Szabályozástechnika 56

Hibrid szabályozás rendszertechnikai tervezése – 6 

Hibrid szabályozás tervezése véges beállásra a diszkrét modell alapján 

A hagyományos PID-algoritmusok mellett a DDC-szabályozásokban alkalmazható a h(kT_s) hibajel feldolgozásának olyan eljárása is, amelynek eredményeként a folyamat bemenetén működő u_T(t) irányítójel az y(t) szabályozott jellemzőt véges idő alatt (véges beállású rendszerek) vagy optimális idő alatt (időoptimális rendszerek) az u_a alapjelnek megfelelő végértékére állítja be. A véges beállású rendszerek szabályozási algoritmusainak meghatározása vezet el az időoptimális irányítási algoritmusok meghatározásához is, ezért elsőként ezekkel foglalkozunk.

   Vizsgálataink során feltételezzük, hogy az irányított folyamat önbeálló, holtidőmentes, vagy ha a folyamatnak holtidőt tartalmazó késleltetése is van, akkor azt m₁ fokszámú Strejc-polinommal közelítjük. A folyamat energiatárolásból származtatható jelkésleltetéseinek időállandói T_pi>0, holtideje T_h>0 és átviteli tényezője k_p>0. Ez utóbbi jelentése szerint a szabályozott jellemző y=1 állandósult értékének fenntartásához az irányítójel u=1/k_p állandósult értéke szükséges. A folyamat átviteli függvénye:

A hibrid szabályozásnak jellegzetes tulajdonsága – mint ahogy azt már többször említettük –, hogy a DDC-szabályozó (a T_s mintavételezési ütemezés és a zoh-tartószerven keresztül érvényre jutó „tartás” következményeként) a szabályozási algoritmusnak megfelelő, ún. „lépcsős” időlefolyású u_T(t) irányítójelet működtet a folyamat bemenetén. Az u_T(t) irányítójel eme „lépcsői” és a lépcsők időtartamai a diszkrét jeleket feldolgozó szabályozási algoritmussal és a mintavételezési idővel rugalmasan alakíthatók. Ez a tulajdonság lehetőséget teremt arra, hogy az irányítójelet (a „klasszikusnak” tekinthető PID-algoritmus helyett) más elvek szerint állítsuk elő. Egy ilyen lehetőség a véges idő alatti beállást megvalósító szabályozási algoritmusnak az alkalmazása [1]. A DeadBeat- (DB) -szabályozási algoritmus tervezése során azt kívánjuk elérni, hogy a hibrid szabályozási körben a szabályozó bemenetén működtetett h(kT_s)=y_A(kT_s)-y(kT_s)=1(kT_s)-y(kT_s) hibajel mintasorozat [2] hatására a DB-diszkrét szabályozó u(kT_s) kimenetén olyan diszkrét irányítójel mintasorozat keletkezzen, amelynek hatására a folytonos y(t) szabályozott jellemzőről képzett y(kT_s) mintasorozat véges számú lépést követően az egységet veszi fel. Ekkor: 

u(kT_s) ={u(0),u(T_s),u(2T_s),…, u[(n-1)T_s],  u(nT_s), u[(n+1)T_s], u[(n+2)T_s],…}= 

           ={u(0),u(T_s),u(2T_s),…, u[(n-1)T_s]        1/k_p,     1/k_p,         1/k_p, … } 

y(kT_s) ={y(0),y(T_s),y(2T_s),…, y[(n-1)T_s],  y(nT_s), y[(n+1)T_s], y[(n+2)T_s],…  }= 

           ={y(0),y(T_s),y(2T_s),…, y[(n-1)T_s],        1,         1,             1, …          }, 

ahol k_p az önbeálló tulajdonságúnak feltételezett FI-folyamat átviteli tényezője és y(0)=0. Az u(kT_s) és az y(kT_s) mintasorozat jellegzetes tulajdonságai, hogy nT_s véges idő eltelte után az irányítójel mintái 1/k_p állandó értékek [3], és a szabályozott jellemző mintái is az alapjel egységminta-sorozatának megfelelő

y(nT_s)=1 végértékükre állnak be. Igazolható, hogy ilyen szabályozási algoritmus létezik, és az nT_s beállási idő – bizonyos korlátozások mellett – szabadon előírható [4]. A tervezés alapkérdése az u(kT_s) mintasorozat 

u(0), u(T_s),…, u[(n-1)T_s]

mintáinak meghatározása, mivel ezek hatására kell, hogy nT_s idő alatt az y(kT_s) szabályozott jellemző mintasorozatának az y(nT_s)=1 állandósult értéke kialakuljon. Az u(kT_s) mintasorozat n, n+1, n+2, … sorszám alatti mintái mindegyikének azért kell 1/k_p értékűnek lennie, mert az önbeálló folyamat k_p átviteli tényezője miatt ezek eredményezhetnek az n, n+1, n+2, … sorszám alatti egységnyi értékű y(kT_s)=1 kimeneti mintákat. Figyelembe kell vennünk azt a tényt is, hogy az u(kT_s) irányítójel mintasorozatot a W_DB(z) szabályozási algoritmus a

h(kT_s)=u_a(kT_s)-y(kT_s)

hibajel-mintasorozatból állítja elő (1. ábra). Ha az nT_s idő elteltével az y(kT_s) mintasorozat az egységet veszi fel és ezen az értéken állandó marad, akkor az nT_s időponttól kezdődően a hibajel mintái

h(nT_s)=u_a(nT_s)-y(nT_s)=1-1=0

értékek. Ez a zérus hibajel akkor képes fenntartani az nT_s idő elteltét követően az u(nT_s)=1/k_p mintákból álló diszkrét irányító jelet, ha a szabályozónak integráló tulajdonsága van (az integráló tag képes zérus bemenőjel esetén az állandó értékű kimenőjel fenntartására, lásd a 16. ábrát). A W_DB(z) szabályozási algoritmus meghatározásának azt az eljárását alkalmazzuk, amikor a diszkrét szabályozó u(kT_s) kimenő, illetve a h(kT_s) bemenő mintasorozatának meghatározása alapján a diszkrét szabályozási algoritmus a W_DB(z)=u(z)/h(z) transzformált függvények hányadosaként kapható. 

A W_DB(z) meghatározásához tehát lényegében annak az u(z) irányítójelnek az ismerete szükséges, amely a folyamat bemenetén működve az y(z) szabályozott jellemzőt véges idő alatt az egységre állítja. A következőkben tárgyalt módszertől eltérő eljárások is léteznek a véges beállást létrehozó szabályozási algoritmus meghatározására, ezekre irodalmi hivatkozást adunk [5].

     A véges beállásnak megfelelő hibrid rendszer diszkrét modellje és ennek u_a(k)=y_A(k), h(k), u(k) és y(k) mintasorozat jelei az 1. ábrán láthatók. Az ok-okozat relációból következik, hogy az y_A alapérték és az y tényleges érték állítja elő a h hibajelet, a hibajel az u irányítójelet és az irányítójel az y szabályozott jellemzőt. Ebben a zárt hatásláncú jelfolyamban az u irányítójel mintasorozatának olyannak kell lennie, hogy az y szabályozott jellemző mintasorozata n számú lépés alatt az y=1 értékét felvegye, és ettől kezdődően ez is maradjon.

1. ábra A véges beállású, zárt hibrid szabályozás u_a alapjelének, h hibajelének, u irányítójelének és y=v_R kimenőjelének mintasorozatai

Jelen munkában azt az esetet tárgyaljuk, mikor a véges beállás n lépésszáma az FI-folyamat W_p(s)=G_p(s)/H_p(s) átviteli függvényének n rendszámával azonos [6] és az u_a(k)=y_A(k) alapjel egységminta-sorozat. 

A folyamat diszkrét modellje 

Ha a folytonosidejű, önbeálló folyamat W_p(s)=G_p(s)/H_p(s) átviteli függvénye energiatároló okozta jelkéséseket tartalmaz (vagy ha T_h holtidő típusú jelkésleltetése is van, de azt Strejc-polinomokkal közelítettük, és ennek figyelembevételével a H_p(s) nevező polinom fokszáma n), akkor a folyamat tartószervvel kiegészített és a nevező vezető együtthatójára normalizált impulzusátviteli függvénye a hibrid rendszer diszkrétidejű modelljében:

G_p(z) számláló polinom jellegzetes tulajdonsága, hogy a z változóban (n-1) fokszáma eggyel alacsonyabb a H_p(z) nevező polinom n fokszámánál (a W_p(z)-nek egy pólustöbblete van), ami abból következik, hogy a folytonos szakasz átmeneti függvénye általában v_p(0)=0 értékről indul (ezt a tulajdonságot a G_p(z) számláló g_o=0 paramétere jelenti meg). A továbbiakban az alrendszerek impulzusátviteli függvényeinek a z^-1 változóra átalakított polinomos alakját is használjuk, mert ezzel számolva a zárt rendszer mintasorozatainak a meghatározása – a Z-transzformáció Z^-1{z^-rf(z)}=f[(k-r)T_s] eltolási tétele közvetlen alkalmazhatóságának következményeként – egyszerűsödik. A z-ben és a z^-1-ben felírt impulzusátviteli függvények egymással egyenértékűek, egymásba átszámíthatók [7]. Ismételten hangsúlyoznunk kell, hogy a tárgyalt esetben a folytonosidejű, önbeálló, aszimptotikusan stabilis folyamat W_p(s) átviteli függvényének pólusai az s komplex sík p_i=-1/T_pi negatív valós tengelyén helyezkednek el, illetve a folytonos folyamatnak megfelelő W_p(z) impulzusátviteli függvény z_pi pólusai (a H_p(z)=zⁿ+h₁z^n-1+…+h_n-1z+h_n polinom gyökei) a z komplex sík egységsugarú körében, a pozitív valós tengely 1>z_pi>0 szakaszán vannak. Ezek értékei rendre z_pi=exp(p_iT_pi)=exp(-T_s/T_pi), és i=1,2,…,n). Mindezen tulajdonságokból az is következik, hogy a folyamat diszkrét modelljének karakterisztikus egyenlete és átviteli tényezője

A H_p(z) polinom gyöktényezős alakja W_p(z) pólusait tartalmazza, a k_p átviteli tényező azt mutatja meg, hogy állandósult állapotban (k→∞) az egységminta-sorozattal gerjesztett DI-folyamat y(∞T_s) kimenőjel mintája az u(∞T_s)=1 bemenőjel mintának hányszorosa. A k_p átviteli tényező értéke a folyamat folytonosidejű modellje (a W_p(s) átviteli függvénye) alapján is számítható:

k_p=W_p(s)|_s=0=[G_p(s)/H_p(s)]|_s=0. 

A véges beállást létrehozó u(kT_s) irányítójel mintasorozatának meghatározása 

Az energiatárolásból származó jelkésleltetéseket tartalmazó W_p(s)=G_p(s)/H_p(s) átviteli függvényű önbeálló FI-folyamat SRE-típusú DI-matematikai modellje W_p(z)=G_p(z)/H_p(z)=y(z)/u(z) (2. ábra). 

2. ábra A W_p(s) átviteli függvényű FI-folyamat W_p(z) impulzusátviteli függvénnyel jellemzett DI-modellje

Ha ennek bemenetén olyan u(kT_s) mintasorozatot működtetünk, melynek Z-transzformáltja

akkor a kimenőjelből (az y(t) szabályozott jellemzőből) vett y(kT_s) mintasorozat Z-transzformáltja:

Az u(kT_s)=Z^-1{u(z)} és y(kT_s)=Z^-1{y(z)} mintasorozatok alapvető tulajdonsága, hogy a T_s mintavételezési idő egész számú többszöröseivel eltolt, véges n számú, ugrás alakú mintasorozatok szuperpozícióiból állnak (lásd még az 5. ábrát). Az u(z) és y(z) kifejezéseiből az is kiolvasható, hogy a mintasorozatok kezdeti értékei u(0)=1/G_p(1), y(0)=0, végértékei u(∞)=H_p(1)/G_p(1)=1/k_p, y(∞)=G_p(1)/G_p(1)=1. A végértékek az n lépésnyi diszkrét idő elteltével jönnek létre, és ettől kezdődően az u és y mintasorozatok mintaelemei nem változnak [8].

     A zárthurkú DI-szabályozási rendszerben a DDC-szabályozó W_c(z)=W_DB(z) impulzusátviteli függvényét válasszuk meg olyan feltételek alapján, hogy a rendszert érő u_a(z)=z/(z-1) egységminta-sorozat alapjelre – figyelembe véve y(z) által létesített negatív visszacsatolását is – a korábban felírt u(z) jelet állítsa elő (3. ábra).

3. ábra A hibrid rendszer diszkrét modellje DB-szabályozóval

Miután a DDC-szabályozó h(z)=u_a(z)-y(z) bemenőjelének (a hibajelnek) kell előállítani a véges idő alatti beállást megvalósító és az előzőekben meghatározott u(z) kimenőjelet (ami egyben a folyamat bemenőjele is), a szabályozó W_DB(z) impulzusátviteli függvényének

kifejezésnek kell lennie. Ha tehát az adott W_p(z)=G_p(z)/H_p(z) impulzusátviteli függvényével definiált önbeálló folyamathoz alkalmazott soros kompenzációs szabályozónak a

W_DB(z) impulzusátviteli függvénnyel jellemzett algoritmust választjuk [9], akkor a zárt rendszer kimeneti mintasorozata (az adott alapjel mellett) véges nT_s idő alatt az y(nT_s)=1 végértékére beáll. A W_DB(z) impulzusátviteli függvénynek jellegzetes tulajdonsága, hogy G_DB(z)=H_p(z) számlálóját és

H_DB(z)=zⁿG_p(1)-G_p(z)

nevezőjét a folyamat W_p(z) impulzusátviteli függvényének G_p(z) számláló és H_p(z) nevező polinomjai egyértelműen megszabják. A véges beállású hibrid rendszer DI-modelljének hatásvázlatát az alrendszerek impulzusátviteli függvényeinek feltüntetésével a 4. ábra tartalmazza. Vegyük észre, hogy a szabályozó számlálójának H_p(z) polinomja a folyamat minden pólusát – egyszerűsítéssel kiejtve – kompenzálja. (A szabályozó W_DB(z) impulzusátviteli függvényének G_DB(z)=H_p(z) számlálója azonos a folyamat W_p(z) impulzusátviteli függvényének H_p(z) nevezőjével [10]).

4. ábra Véges beállású (DeadBeat: DB) szabályozási rendszer hatásvázlata 

A nyitott DI-szabályozási kör eredő impulzusátviteli függvényei a hatásvázlat alapján: 

Ennek megfelelően a zárt DI-rendszer W_R(z)=y(z)/u_a(z) eredő impulzusátviteli függvénye:

W_R(z) fontos tulajdonsága, hogy a z^-1 változónak véges fokszámú – FIR- (Finite Impulse Response) -típusú – polinomja, ahol n a folyamat rendszáma. Hasonló tulajdonság jellemzi a h(z)/u_a(z)=1/[1+W₀(z)] és az u(z)/u_a(z)=W_DB(z)/[1+W₀(z)] eredő impulzusátviteli függvényeket is. Figyelemre érdemes a G_p(1) jelentése, ami a folyamat W_p(z) impulzusátviteli függvényének a számlálóban szereplő G_p(z) polinom együtthatóinak összege: G_p(1)=G(z)|_z=1=g₁+g₂+…+g_n. Miután a szabályozó W_DB(z) impulzusátviteli függvényének nevezője H_DB(z)=zⁿG_p(1)-G_p(z), látható hogy ennek gyöke a z_p=1 számérték [11] (tehát a (z-1) gyöktényező kiemelhető a H_DB(z) nevezőből), ami a W_DB(z) impulzusátviteli függvénynek integráló tulajdonságot kölcsönöz. Ez a hatás azt eredményezi, hogy állandósult állapotban az alapjel és a szabályozott jellemző mintái egymással azonosak, illetve az arányos tagon keresztül „támadó” állandó zavarójelet a véges beállású hibrid rendszer – állandósult állapotban – teljes mértékben elhárítani képes. Ez a tulajdonság most is abból származik, hogy a rendszer egyensúlyi állapotában a h(kT_s) hibajelnek szükségszerűen zérusnak kell lennie (k→n mellett lim[h(kT_s)]→0), mert ha nem ez lenne – a szabályozó integráló tulajdonsága miatt – a rendszer nem lehetne az nT_s időponttól kezdődően egyensúlyi helyzetben [12]. Figyeljük meg, hogy a zárt rendszer W_R(z) FIR-típusú eredő impulzusátviteli függvényének minden pólusa a z komplex sík origójában van, vagyis az aszimptotikus stabilitás a zárt szabályozási rendszerre is megoldott [13].

Legyen u_a egységminta-sorozat, ekkor a h hibajel, az u irányítójel és az y szabályozott jellemző mintasorozatainak h(z), u(z) és y(z) Z-transzformáltjai:

Részletesebben is kifejtve:

Figyelembe véve a Z-transzformáció eltolási tételét [14], a h(z), u(z) és y(z) kifejezésekből kiolvasható hogy a h(kT_s) hibajel, valamint az általa létrehozott u(kT_s) irányítójel és y(kT_s) szabályozott jellemző mintasorozatai a T_s mintavételezési idő egész számú többszöröseivel eltolt, súlyozott egységminta-sorozatok szuperpozíciójából tevődnek össze. Vegyük figyelembe, hogy az irányítójelet befolyásoló h_i együtthatók [15] alternáló jellegűek. Mindezek alapján az u(kT_s) és y(kT_s) jelek a 5. ábrán vázolt jelkomponensekből épülnek fel, a h(kT_s) hibajel mintasorozatának ábrázolását az olvasóra bízzuk. 

5. ábra Véges beállású, hibrid szabályozási rendszer u(kT_s), u_T(t), y(kT_s) időfüggvényei egységminta-sorozat alapjel esetén 

Az 5. ábrán látható, hogy az nT_s időponttól kezdődően az u(kT_s) és y(kT_s) minták már nem változnak, vagyis nT_s idő eltelte után (k≥n) az u(kT_s)=H_p(1)/G_p(1)=1/k_p és y(kT_s)=G_p(1)/G_p(1)=1 állandó értékeknél a diszkrét rendszer egyensúlyi helyzetbe kerül  [16]. A véges beállítást megvalósító DDC-szabályozó minden adatát a folyamat H_p(z) és G_p(z) polinomjaiban szereplő h_i és g_i paraméterek szolgáltatják. Ezek mindegyike a T_s mintavételezési időnek is a függvénye. A W_DB(z) impulzusátviteli függvény – mint korábban már láttuk – szükségszerűen integráló tulajdonságú, ezért i=1 típusú integrálszabályozásról van szó. Az adott folyamat, és az ezt működtető W_DB(z) algoritmus alkalmazásával tehát egy egységminta-sorozat alapjel hatásának kitett hibrid szabályozási rendszerben az n energiatárolós önbeálló folyamat kimenőjelének mintasorozata nT_s idő alatt y(nT_s)=1 végértékére beállítható. Ez a tény azt sugallná, hogy T_s megfelelően kis értékű megválasztásával tetszőleges gyors működés lenne elérhető, még abban az esetben is, ha a folyamat n rendszáma nagy. Ez azonban nincs így. Ennek oka az, hogy gyorsítani (a beállás nT_s idejét lerövidíteni) most is csak az irányítójel túlvezérlésével lehet, aminek viszont technikai és technológiai korlátai vannak. 

A túlvezérlési arány számítása

A gyakorlati megvalósításban az nT_s beállási idő lerövidítésének az irányítójel megengedett mértékű túlvezérlése szab határt. Az u_T(t) irányítójel időlefolyását a 5. ábrán láthattuk. A túlvezérlési arány az ábra alapján:

A túlvezérlési arány – mint ahogy az a képletből kiolvasható – a T_s mintavételezési időnek is függvénye, és T_s csökkentésével meredeken növekszik. Ez T_s megválasztásának korlátot szab. Egy megengedett u_t túlvezérlési arány betartásához szükséges mintavételezési idő közelítő értéke:

A szabályozó realizálása

A véges beállást megvalósító diszkrét szabályozó rendszertechnikai tervezésének végeredménye most is a szabályozó impulzusátviteli függvényében jelenik meg. Ennek általános alakjai:

Ebben n a szabályozó impulzusátviteli függvénye számlálójának és nevezőjének fokszáma, ami azonos a folyamat diszkrét modelljének n rendszámával. Az irányítójel u(k) aktuális értékét a W_DB(z^-1) alakból közvetlenül lehet kiszámítani:

A W_DB(z) nevezőjének a z_p=1 érték gyöke, ami az integráló tulajdonság biztosítéka. Ezen túlmenően a H_DB(z) polinomnak további n-1 számú gyöke is van, és ezek egy része megközelítheti a z sík egységsugarú körét. Ezek a gyökök az irányítójel igen lassan csillapodó oszcillációját eredményezhetik, amelyek az FI-folyamat y(t) jelében is megjelenhetnek (rejtett oszcilláció, intersampling ripples). Ennek hatáselemzésével, illetve elhárításának módszerével az irodalomra hivatkozunk [17]. 

Példa

Egy önbeálló, másodrendű, két energiatárolós folytonosidejű SISO-folyamat átviteli függvénye:

Hibrid szabályozási rendszerben a szabályozás DI-modellje alapján tervezzük meg azt a W_DB(z) impulzusátviteli függvényével leírt diszkrét szabályozási algoritmust, amely egységminta-sorozat u_a(kT_s) alapjellel a szabályozott jellemzőt 2T_s véges idő alatt az y(2T_s)=1 végértékére állítja be, miközben a megengedett túlvezérlési arány u_t=50. 

Megoldás

A túlvezérlési arányra vonatkozó feltétel alapján:

A további számításokat MATLAB-támogatással végezzük. A számításokat végrehajtó program, és ennek futásából kapott eredmények: 

%méretezés véges beállásra (veges.m fajl)

cho on; 

Gs=1;Hs=[200 30 1];grid on;% Wp(s) 

step(Gs,Hs); 

title('A folyamat vp(t) átmeneti függvénye'); 

pause; 

Ts=2.1668; 

[Gz,Hz]=c2dm(Gs,Hs,Ts); 

printsys(Gz,Hz,'z');pause;% Wp(z) 

 num/den = 

     0.010543 z + 0.0094602 

   ------------------------ 

   z^2 - 1.7025 z + 0.72251 

Gcz=Hz;H1=polyvalm(Gz,1); 

Hcz=[H1 -Gz(1,2) -Gz(1,3)];% WDB(z) 

printsys(Gcz,Hcz,'z');pause;% WDB(z) 

 num/den = 

           z^2 - 1.7025 z + 0.72251 

   ------------------------------------- 

0.020003 z^2 - 0.010543 z - 0.0094602 

dstep(Gcz,Hcz,10); 

title('A szabályozó átmeneti függvénye'); 

pause;                      

[G01,H01]=series(Gcz,Hcz,Gz,Hz); 

[G0z,H0z]=minreal(G01,H01);    % W0(z)

2 pole-zeros cancelled 

[GRz,HRz]=cloop(G0z,H0z);      % WR(z) 

dstep(GRz,HRz,10); 

title('Az y(kTs)szabályozott jellemző'); 

pause;                          

    [GRzu,HRzu]=feedback(Gcz,Hcz,Gz,Hz); 

dstep(GRzu,HRzu,10); 

title('Az u(kTs) irányítójel'); 

disp('vége'); 

vége 

Az eredményként megjelenő grafikonokat a 6. ábra szemlélteti.

6. ábra A „veges.m”-fájl futási eredményeinek grafikonjai 

A grafikonokból szemléletesen kiolvashatók a hibrid rendszer DB-szabályozási algoritmusának alkalmazásával kapott eredmények. A folyamat n=2 rendszámának megfelelően 2T_s=4,3336 idő alatt az irányítójel és a szabályozott jellemző mintasorozatai a végértékükre állnak be. Az u_t=50 túlvezérlési arány némi kétségeket támaszthat, de a T_s mintavételezési idő növelésével u_t csökkenthető. Ennek „ára” a beállási idő növekedése. 

Folytatjuk!  

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné 

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. 

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.