Skip to main content

Piezo- és piroelektromos átalakítók – 6.

Megjelent: 2014. április 04.

Piezoelektromos átalakítók analóg helyettesítő képének kapcsolata az anyagjellemzőkkel

Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy a gyakorlati alkalmazásokban szokásos u feszültség, i áram, v sebesség és F erő makroszkopikus változók és az eddigiekben megismert piezoelektromos anyagjellemzők között milyen kapcsolat van. Más megfogalmazással élve: keressük a véges mechanikai méretekkel rendelkező piezoelektromos átalakítók mechanikai, villamos és piezoelektromos tulajdonságainak az eddig megismert anyagjellemzőkkel való kapcsolatát. Célszerű a vizsgálathoz az analóg helyettesítő képek (AHK) módszerénél megismert  ábrázolást választani (1. ábra).

 

Megjegyzés

Az analóg helyettesítő képek alkalmazása az érzékelők dinamikus modellezésének egyik bevált, szemléletes módszere, amikor is különböző, nem villamos elven működő rendszerekhez a rendszeranalógia elve alapján analóg villamos hálózatot rendelünk. A téma iránt részletesebben érdeklődők számára a bőséges szakirodalomból A. Lenk: Elektromechanische Systeme Band 2: Systeme mit verteilten Parametern, VEB Verlag Technik Berlin 1974 c. művét ajánljuk. Az AHK-modellezésről és méréstechnikai alkalmazásáról a Magyar Elektronika folyóiratban A folyamatműszerezés érzékelői cikksorozat keretében egy összefoglalás is készült Dinamikus modellezés AHK-módszerrel 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7. címekkel.

 Fock19 jav

 1. ábra Piezoelektromos átalakító analóg helyettesítő képe, elemeinek kapcsolata az anyagjellemzőkkel és a geometriai méretekkel

 

Az AHK-módszer szerint az átalakító koncentrált paraméterű helyettesítő képe girátor típusú Y átalakítási tényezővel, a villamos oldalon Cb kristálykapacitással, a mechanikai oldalon nk rugóengedékenységgel jellemezhető. Célunk tehát ebben a fejezetben ezeknek a mennyiségeknek és az anyagjellemzők kapcsolatának a meghatározása azzal a kiegészítéssel, hogy figyelembe vesszük még a k2 csatolási tényezőt is.

Az egyszerűség érdekében a továbbiakban szinusz alakú időfüggvényekkel dolgozunk, ezért a jelölésekben a változók most komplex amplitúdókat jelentenek. A jelölésekben E és D elektrosztatikus térvektorokat, az S és T pedig tenzoriális változókat jelentenek. Ezen  hálózati koordináták közötti kapcsolat az 

Fock egyenlet 1 

egyenletekkel írható le, amelynél figyelembe kell venni az Amechlmech=Aellel egyenlőséget is, vagyis mindig ugyanakkora V térfogatú elemről van szó.

A hálózati változók közötti kapcsolat felírásához az eddig megszokottakhoz képest a rugalmas enthalpia potenciálfüggvényből levezethető 

 Fock egyenlet 2 

lineáris állapotegyenlet-rendszerből célszerű kiindulni, ahol az eddigiekben még nem használt anyagjellemzők közül az eni, emj a piezoelektromos modult, a cjiE  pedig az állandó térerősségnél mért rugalmassági modult jelenti. Kapcsolatukat az eddigiekben megismert anyagjellemzőkkel az 1., 2. és 3. táblázat tartalmazza. A hálózati koordináták közötti kapcsolatot a két egyenletrendszer felhasználásával, a definiált anyagjellemzőkkel az  

 Fock egyenlet 3

egyenletrendszert adja, ami az AHK-hálózat elemeivel az

Fock egyenlet 4 

alakban is felírható, ahol (az 1. ábrával megegyező módon)

Fock egyenlet 5

Látható, hogy az AHK elemeinek meghatározásához a szóba jöhető piezoelektromos hatások esetén az εnmS, eni és cjiE anyagjellemzők ismeretére van szükség. Nem szabad figyelmen kívül hagyni a számításokban a k2 csatolási tényező (vagy hatásfok) értékét sem. Ezeket az összefüggéseket a gyakorlatban előforduló esetekre az 1., 2. és a 3.  táblázat foglalja össze.

 

Mechanikailag szabad átalakítók

Elsőként vizsgáljuk meg az 1. táblázat bal oldali oszlopában lévő, mechanikailag szabad, longitudinális hatás alapján működő jelátalakítót [1]. A feltételezések szerint az lxly nagyságú határoló felület az x és y irányokra merőlegesen szabadon elmozdulhat, és az elemre csak a σz mechanikai feszültség és az Ez villamos térerősség hat. Feltételezzük továbbá, hogy a piezoelektromos anyag (ε) dielektromos mátrixának csak a főátlójában vannak elemei, aminek következtében csak a Dz eltolásvektorral kell számolnunk. Ezekkel a feltételezésekkel a lineáris állapotegyenlet egyszerűsödik: 

 Fock egyenlet 6 

és a makroszkopikus hálózatkoordináták kiszámításához könnyen átszámítható a 

 Fock egyenlet 7

alakra. Ezzel az e, c és ε anyagjellemzők számítási összefüggéseit kaptuk meg, amelyek az 1. táblázat bal oldali oszlopának megfelelő soraiban is láthatók. A longitudinális hatás következtében Ael=Amech és lel=lmech. Az előző fejezetben tárgyalt piezoelektromos anyagok között van olyan is (pl. az α-kvarc) amely az x-irányban mutat longitudinális hatást. A gondolatmenet értelemszerű felhasználásával nincs akadálya annak, hogy az x-irányra is kiszámítsuk az e, c és ε anyagjellemzőket. A számítást az olvasóra bízzuk. 

 Fock Tabla 7 1

1. táblázat Mechanikailag szabad piezoelektromos átalakítók működése és jellemző paramétereinek kapcsolata  

 

Az 1. táblázat jobb oldali oszlopában egy tranzverzális hatást vizsgálunk, amely az előzőtől abban különbözik, hogy az erőhatás most x-irányú, vagyis σyz=0, és csúsztató feszültségek most sem hatnak. Ezekkel a feltételekkel a d31-jelű tranzverzális hatásról van szó, és a számítás az előző gondolatmenet alapján az alábbi eredményt adja: 

Fock egyenlet 8-9 

Ennek az egyenletrendszernek az alapján határozhatók meg az 1. táblázat második oszlopának hiányzó adatai [2], amelyek felhasználásával szeretnénk a figyelmet felhívni a tranzverzális hatás alkalmazásának arra az előnyeire, hogy az erő-, illetve nyomásmérők érzékenységét megfelelő alakválasztással növelni lehet. Egytengelyű, homogén feszültségállapot feltételezésével a σx mechanikai feszültség 

 Fock egyenlet 10

amivel az állapotegyenlet alapján 

Fock egyenlet 11 

A piezoelektromos hatás során keletkezett Q villamos töltések a

 Fock egyenlet 12 

levezetés eredményeként az érzékelő karcsúságától, vagyis az lx/lz hányadostól is függenek. Ezt a hatást – mint az alkalmazástechnikai fejezetekben a későbbiekben még látni fogjuk – például előnyösen használják ki elsősorban nyomásmérő konstrukciókban. Az alakkal történő érzékenységnövelésnek a mérőelem kihajlása szab határt.

 

Mechanikailag befogott átalakítók

A 2. táblázat bal oldali oszlopában egy olyan mechanikai igénybevétel látható, amelynél az F erő hatására a z tengelyre merőleges irányban minden mechanikai deformáció korlátozva van, csak z-irányú alakváltozás lehetséges. Ez a mechanikai terhelési mód statikus viszonyok között nehezen megvalósítható, de kellően magas frekvenciájú változásoknál létrejöhet. Ha az lx és ly méretek az lz-hez képest elegendően nagyok, akkor magas frekvenciákon az x-, illetve y-irányú deformációkat a tömegtehetetlenség megakadályozza. Vagyis εxyxyz=0 feltételezésével ismételten csak a Dz és σz változókomponensek maradnak, és a lineáris állapotegyenlet a 

Fock egyenlet 13 

alakban írható fel, amelynek alapján a 2. táblázat bal oldali oszlopának összes többi adata is kiszámítható. 

 Fock Tabla 7 2

2. táblázat Mechanikailag befogott piezoelektromos átalakítók működése és jellemző paramétereinek kapcsolata 

 

A 2. táblázat jobb oldali oszlopában látható mechanikai terhelésforma olyan piezoelektromos anyagokra érvényes, amelyek a z-tengelyre szimmetrikusak, vagyis amelyeknél a d31=d32, s11=s22 és az s12=s13 feltételek teljesülnek. Ebben az esetben a peremfelületek egyenletesen terheltek, vagyis σx és σy feszültségek, illetve εx és εy deformációk egymással egyenlők.

Ez az állapot általában kör alakú lemezeknél fordul elő, amelyeknél a kerületen a felületi erőhatások radiális irányban hatnak. A z-irányban nem hat erő, vagyis csak σx és σy feszültségkomponensek léteznek. A σ=σx/2=σy/2 jelölés bevezetésével az állapotegyenletek 

Fock egyenlet 14 

alakúak, amelyeket a Dz és σ változókra kifejezve a 

Fock egyenlet 15

formára hozhatunk. Ebből számíthatók a 2. táblázat jobb oldali oszlopának anyagjellemzői.

 

Nyíró igénybevételnek kitett piezoelektromos átalakítók

A 3. táblázat mindkét oszlopa csúsztató hatásokat foglal össze. Ha feltételezzük, hogy csak egy csúsztatófeszültség hat – és normálfeszültségekkel nem kell számolnunk –, akkor célszerűen ismét a 

Fock egyenlet 16 

egyenletrendszert választhatjuk kiindulásul. Az az elasztomechanikusan izotróp testekre érvényes tulajdonság, miszerint egy csúsztatófeszültség csak a hozzá tartozó deformációval áll kapcsolatban, az itt tárgyalt anizotróp piezoelektromos anyagoknál nem érvényes. Emiatt a feltüntetett peremfeltételeknél a feszültségek hatására a γy és γz szögdeformációkon kívül más deformációkomponensek is keletkeznek. Az a feltételezés, hogy csak egy csúsztatófeszültség-komponens van, egyedül a 3. táblázatban feltüntetett esetekre érvényes. Az anyagjellemzők meghatározása teljesen analóg az 1. táblázat oszlopaihoz tartozó számítási eljárásokkal, ezért ezek közlésétől eltekintünk.

Fock Tabla 7 3

3. táblázat Nyíró igénybevételnek kitett piezoelektromos átalakítók működése és jellemző paramétereinek kapcsolata 

 

Erőmérők piezoelektromos érzékelőkkel

Az anizotróp anyagtulajdonságokból fakadó következményekre és azok kiküszöbölési lehetőségeire kívánunk rávilágítani a piezoelektromos érzékelők erőmérőkben való felhasználásánál. A 2. ábrán egy egyszerű longitudinális igénybevételű, piezoelektromos érzékelőből kialakított erőmérővel az F erőt kívánjuk megmérni. Az lxly méretű érzékelő egy N1-, illetve N2-jelű, azonos alapterületű nyomóelem között helyezkedik el. A nyomóelemek feladata az F koncentrált erő elméletileg egyenletes terheléssé történő szétosztása.

 

Fock20 javított

 

2. ábra Longitudinális piezoelektromos érzékelő az F nyomóerő mérésére

 

Elsőként tételezzük fel, hogy az egyszerű modellre csak egy tengelyirányú F nyomóerő hat, amelyik merőleges a nyomóelemek alapfelületére, és egyidejűleg a piezoelektromos elemre is hat. Az erőhatás a nyomóelem alapfelületén egyenletesen megoszló terhelésként jelentkezik. A piezoelektromos érzékelőben homogén mechanikai feszültségállapot, homogén deformáció és ezzel egyidejűleg homogén villamos polarizáció keletkezik. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy tengelyirányban egytengelyű feszültségeloszlás jön létre. Elhanyagoljuk tehát a nyomóelemek és az érzékelő közötti kölcsönhatást (ami a kétfajta anyag különböző keresztirányú nyúlásából, valamint a nyomóelemek hajlító deformációjából adódik), és feltételezzük, hogy a nyomóelemek csak normális erőt (illetve a későbbiekben csak nyíróerőt) közvetítenek. A piezoelektromos elem z-irányú vastagsága lz. A σz nyomófeszültség a 

Fock egyenlet 17

egyenlettel számítható. Villamos rövidzár feltételezésével (Ez=0) a lineáris állapotegyenlet-rendszerből a töltéssűrűség kifejezése

Fock-18-egyenlet-újra  

alakú, amiből a Q töltést az lxly felülettel való szorzással kapjuk, vagyis 

 Fock egyenlet 19 

A polarizációs töltés – ami például egy töltéserősítővel mérhető – az F erővel arányos, az érzékenység a longitudinális hatást meghatározó d33 tényező.

Ha a piezoelektromos elemre ható mechanikai terhelés nem homogén eloszlású, akkor a polarizációs töltést a töltéssűrűség lxly felületre való integrálásával kell meghatározni. Ha a mérendő erő nem merőleges az N1 nyomóelem felületére, akkor az erőt egy FN normál és egy FT tangenciális komponensre lehet felbontani. Az FT tangenciális komponens egy csúsztatófeszültséget hoz létre a mérőelemben (az N2-jelű alaplapon keresztül egy ellenkező irányú reakcióerő is keletkezik, tehát az elem egyensúlyban marad). Ahhoz hogy a mérési eredményre ez a tangenciális erő semmiféle befolyást ne gyakoroljon, a 

Fock egyenlet 20 

feltételnek kell teljesülnie, és ezáltal a mérőeszköz csak az FN normálerőt méri.

Ez a csúsztató piezoelektromos együtthatókra vonatkozó feltétel azonban csak akkor elegendő, ha a piezoelektromos elem kristálytanilag pontosan orientált, vagyis a mérőelem felülete valóban merőleges a kristálytani z tengelyre. Ha ez nem teljesül, akkor egy speciális mérési hiba keletkezik, amelyet áthallásnak neveznek. Az áthallás elkerülése érdekében az orientálásnak szögperc pontossággal kell megvalósulnia.

Az erősen idealizált modell alapvető feltételezése, hogy a normális irányú erő a mérőelemben egytengelyű feszültségállapotot hoz létre. A mérőelem tehát ebben a modellben a Poisson-hatásnak megfelelően keresztirányban szabadon deformálódhat. A valóságban azonban ez a szabadság a nyomóelem és a mérőelem egymással érintkező felületeinek súrlódó kölcsönhatása miatt nem valósul meg.

Egy anizotróp piezoelektromos lemez nyomása két izotróp (többnyire nagyszilárdságú acélból készült) nyomóelem között általában egy háromdimenziós, anizotróp, rugalmas deformációnak a problematikája. A feladat egzakt módon a mai napig nincs megoldva, de a végeselemes módszerek ennek a feladatnak a tisztázására eredményes közelítést hoztak. Emiatt a továbbiakban a következő feltételezésekkel élünk:

 

• Az érintkező felületek síkok maradnak,

• A piezoelektromos érzékelő lz vastagságát az lx és az lméretekhez képest úgy választják meg, hogy a lemez széleinél lévő szélhatások elhanyagolhatók legyenek,

A csatlakozó felületek közötti súrlódás végtelen nagy, vagyis a piezoelektromos érzékelő és a nyomóelem deformációját azonosra vehetjük.

 

Mindebből az következik, hogy a piezoelektromos érzékelőben a feltétezett egytengelyű feszültségállapot nem valósul meg. A σfeszültségen kívül a mérőelemben σx és σy, valamint τxz feszültségek is keletkeznek, amelyek a nyomóterheléskor keletkező polarizációs töltéseket befolyásolják. Ez a megváltozás az érzékelő és a nyomóelem rugalmas tulajdonságaitól függ. Ha az érzékelő nagyon vékony, akkor feltételezhető, hogy a nyomóelem keresztirányú deformációja teljes egészében átadódik. Az effektív érzékenység meghatározása a végeselemek módszerével történhet, azonban ezek a számítások a gyakorlatban csak viszonylag körülményesen végezhető el.

A nyomóelem és az érzékelő közötti kölcsönhatásnak még egy lényeges következménye van. Minden hőmérséklet-változás a nyomóelem és az érzékelő hőtágulásához vezet. A két anyag hőtágulási együtthatója azonban általában különböző, amelyet még az is bonyolít, hogy a piezoelektromos érzékelő ezen kívül anizotróp is. A hőmérséklet-változás hatására tehát a csatlakozó felületeken mechanikai feszültségek lépnek fel, amelyek a hőmérséklet-változással arányosak, és pótlólagos töltésváltozást okozhatnak. Felhasználói oldalról tehát egy ún. pszeudo piroelektromos hatással állunk szemben még akkor is, ha egyébként az érzékelő anyaga polárosan semleges. A pszeudo piroelektromos hatással az Energiaátalakulások szilárd testekben cikksorozat  Piezo- és piroelektromos átalakítók 2. részében ismerkedhettünk meg.

Ennek a hatásnak a kiküszöbölése komoly konstrukciós kérdés, amelyet például azonos hőtágulású anyagok felhasználásával eredményesen lehet csökkenteni. De hasonlóan fontos szerepet játszik a nyomóelemek és az érzékelő-, valamint a szigetelőlemezek vastagságának helyes megválasztása is.

A 3. ábrán látható erőmérő modell alkalmas arra, hogy a nyíróerő mérési lehetőségét vizsgáljuk rajta. A mérőelemnek ekkor természetesen a nyíró igénybevételre kell érzékenynek lennie. Egy α-kvarcból készült érzékelőben ez teljesül, ha azok a kristályfelületek, amelyeken a töltések megjelennek, az y tengelyre merőlegesek, és a mérendő erő az N1 elemre az x-irányban hat.

 

Megjegyzés

A 3. ábrán látható N1- és N2-jelű befogó elemek jelképesen jelzik azt a mechanikai befogó rendszert, amelyik hivatott a mérendő, koncentráltan ható F erőből a piezoelektromos kristály lxly nagyságú felületein egyenletesen megoszló, homogén τxy csúsztató feszültséget létrehozni. Ehhez a megfelelő mechanikai kialakításon kívül a szükséges súrlódóerő létrehozásához egy sztatikus (az ábrán nem jelölt) z-irányú nyomóerőre is szükség van. Ez a statikusan ható erő mérési hibát azonban nem okoz, mert mint korábban többször is megállapítottuk, piezoelektromos elven csak dinamikus igénybevételt lehet mérni. (A statikus igénybevétel által létrehozott villamos töltés ugyanis a kristály saját ellenállásán keresztül kisül.)

 

Fock21 javított

3. ábra F nyíróerő mérése tranzverzálisan csúsztató igénybevételű piezoelektromos mérőelemmel (α-kvarc, d26 piezoelektromos együttható)

 

A mérendő erő az érzékelő elmozdulását és elfordulását megakadályozó reakcióerővel létrehoz egy homogén

 Fock egyenlet 21

csúsztatófeszültséget, amellyel a töltéssűrűség 

Fock egyenlet 22 

és a keresett Q töltés

Fock-egy-23-mód

Ha az N1 nyomólapra egy tetszőleges irányú erő hat, akkor a vázolt modell az x-irányú nyíróerő-komponens helyes meghatározására csak akkor alkalmas, ha d21=d22=d23=d24=0. Ez a feltétel csak az α-kvarckristály pontos orientációjával teljesíthető, az orientáció pontatlansága hibát eredményez. Ezen túlmenően nem szabad elfelejtkezni az érintkező felületek kölcsönhatásáról, illetve az ebből származó hibákról sem, amelyeket a longitudinális hatásnál már korábban részletesen megvizsgáltunk.

A méréstechnikai gyakorlatban ritkán fordul elő a nyíróerő közvetlen mérésének a feladata, de mint a későbbiekben látni fogjuk, a nyomatékmérők és a többkomponenses erőmérők kialakításánál az elmondottaknak fontos szerepe van.

 

 

Folytatjuk!



Szerző: Dr. Fock Károly

 

Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.

 

 

 


 

[1] A táblázat itt és a későbbi esetekben is piezokerámiák alkalmazását tartalmazza. Értelemszerűen hasonló gondolatmenettel más anyagok elemzése is elvégezhető.

[2] α-kvarc esetén a d12-jelű tranzverzális hatás alapján működő átalakítók kialakítására nyílik lehetőség, és az elemzés a fentiekhez hasonló eljárással – az anyagjellemzők értelemszerű módosításával – hajtható végre.