DDC-szabályozási algoritmusok (P, I, PI, PD, PDi stb.) is szóba jöhetnek [5], és a póluskiejtés mellett a pólusáthelyezés is alkalmazható. A folytonosidejű szabályozók diszkrétidejű megfelelőinek impulzusátviteli függvényeit az 1. táblázatban adtuk meg.

 

HT 1 

1. táblázat Szabályozó alaptípusok

 

4. A diszkrétidejű szabályozó kcd átviteli tényezőjének meghatározása

A  diszkrétidejű modell felnyitott körének W0(z)=Wc(z)Wp(z) impulzusátviteli függvénye:

 

HE 21

 

Figyeljük meg, hogy a zci=zp1=exp(-Ts/Tp1) és a zcd=zp2=exp(-Ts/Tp2) választásával a folyamat két legnagyobb időállandójából származó stabilis 0<zp1<1 és 0<zp2<1 diszkrét pólusait a nyitott kör W0(z) impulzusátviteli függvényéből mintegy „kiejthetjük” [6], mely után a W0(z)-ben csupán egyetlen ismeretlen paraméter – a szabályozó kcd átviteli tényezője – marad. Ennek értékét úgy kell beállítani, hogy a DI-nyitott kör W0d frekvenciafüggvényének ωc vágási körfrekvenciáján a φtc) fázistöbblete egy előírt érték legyen, mivel ez szabja meg a zárt DI-szabályozási rendszer stabilitását és eredő átmeneti függvényének a túllendülését. A szabályozásokat általában φt(ωc)=π/3 (60°) fázistöbbletre szokás méretezni, mivel ekkor a zárt rendszer vR(t) átmeneti függvényének σ(%) túllendülése 10% alatti értékre várható. A fázistöbblet előírásának teljesítéséhez tehát az ωc vágási körfrekvencián az alábbi feltételek betartása szükséges:

HE 22

 

Ennek a kétismeretlenes (ωc, kcd), két egyenletből álló nemlineáris algebrai egyenletrendszernek a megoldása szolgáltatja a W0d diszkrét frekvenciafüggvénynek ωc vágási körfrekvenciáját és az ehhez tartozó kcd átviteli (erősítési) tényezőt. A MATLAB fsolve-eljárása ugyan támogatja a nemlineáris egyenletrendszernek a megoldását, de alkalmazásához ωc és kcd keresésének indítási értékeit meg kell adni. Ennek becslése, valamint a hamis gyökök elvetése az eljárást nehézkessé teszi, ezért a megoldás megkeresésének egy szemléletesebb, egyszerűbb módszerével dolgozunk [7]. Ez a módszer a nyitott kör

 

HE 23 korr 

 

fázismenetének azon a tulajdonságán alapszik, hogy ez nem függ a szabályozó a kcd  erősítési  tényezőjétől. Ezért először a φ0d(ω) fázismenetet tartalmazó egyenletből meghatározzuk azt az ωc vágási körfrekvenciát, amelynél a DI-nyitott kör fázistöbblete az előírt

 

φt(ωc)=π+φ0d(ωc)

 

érték (pl. φ0d(ωc)=-1200 esetében φt(ωc)=600), majd ennek ismeretében az a0d(ωc)=1 feltétel alapján kiszámítjuk a kcd azon értéket, amely az a0d(ωc)=1 amplitúdófeltételnek is eleget tesz. A kcd1=1 önkényes (de mint később látjuk, célszerűen választott) felvételével és a dbode-utasítás felhasználásával – ha egyébként 600 fázistöbbletre kívánjuk a tervezést végrehajtani – megkeressük azt a φ0d(ω)=arcW0d fázismenethez tartozó ω1 értéket, amikor is ez a szög φ0d(ω1)=-120°. Ha ezt a ω1 értékét választjuk a nyitott kör ωc vágási körfrekvenciájának (ωc1), akkor a DI-nyitott kör φt(ωc)=π/3 (60°) fázistöbblettel fog rendelkezni. A módszert – a nyitott hurok W0d frekvenciafüggvényének (Nyquist- és Bode-diagramjainak) ábrázolásával – az 1. ábra szemlélteti [8].

 

HÁ 07

1. ábra A diszkrét nyitott kör frekvenciafüggvényének Nyquist- és Bode-diagramjai

 

Az ωc körfrekvencián adódó a0d1(ωc)=absW0d amplitúdóérték az önkényesen felvett kcd1=1 erősítés mellett érvényes, és az amplitúdófeltétel kielégítéséhez azonosan egységnek kellene lennie. Miután általában nem az, de kcd az amplitúdómenetet kcdabsW0d szerint módosítja, emiatt a kcd tényezővel a kcda0d1(ωc)=1 beállítható. Az amplitúdófeltétel betartásához tehát a szabályozó kcd erősítését a

 HE 24

 

értékre kell választani. A vázolt eljárás részletszámításait – az amplitúdó- és fázismenet transzcendens volta miatt – számítógépes módszerekkel célszerű elvégezni. MATLAB-támogatás igénybevételével:

 

  %Wc(z) zci és zcd zérusainak felvétele:

  i=zp(1);zcd=zp(2);               

  %Wc(z) számlálója kcd1=1 mellett:

      Gcz=conv([1 -zci],[1 -zcd]);       

        %Wc(z) nevezője:

      Hcz=[1 -1 0];                      

        %W0(z)=Wc(z)Wp(z) számítása kcd1=1 mellett:

      [Goz,Hoz]=series(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

      %W0(z) Bode diagramjának megjelenítése:

      dbode(Goz,Hoz,Ts) 

 

A dbode(Goz,Hoz,Ts); utasítás hatására a képernyőn megjelenített a0d(ω) és φ0d(ω) diagramok a kcd1=1 értékre érvényesek és a φ0d(ω) fázismenetre vonatkozó tájékozódás célját szolgálják (1.b. ábra). A kcd1 értékétől független fázismenet ábrája alapján itt választjuk ki azt a körfrekvencia-tartományt, amelyben a φ0d(ω) fázisszög -1200 értéke (ha a fázistöbbletre vonatkozó előírás egyébként φt(ωc)=600) biztosan benne van. Ha például ez a 1<10 intervallum, akkor ebben az a0d(ω) és φ0d(ω) értékeket számszerűen is meghatározzuk, és a képernyőre kiíratjuk. Részletezve: 

 

  [a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts,1:1:10);

       disp([a0d f0d w']); 

 

Az eredményül kapott három oszlopból és tíz sorból álló táblázat φ0d(ω) értékeit tartalmazó középső oszlopából (f0d=φ0d) megkeressük a -120°-os fázisszöget magában foglaló szűkített körfrekvencia-intervallumot, és az előző két utasítás visszahívásával az a0d és φ0d értékeit ebben a szűkített intervallumban újra számoljuk. Néhány iterációs lépés után a -120° értéket magában foglaló tartomány tetszőlegesen kis körfrekvencia-intervallumra szűkíthető. Például: 

 

  [a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts,4.99:0.001:5.00); 

  disp([a0d f0d w']); 

     1.709   -119.995   4.991 

     1.708   -119.996   4.992 

     1.707   -119.997   4.993 

     1.706   -119.998   4.994

     1.705   -119.999   4.995

     1.704   -120.000   4.996 

     1.703   -120.001   4.997

     1.702   -120.002   4.998

     1.701   -120.003   4.999

     1.700   -120.004   5.000

                 

Ezt a pontosságot [9] elfogadva a φ0d =-1200 fázisszöghöz az ω1=4,996 értéke, és az absW0d amplitúdónak a0d1(ω1)=1,704 értéke olvasható le. A vágási körfrekvenciának az ωc=4,996=ω1 értéket választva a0d1(ωc) 1,7040 értékre adódik. A szabályozó kcd erősítését tehát úgy kell beállítani, hogy kcda0d1(ωc)=1 legyen, ezért kcd=1/a0d1(ωc)=1/1,7040. A méretezett szabályozó ezzel: 

 

  a0d1=1.7040; 

  kcd=1/a0d1; 

  Gcz=kcd*Gcz; 

  printsys(Gcz,Hcz,'z'); 

 

A printsys-utasítás a képernyőre a méretezett szabályozó impulzusátviteli függvényét Wc(z)=Gc(z)/Hc(z) algebrai tört alakjában jeleníti meg. Ezzel a méretezést elvégeztük, mivel a szabályozó impulzusátviteli függvénye a szabályozási algoritmust (a diszkrét irányítójel és a diszkrét hibajel közötti kapcsolatot leíró differenciaegyenletet) egyértelműen és számszerűen meghatározza.

 

5. A méretezés ellenőrzése [10] 

Wc(z) és Wp(z) ismeretében – az előzőekben kapott eredmények ellenőrzésére – kiszámítjuk a diszkrétidejű modell nyitott körének tényleges ωc vágási körfrekvenciáját és φt(ωc) fázistartalékát, valamint a zárt rendszer egységminta-sorozat szerint változó diszkrét alapjelugrásra vonatkozó u(kTs) és y(kTs)  diszkrét válaszait:

 

     % W0(z)=Wc(z)Wp(z) számítása:

           [Goz,Hoz]=series(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

           % a0d(w),f0d(w),w számítása:   

           [a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts);       

           [adt,fdt,wt,wc]=margin(a0d,f0d,w);

           disp([wc fdt]);

           4.995   60 

 

Itt a korábban választott vágási körfrekvencia értékét és a 60° fázistöbbletet kell megkapnunk. Számítsuk a zárt rendszer u(kTs) és y(kTs) válaszait az egységmintasorozat alapjelre: 

 

  % WR(z)=W0(z)/[1+W0(z)]=y(z)/ua(z): 

 [GRyz,HRyz]=cloop(Goz,Hoz);

      % Wc(z)/[1+W0(z)]=u(z)/ua(z):

  [GRuz,HRuz]=feedback(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

      % Az y(kTs) mintasorozat:

   dstep(GRyz,HRyz);

      % Az u(kTs) mintasorozat:                      

            dstep(GRuz,HRuz);                      

  

Megjegyzés 

A MATLAB dstep utasítása az u(kTs) és y(kTs) diszkrét jeleket úgy ábrázolja, mintha ezek egy zoh-tartószerven haladnának át (lépcsős görbék). Az u(kTs) esetében ezért ez a hibrid rendszer zoh-val tartott uT(t) irányítójelét jelenti, az y(kTs) esetében a valóságban folytonosidejű y(t) szabályozott jellemző időfüggvényének egy olyan lépcsős közelítését adja, amely kizárólag a mintavételezési időpontokban azonos az y(t) kimenőjellel. Ha az y(kTs) jelen kívül a hibrid rendszer modelljének tényleges y(t) jelét is meg kívánjuk határozni (vagyis azt, hogy a mintavételezési időpontok között milyen a szabályozott jellemző időfüggvénye), ennek egyik módszere lehet, hogy a diszkrét modell alapján kiszámított folytonos, lépcsős uT(t) jelet működtetjük a Wp(s) folytonos átviteli függvényű folyamat bemenetén, és az lsim-utasítást használjuk a folytonos y(t) meghatározására. A számítás hatásvázlaton való szemléltetését a 2. ábra mutatja. Ha a Ts mintavételezési idő lényegesen kisebb a zárt rendszer domináns időállandóinál, akkor az y szabályozott jellemző lépcsős közelítése is kielégítő eredményt szolgáltat a tényleges y(t) időfüggvényről.

 

HÁ 08 

2. ábra A hibrid rendszer folytonosidejű y(t) kimenőjelének meghatározása 

 

Példa 

Két energiatárolós, holtidős FI-folyamat Wp(s) átviteli függvénye a holtidős tag negyedfokú Strejc-közelítésével [11] és relatív (dimenziótlan) egységekben:

 

HE 25  

 

A folyamat átviteli függvényének paraméterei: kp=1; Tp1=20; Tp2=10; Th=4. 

A hibrid szabályozási rendszer diszkrét modellje alapján tervezzünk olyan

 

HE 26  

 

impulzusátviteli függvénnyel leírt, „ideális” PD-fokozatot tartalmazó PIPD-szabályozási algoritmust, amelynek zci és zcd zérusai kompenzálják a folyamat diszkrét modelljének a Tp1 és Tp2 időállandókból származó zp1=exp(-Ts/Tp1) és zp2=exp(-Ts/Tp2) pólusait, valamint a nyitott kör diszkrét frekvenciafüggvényének φt(ωc)=π/3 (60°) fázistöbbletet biztosít. 

 

Megoldás 

1. A Ts mintavételezési idő megválasztása 

 

HE 27

 

 

Legyen Ts=2. Ekkor a Th=2Ts  feltétel is betartható (1=2, vagyis a Th holtidő a Ts mintavételezési idő kétszerese).

 

2. A folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényének számítása 

Wp(s) és Ts ismeretében kiszámítjuk a zérusrendű tartószervvel kiegészített folyamat Wp(z)=Gp(z)/Hp(z) impulzusátviteli függvényét. A számítást a szakasz holtidős tényezőjének negyedfokú Strejc-közelítése alapján, MATLAB-támogatással végezzük: 

 

 kp=1;Tp1=20;Tp2=10;Th=4;Ts=2;

      Gps=kp;

         Hhs=conv([(Th/4)^2 Th/2 1],[(Th/4)^2 Th/2 1]);

      Hps=conv(conv([Tp1 1],[Tp2 1]),Hhs);

      [Gpz,Hpz]=c2dm(Gps,Hps,Ts);

      [zz,zp,kpd]=tf2zp(Gpz,Hpz);

      disp(zp);

      0.9048        exp(–Ts/Tp1)= exp(2/20)

      0.8187        exp(–Ts/Tp2)= exp(2/10)

      0.1353        exp(–Ts/(Th/4))=exp(2/1)

      0.1353

      0.1353

     0.1353     

 

A Tp1=20 és Tp2=10 időállandókból származó diszkrét pólusok zp1=0,9048, zp2=0,8187. Ezeket a pólusokat kell (és lehet!) a diszkrét PIPD-szabályozó zci és zcd  zérusainak – a póluskiejtés módszerével – kompenzálnia. Ez azért lehetséges, mert a folyamat DI-modelljének minden pólusa – miután az FI-folyamat aszimptotikusan stabilis – a z komplex számsík stabilis tartományában (az egységsugarú kör belsejében) van.

 

Megjegyzés 

A folyamat Wp(z) diszkrét modelljét – miután a felvett Ts=2 mintavételezési időnél a Th=4 holtidő ennek kétszerese (Th=2Ts , l=2) – a Strejc-közelítés nélkül is számíthatjuk. Eszerint:

  

          Gps=kp;Hps1=conv([Tp1 1],[Tp2 1]);

         [Gpz,Hpz1]=c2dm(Gps,Hps1,Ts);

         [zz,zp,kpd]=tf2zp(Gpz,Hpz);

         disp(zp);

         0

         0

         0.9048

         0.8187

  

Az így előálló Wp(z) diszkrét szakaszmodell ugyan most a holtidőt pontosan veszi figyelembe, és egyszerűbb (alacsonyabb fokszámú), mint ami a Strejc-közelítés alapján kapható, ennek ellenére célszerűbb a közelítés alapján dolgoznunk. Ennek magyarázata, hogy általában nem garantálható, hogy a Th holtidő a Ts mintavételezési időnek egész számú többszöröse legyen, vagy Th<p2p1 paraméterek mellett a Ts=Th/l választás indokolatlan kis mintavételezési időt eredményezne. A folyamat Th holtideje egyébként sem egy egzakt számérték, mivel a folyamat paraméterei általában munkapontfüggők. 

 

3. A szabályozási algoritmus megválasztása 

A diszkrétidejű szabályozási algoritmust a digitális számítógépen futó PIPD-elvre épített real time program realizálja. Ezt a programot a szabályozó Wc(z) impulzusátviteli függvénye reprezentálja, amelynek zci, zcd zérusait úgy kell megválasztani, hogy a folyamat Tp1 és Tp2 időállandóikból származó zp1,  zp2  pólusait, a diszkrét szabályozó zci és zcd zérusai – a zérus–pólus kiejtés módszerével – kompenzálják [12]. Ezért zci=zp1=0,9048 és zcd=zp2=0,8187. 

 

4. A szabályozó kcd erősítési tényezőjének méretezése 

A szakasz diszkrét pólusainak ismeretében tehát megállapítható, hogy a szabályozó zérusainak mely pólusokat kell kiejtenie (azt a kettőt, amelyek a legjobban megközelítik az egységet, mert ezek származnak a folyamat legnagyobb időállandóiból). A szabályozó erősítési tényezőjét kcd1=1 értékre előzetesen (és önkényesen) felvéve számítható a nyitott kör W0(z)=G0(z)/H0(z) impulzusátviteli függvénye és az ennek megfelelő a0d(ω) amplitúdó- és φ0d(ω) fázismenet (3. ábra). A φ0d(ω) fázismenetre a szabályozó kcd erősítésének semmi befolyása nincs.

 

      %kcd1=1;

      zci=zp(1);zcd=zp(2);

      Gcz=conv([1 -zci],[1 -zcd]);

      Hcz=[1 -1 0];

      [Goz,Hoz]=series(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

      dbode(Goz,Hoz,Ts);

 

HÁ 09

3. ábra A W0frekvenciafüggvény  dbode(Goz,Hoz,Ts); MATLAB-utasítás hatására megjelenített Bode-diagramjai

 

A képernyőn megjelenített diagram tájékoztató jellegű, és a fázismenetre vonatkozó része a meghatározó. A fázismenetből leolvasható hogy a -120° fázisszög (ekkor a fázistöbblet jt=60°) a körfrekvencia-intervallumnak egy körülbelül 0,01<w<0,1 szakaszára esik. Számítsuk ki ebben a tartományban az amplitúdómenet és a fázismenet pontos számértékeit. Néhány finomító lépés után a -120° értéket magában foglaló frekvenciatartomány kellő pontossággal behatárolható:

 

[a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts,0.088:0.0001:0.089);

     disp([a0d f0d w']);

     0.0963 -119.9482    0.0880

     0.0961 -119.9821    0.0881

     0.0960 -120.0161    0.0882

     0.0959 -120.0500    0.0883

     0.0958 -120.0839    0.0884

     0.0957 -120.1178    0.0885

     0.0956 -120.1517    0.0886

     0.0955 -120.1856    0.0887

     0.0954 -120.2195    0.0888

     0.0953 -120.2534    0.0889

 0.0951 -120.2874    0.0890 

 

Ha a nyitott kör vágási körfrekvenciáját ω1c=0,0882 értékre választjuk, akkor φ0d(ωc) @ -120.01610 és a DI-nyitott kör fázistöbblete φt(ωc)@60°. Ehhez azonban az is szükséges, hogy ezen a körfrekvencián absW0d=a0d(ωc)=1 legyen. Az előző táblázat adatai kcd1=1 értékre vonatkoznak, és mint láttuk, kcd értéke a fázismenetet nem befolyásolja. Ezért egy új kcd választással az absW0d=kcda0d1(ωc)=1 beállítható. Ebből kcd=1/a0d1(ωc), ahol a0d1(ω) az előző táblázat eredményei alapján a0d1(ωc )0,0960.

 

      a0d1=0.096;kcd=1/a0d1;

      Gcz=kcd*Gcz;

      printsys(Gcz,Hcz,'z');

  num/den=

         10.42z^2-17.95z+7.717

         ---------------------

               z^2 – z

 

A kapott eredmény – az adott feltételrendszer követelményei szerint méretezett – diszkrét működésű PIPD-szabályozó impulzusátviteli függvénye. A h(k)=ua(k)-y(k) hibajelből képzett u(k) irányítójel előállítása ennek alapján az alábbi rekurzív differenciaegyenlet alapján történik: 

 

u(k)=u(k-1)+10,42h(k)-17,95h(k-1)+7,717h(k-2)             Ts=2.

 

 

Ez az algoritmus a h(k)={1, 1, 1, ..., 1, ...}  egységminta-sorozat hibajelre u(k)={10,4200, 2,8900, 3,0770, 3,2640, 3,4510, 3,6380, 3,8250, 4,0120, 4,1990,…} válaszminta-sorozatot ad, ami egyébként a diszkrétidejű PIPD-szabályozó v0(k) átmeneti mintasorozata. 

 

5. A méretezés ellenőrzése 

A szakasz és a szabályozó impulzusátviteli függvényeinek ismeretében meghatározható a DI-nyitott kör W0(z) impulzusátviteli függvénye és z=exp(jωTs) helyettesítéssel az ennek megfelelő W0d[exp(jωTs)] nyitott köri diszkrét frekvenciafüggvény. Ennek a0d(ω) amplitúdó- és φ0d(ω) fázismenete a dbode MATLAB-függvénnyel számítható. Ezek ismeretében a W0d diszkrét frekvenciafüggvény ωc vágási körfrekvenciája és φt(ωc) fázistartaléka is meghatározható.

 

       %W0(z) számítása:  

       [Goz,Hoz]=series(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);   

       [a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts);

       [at,ft,wt,wc]=margin(a0d,f0d,w);

       disp([wc ft]);

       0.0882        59.9588


nyitott kör W0d frekvenciafüggvényének ωc=0,0882 vágási körfrekvenciánál ~60° fázistöbblete van. Ez egyben azt is jelenti, hogy a zárt rendszer átmeneti függvényének túllendülése a 10%-ot nem haladja meg, szabályozási ideje pedig pcs<3pc nagyságrendben várható. Ennek vizsgálatára számítsuk ki a zárt DI-rendszer egységminta-sorozat szerint változó, ua(k) alapjelre vonatkozó u(kTs) irányítójel és y(kTs) szabályozott jellemző válaszait (4. ábra).

 

       % WR(z)=W0(z)/((1+W0(z))=y(z)/ua(z)

       [GRyz,HRyz]=cloop(Goz,Hoz);

       % Wc(z)/((1+Wc(z))=u(z)/ua(z)    

       [GRuz,HRuz]=feedback(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz); 

       dstep(GRyz,HRyz,25)   % y(k)

       dstep(GRuz,HRuz,25)   % u(k)

 

HÁ 10 

4. ábra A hibrid szabályozás DI-modellje alapján méretezett rendszer u(k)

és y(k) jelei

 

A kapott eredmények azt szemléltetik, hogy a zárt rendszer elfogadható túllendüléssel rendelkezik, és ut=u(0)/u(∞)=10,42 túlvezérlési arány mellett kb. ts=20Ts=40 szabályozási ideje van. 

 

Folytatjuk!  

 

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné  

 

  szbela13@gmail.com 

  fjuhaszne@gmail.com   



[1] A közölt számítás során most feltételeztük, hogy az FI-folyamat Wp(s) átviteli függvényének exp(-sTh) transzcendens tényezőjét

 

exp(-sTh) ≈1/(1+sTh/m1)m1

 

Strejc-polinommal közelítettük (m1: 5…10).

[2] Az FI-folyamat Th>0 holtidejének egy másfajta figyelembevételét a soron következő számpéldában tárgyaljuk.

[3] Az „ideális” PDi-fokozat jelentése most az, hogy az irányítójel forszírozását kiváltó D-hatás egyetlen mintavételnyi ideig tart. Egy más megfogalmazásban: az „ideális” PDi-diszkrét algoritmus zcd zérusával – zcd=zp választásakor – a folyamat zp pólusát mintegy a z-sík origójába lehet áthelyezni.

[4] Az integrálszabályozás alkalmazásának előnyös tulajdonságait az alapfogalmak, illetve a folytonosidejű rendszerek tárgyalásakor már részleteztük. A W0(z) nevezőjében lévő (z-1) tényezők származhatnak a szabályozóba szándékoltan alkalmazott integráló hatás beiktatásából, de az is előfordulhat, hogy a folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényének nevezője maga is tartalmazza ezt a tulajdonságot (integráló tulajdonságú folyamatok). Az integráló fokozatok számának növelése ugyan egyre jobb statikus követést és értéktartást eredményez, de egyre nagyobb nehézségekkel jár a zárt rendszer stabilitásának biztosítása.

[5] A folytonosidejű, Wc(s)=kc(1+sTd) átviteli függvényű PDi-szabályozó (az ideális sTd átviteli függvényű D-fokozata miatt) nem realizálható. Ennek

kcd(1-zcdz-1) impulzusátviteli függvényű diszkrét megfelelője viszont realizálható, miután differenciaegyenlete: u(k)=kcd[h(k)-zcdh(k-1)].

[6] A folyamat pólusainak a szabályozó zérusaival történő „kiejtése” természetesen csak a matematikai modell tulajdonsága. A zpi=exp(-Ts/Tpi) pólusokat ugyanis az FI-folyamat Tpi időállandói határozzák meg, és ezek általában munkapontfüggő értékek. Mindezek miatt a fizikai valóságban az egzakt zérus–pólus „kiejtés” (a szabályozó egzakt zci és zcd zérusainak ellenére) nem valósulhat meg. A stabilis tartományban lévő pólusok esetében ez nem jelent problémát, labilis pólusokat azonban ilyen módszerrel „eltüntetni” nem szabad (lásd labilis folyamatok szabályozása)!

[7] Az eljárás (amely egyébként az FI-rendszer méretezésekor is felhasználható) kidolgozója Dr. Tuschák Róbert. Irodalom: Dr. Tuschák Róbert: Szabályozástechnika. Műegyetemi Kiadó.

[8] A DI-nyitott kör frekvenciafüggvényének Nyquist- és Bode-diagramjai hasonlítanak az FI-rendszer hasonló diagramjaihoz, de a DI-esetben az ωTs változó transzcendens függvényeiről van szó (lásd W0d kifejezését).

[9] A táblázatban szereplő számok nem egy, a paramétereinek tényleges számértékeivel definiált rendszer adatai, de az a0d amplitúdómenet, a φ0d fázismenet és az ω körfrekvencia alakulásának tendenciáit jól szemléltetik. (Az input adatbekérésnél ugyanis számszerűen nem definiáltuk a folyamatot és a mintavételezési időt).

[10] Ha a hibrid rendszert a folytonosidejű modellje alapján méreteztük, a méretezést követő ellenőrzés eljárása célszerűen az itt alkalmazott módszer lehet.

[11] A közelítés eredménye, hogy az eredetileg transzcendens tényezőt tartalmazó Wp(s) átviteli függvény polinomok hányadosaként jelenik meg, vagyis nem tartalmazza az exp(-sTh) transzcendens tényezőt. Ennek akkor van jelentősége, ha a Th holtidő a Ts mintavételezési időnek nem egész számú többszöröse.

[12] Ez a pólus–zérus kiejtés a – pólusok nem egzakt volta miatt – nem lehet tökéletes, ezért csak akkor jöhet szóba, ha a kiejteni kívánt pólus és a zérus az egységsugarú körben (a stabilis tartományban) van.