magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

Hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése – 3

Hibrid rendszer tervezése a diszkrétidejű (DI) modell alapján

A hibrid rendszer DI-modelljének meghatározásakor a zoh-tartószervvel kiegészített Wp(s) átviteli függvényű FI-folyamatot ennek Wp(z) DI-modelljével kell leírni. A DI-folyamat bemeneti mintasorozatának a DDC-szabályozó D/A-átalakítóra (a tartószervre) adott u(kTs) jelét, kimeneti mintasorozatának pedig az A/D-átalakító (a mintavételező) y(kTs) kimenőjelét tekintjük.

.

    A hibrid rendszer DI-jelekre és -tagokra homogenizált matematikai modelljét az 1. ábra mutatja:

 

HÁ 06

1. ábra A hibrid rendszer DI-jelekre homogenizált hatásvázlata

 

Eme modellalkotás „gyenge” pontja – azon túlmenően, hogy a kTs(k+1)Ts mintavételezési időpontok közötti FI-jelek jelváltozásairól információt nem szolgáltat –, hogy a zérusrendű tartószervvel bővített FI-folyamat adott Wp(s) átviteli függvényéből kiszámítható

 

HE 11

 

diszkrét szakaszmodell meghatározásához a Ts mintavételezési idő ismeretére is szükség van. Ha a folyamat a késleltetései energiatárolásból származtatható Tpi>0 időállandókat és a hatásterjedés véges sebességéből származó Th>0 holtidőt is tartalmaz, akkor átviteli függvénye:

 

HE 12 

 

vagyis m energiatárolós, holtidős, önbeálló folyamatról van szó [1] (kp>0 a folyamat átviteli tényezője, Tpi>0 időállandók, Th>0 holtidő). A Ts mintavételezési idő megválasztására vonatkozó (tapasztalati adatokból és szimulációs kísérletekből származó) egyik ajánlás ekkor [2]:

 

HE 13

 

Ez utóbbi kifejezés – a folyamat Tpi és Th paramétereinek ismeretében – kb. 1:2 tartományban kínálja Ts megválasztásának a lehetőségét. E tartományon belül maradva célszerű a Ts mintavételezési időnek olyan értéket adni, hogy a folyamat Th holtideje a mintavételezési időnek egész számú többszöröse legyen (Th=lTs, l egész), mivel ez a folyamat diszkrét modelljét egyszerűsíti. Ekkor ugyanis:

 

HE 14

 

ahol W(s) transzcendens tényezőt már nem tartalmazó algebrai tört, és

Z{W(s)/s} a folyamat holtidő nélküli FI átmeneti függvényének alapján képzett mintasorozat Z-transzformáltja. A hibrid szabályozás diszkrétidejű modelljének javára írható igencsak előnyös tulajdonság, hogy a folyamat Wp(z) diszkrét modelljéhez méretezett Wc(z) diszkrét szabályozó olyan algoritmusokhoz is elvezethet, amelyeket folytonosidejű rendszerben létrehozni elvileg nem, vagy csak igen körülményesen lehetne (pl. véges beállású hibrid rendszer, időoptimális szabályozás, Smith-szabályozás stb.). A diszkrétidejű modell alapján történő tervezés során a DDC-szabályozó Wc(z) impulzusátviteli függvényét számítjuk, vagyis a tervezés végeredményeként közvetlenül a szabályozási algoritmust kapjuk.

     A zárt DI-rendszer ua(k) alapjel hatására keletkező h(k), u(k) és y(k) diszkrét mintasorozatainak h(z), u(z) és y(z) transzformáltjai a hatásvázlat alapján – a diszkrét tagok negatív visszacsatolására vonatkozó képleteinek figyelembevételével – számíthatók. Adott ua(z) alapjel és Wc(z), Wp(z) impulzusátviteli függvények mellett a hibajel, az irányítójel és a szabályozott jellemző mintasorozatainak Z-transzformáltjai (1. ábra). Ezekben az egyenletekben

    • a W0(z)=Wc(z)Wp(z)=G0(z)/H0(z)=y(z)/h(z) a nyitott szabályozási hurok;

    • az 1/[1+W0(z)]=h(z)/ua(z),

    • a Wc(z)/[1+W0(z)]=u(z)/ua(z) és

    • a W0(z)/[1+W0(z)]=WR(z)=GR(z)/HR(z)=y(z)/ua(z)

kifejezések pedig a zárt szabályozási rendszer alapjelre vonatkozó eredő impulzusátviteli függvényei. Az előbbi az y(k) szabályozott jellemző és a h(k) hibajel mintasorozatai közötti függvénykapcsolatot [y(z)=W0(z)h(z)], az utóbbiak a h(k) hibajel, az u(k) irányítójel, az y(k) szabályozott jellemző, valamint az ua(k) alapjel mintasorozatai közötti függvénykapcsolatokat adják meg (pl. y(z)=WR(z)ua(z)).

      A diszkrét zárt szabályozási rendszer stabilitását az

 

1+W0(z)=1+G0(z)/H0(z)=0, illetve a

HR(z)=G0(z)+H0(z)=0

 

karakterisztikus egyenletének zpRi gyökei (a zárt DI-szabályozási rendszer eredő WR(z) impulzusátviteli függvényének pólusai) szabják meg. Aszimptotikusan stabilis diszkrét zárt rendszer esetén ezek a pólusok a z komplex számsík egységsugarú körének belsejében helyezkednek el (|zpRi|<1). Ennek megvalósítása a DI-rendszerrel szemben támasztott alapkövetelmény. A zpRi pólusok vizsgálatára most a Hurwitz-kritérium közvetlenül nem használható, mivel ekkor a karakterisztikus polinomnak nem Hurwitz-polinomnak kell lennie. A stabilitás vizsgálatára ezért elsődlegesen a frekvenciamódszert (a DI-rendszerekre is adaptálható Nyquist stabilitási kritériumot) használjuk, ami egyébként a szabályozó impulzusátviteli függvényének rendszertechnikai méretezésben is jelentős támogatást nyújt.

     A DI-rendszer nyitott körének W0d[exp(jωTs)] frekvenciafüggvényét a W0(z) impulzusátviteli függvényből z=exp(jωTs) helyettesítéssel kapjuk. Ennek normál alakban felírható kifejezése:

 

HE 16

 

Miután exp(jωTs)=cos(ωTs)+jsin(ωTs), a W0d diszkrét frekvenciafüggvény egy komplex kifejezéseket tartalmazó [α(ωTs)+(ωTs)]/[γ(ωTs)+(ωTs)] típusú törtfüggvény [3], aminek különféle alakjai vannak. Ezek a tipikus alakok:

 

HE 17

 

A W0d komplex frekvenciafüggvénynek [4] a0d(ωTs) abszolút értéke és φ0d(ωTs) fázisa láthatóan az ωTs változó transzcendens függvényei. Rögzített Ts mintavételezési idővel:

 

HE 18

 

Az a0d(ω) amplitúdó- és φ0d(ω) fázismenet alapján – egy előírt φt(ωc) fázistöbbletre vonatkozó követelményt figyelembe véve – kompenzációs szabályozót kell terveznünk. Tekintetbe kell vennünk azonban, hogy a

z=exp(Ts) megfeleltetés következményeként egyrészt a 0/Ts körfrekvencia-intervallumban kell dolgoznunk (ωN=π/Ts a Nyquist-körfrekvencia), másrészt a0d(ω) és φ0d(ω) meghatározására és a gyors tájékozódásra lehetőséget adó aszimptotikus Bode-közelítések – az exp(jωTs) transzcendens tényezők miatt – most nem használhatók, illetve a „kézi” számítások nagyon hosszadalmasak. Figyelemre érdemes a MATLAB

 

[a0d,f0d,w]=dbode(G0z,H0z,Ts);

 

utasítása (az f0d=φ0d és a w=ω MATLAB-változók), amely a diszkrét, nyitott kör frekvenciafüggvénye amplitúdó- és fázismenetének kiszámítását és ábrázolását (ezek transzcendens voltuk mellett) hatékonyan támogatja. Természetesen az a0d(ω) amplitúdómenet és a φ0d(ω) fázismenet meghatározásához a diszkrét nyitott kör W0(z)=G0(z)/H0(z) impulzusátviteli függvényének és a Ts mintavételezési időnek az ismeretére van szükség.

 

Folytatjuk! 

 

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné 

 

  szbela13@gmail.com 

  fjuhaszne@gmail.com  



[1] Az exp(-sTh) holtidőt tartalmazó tényező m1 fokszámú Strejc-polinommal is közelíthető:

exp(-sTh)≈1/(1+sTh/m1)m1,    m1: 5…10.

[2] A Th+ΣTpi érték a folyamat lineáris szabályozási területével arányos mennyiség, a folyamat eredő jelkésleltetésének egyik szokásos mérőszáma. A mintavételezési idő felvételére más ajánlások is léteznek, ezeket azonban nem tárgyaljuk.

[3] Az α(ωTs), β(ωTs), γ(ωTs), δ(ωTs) valós tényezők az ωTs változó trigonometrikus hatványfüggvényei.

[4] A DI nyitott kör W0d frekvenciafüggvényének jelölésében a d (diszkrét szóra utaló) indexet is szerepeltetjük, jelezve ezzel azt a tulajdonságot, hogy ez az exp(jωTs) változó algebrai törtje, vagyis az ω változó transzcendens függvénye. 

 
 
 

 

   
Advertisement
--!>