Szabályozástechnika 55
Hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése – 5
A diszkrétszabályozó realizálása
A diszkrétszabályozó rendszertechnikai tervezésének végeredménye a szabályozó impulzusátviteli függvényében jelenik meg, amelyet a realizálás, vagyis egy számítógépes program megírása követ.
Ennek általános alakja:
Ebben n a szabályozó impulzusátviteli függvényének fokszáma. Ez azt jelenti, hogy az irányítójel aktuális u(k) értékét – felhasználva a szabályozó impulzusátviteli függvényének Wc(z-1) kifejezését – az ennek megelőző és a hibajel aktuális és megelőző értékeiből az alábbi algoritmus szerint lehet kiszámítani:
A kifejezés alapján látható, hogy az aktuális u(k) meghatározásához – a di (i=1,2, ... n) és a ci (i=0,1, ... n) paramétereken túlmenően – a h jel aktuális és az u, h jelek n számú megelőző értékeire is szükség van, amelyeket megfelelő adatfrissítéssel tárolni is kell [1]. Kompakt szabályozókban az adott rekurzív formula szerinti számítást a digitális eszközön gépi kódban írt program végzi, digitális folyamatirányító számítógépen ez a program magas szintű, valósidejű programnyelven is megírható. A Gc(z) polinom n számú gyökeivel lehet kompenzálni a diszkrétidejű folyamat m számú stabilis zpi pólusait, a Hc(z) gyökei tartalmazhatják az integráló fokozat zcp=1 gyökét, illetve a további n-1 számú gyök a szabályozó realizálásának szükséges velejárója. Az u(k) irányítójel meghatározásának szemléltetése az 1. ábrán látható, és azt érzékelteti, hogy az aktuális u(k) irányítójel kiszámításához (a di és ci paramétereken túlmenően) a hibajelnek és az irányítójelnek hány adata szükséges.
1. ábra Az u(k) irányítójel kiszámításához felhasznált adatok
A szabályozó Wc(z)=Gc(z)/Hc(z) impulzusátviteli függvényének számlálója és nevezője általában a z komplex változónak azonos n fokszámú polinomjai, aminek fizikai jelentése az, hogy a hibajel felléptének pillanatában az irányítójel a hibajel változására azonnal reagál, vagyis késleltetés nélkül elindítja a beavatkozást [2]. Ismételten hangsúlyozzuk, hogy a hibrid rendszer DI-modellje alapján végrehajtott méretezésnek akkor van gyakorlati jelentősége, ha a Ts mintavételezési idő a folyamat időállandóival összemérhető, tehát hatása nem elhanyagolható.
Strukturális és feltételes stabilitás
A szabályozási rendszer matematikai modelljének alapján különféle stabilitásfogalmakat használhatunk. A strukturálisan stabilis szabályozási rendszer fogalma arra a matematikai modellre vonatkozik, amelyikkel a valóságos fizikai rendszert leírjuk. Ez a modell szükségszerűen a tényleges fizikai rendszereknek – a másodlagos jelenségek elhanyagolásával előállított – egyfajta közelítése. Az FI- és DI-rendszermodellek alapján definiált strukturális stabilitás fogalma azt jelenti, hogy a körerősítés bármekkora k>0 értéke mellett a negatív visszacsatolásban üzemelő lineáris szabályozási rendszer aszimptotikusan stabilis. A szabályozási rendszerek körerősítésének abban van lényeges szerepe, hogy a zárt rendszer a szabályozott jellemzőt nemkívánatosan befolyásoló zavarásokat milyen mértékben és milyen gyorsan képes közömbösíteni. Stabilis folyamat szabályozásakor a megfelelő mértékű zavarelhárítás a körerősítés növelését igényli, ami viszont általában a rendszer stabilizálását nehezíti [3].
Az FI-modellel leírt, fizikailag is megvalósított szabályozási rendszer a strukturális stabilitás kritériumának akkor felelne meg, ha a nyitott kör W0(s)=G0(s)/H0(s) átviteli függvénye alapján képzett zárt rendszer HR(s)=H0(s)+G0(s)=0, illetve
(s+p1) … (s+pn)+k(s+z1) … (s+zm)=
=(s+pR1)(s+pR2) …(s+pRi) …(s+pRn)=0
karakterisztikus egyenletének minden pRi gyöke az s sík stabilis félsíkján maradna (real(pRi)<0), miközben a k körerősítés a 0
A rendszer gyökhelygörbéjét MATLAB-támogatással számítjuk:
Gos=3*conv([1 4],[1 4 13]);
Hos=26*conv([1 1],conv([1 1],conv([1 2],[1 3]));
rlocus(Gos,Hos);
2. ábra Strukturálisan stabilis FI-szabályozási rendszer matematikai modelljének gyökhelygörbéje
A 2. ábra alapján látható hogy a nyitott kör W0(s) átviteli függvényének z1=-4, z2,3=-2±3j zérusai és a p1,2=-1, p3=-2, p4=-3 pólusai negatív valós részűek és miközben 0<k<∞, a zárt szabályozási rendszer pRi pólusait tartalmazó mind a négy gyökhelygörbe ág a stabilis tartományban marad. Ezért a WR(s)=W0(s)/[1+W0(s)] átviteli függvényű zárt szabályozás FI-matematikai modellje strukturálisan stabilis rendszert mutat, pRi pólusai bármely k>0 körerősítés mellett a stabilis tartományban maradnak. Ez a megállapítás a gyakorlati tapasztalatoknak ellentmond, mivel a tényleges fizikai rendszer a körerősítés növelésével általában előbb-utóbb labilissá válik, gerjed. Ennek egyik oka, hogy a valóságos viszonyok között a nyitott hurokban olyan további jelkésleltetések is lehetnek, amelyeket a matematikai modellalkotáskor első közelítésben elhanyagoltunk. Ennek tipikus példája a valóságos körülmények között mindig jelenlévő Th holtidő, ami a gerjedés biztos előidézője lehet. Ha Th értéke az energiatárolásból származó időállandókhoz képest igen kicsi, a zárt hatáslánc holtidőből származtatható gerjedése (labilitása) csak igen nagy körerősítésnél jelentkezik [4].
A DI-modell alapján leírt hibrid szabályozási rendszer strukturális stabilitása akkor létezne, ha a nyitott kör W0(z)=G0(z)/H0(z) impulzusátviteli függvénye alapján képzett zárt rendszer
HR(z)=H0(z)+G0(z)=
=(z+zp1)…(z+zpn)+k(z+zz1)…(z+zzm)=
=(z+zpR1) (z+zpR2)…(z+zpRi)…(z+zpRn)=0
karakterisztikus egyenletének minden zpRi gyöke a z sík egységsugarú körében maradna, miközben a körerősítés a 0
W0(z)=Wc(z)Wp(z))
olyan, hogy Gp(z) számlálója eggyel alacsonyabb fokszámú, mint a Hp(z) nevezője, és ezért W0(z) pólustöbblete legalább egy. Ez azt is jelenti, hogy a zárt hibrid rendszer DI-modelljének gyökhelygörbéje (illetve a gyökhelygörbéjének minimum egy ága) a stabilis tartományt (a z sík egységsugarú körének belsejét) elhagyja. Ennek a megállapításnak némileg ellentmond a W0(z)=G0(z)/H0(z)=k(z+1)/(z-1) impulzusátviteli függvény. A zárt hibrid rendszer DI-modelljének pólusa ekkor a (z-1)+k(z+1)=0 karakterisztikus egyenlet zpR=-(k-1)/(k+1)<1 gyöke. A gyökhelygörbe a zp=1 pontból indul (k=0) és a zz=-1 pontban ér véget (k=∞, vagyis a z sík egységsugarú körének belsejében marad), miközben 0<k<∞ (3. ábra).
3. ábra Strukturálisan stabilis DI-rendszer matematikai modelljének gyökhelygörbéje
Az ellentmondás feloldása abban van, hogy a valóságos, hibrid rendszerben megvalósuló üzemelés viszonyai között – bár W0(z) a diszkrét integráló tag egyfajta impulzusátviteli függvénye – a hibrid szabályozási rendszer DI-modelljében W0(z) pólustöbblete nem lehet zérus. Az előzőektől eltérő másfajta indoklás: a hibrid rendszer lényeges eleme az A/D-átalakítóval végzett mintavételezés és a D/A-átalakítóval végrehajtott zérusrendű tartás, amely előállítja a szabályozott jellemző y(k) mintasorozatát és a folyamat uT(t) irányítójelét. Ez az átalakítás szükségszerűen egy kb. Ts/2 nagyságú holtidőt visz a szabályozás zárt hatásláncába még akkor is, ha egyébként a folyamat holtidőtől mentes lenne. Ez meggátolja a hibrid rendszer strukturálisan stabilis tulajdonságának lehetőségét. Ha azonban a mintavételezési idő a felgyorsított nyitott kör időállandóihoz képest igen kicsi, akkor az ennek hatására bekövetkező labilitás csak igen nagy körerősítésnél jelentkezne [5].
Példa
Legyen egy negyedrendű hibrid szabályozás DI-modelljének nyitott köri W0(z) impulzusátviteli függvénye és a zárt kör HR(z)=0 negyedfokú karakterisztikus egyenlete például [6]:
A DI-rendszer HR(z)=0 karakterisztikus egyenletének zpR1,2,3,4 gyökeit tartalmazó gyökhelygörbe ágai a z sík zp1=0, zp2=0, zp3=1, zp4=0,4119 pontjából indulnak (k=0, és zp1,2,3,4 a nyitott kör W0(z) impulzusátviteli függvényének pólusai). Egyik ág a zz=-0,7453 pontba (W0(z) zz zérusába), három további ág a végtelenbe tart, miközben k→∞. Magát a gyökhelygörbét MATLAB-támogatással ábrázolhatjuk. A felhasznált függvények:
Goz=0.15*[1 0.7453];Hoz=conv([1 0 0],…
conv([1 -1],[1 -0.4119]));
rlocus(Goz,Hoz);
A minőségileg helyes gyökhelygörbe grafikonja a 4. ábrán látható.
4. ábra Feltételesen stabilis hibrid szabályozás DI-modelljének gyökhelygörbéje
Az adott DI-modellel leírt hibrid szabályozási rendszer a kkrt≥1,121 erősítési tényezőnél labilissá válik, miután a zárt rendszernek egy konjugált komplex gyökpárja az egységsugarú körre (zpR1,2=0,9033±j0,428621, stabilitási határ) vagy azon kívülre kerül. A k=51,8 értéknél egy további gyökpár is elhagyja a stabilitási tartományt, majd ezek egyike ugyan befut a stabilis tartomány zz=-0,7453 pontjába, de ez a rendszer labilitásán már nem változtat, miután a többi három pólus a labilis tartományban marad. A zárt rendszer vR(nTs) mintasorozatát számító MATLAB-utasítások:
k=input(’k=’);Goz=0.15*k*[1 0.7453];
Hoz=conv([1 0 0],conv([1 -1],[1 -0.4119]));
[GRz,HRz]=cloop(Goz,Hoz);grid on;
dstep(GRz,HRz,50);
title(’A zárt rendszer vR(nTs)mintasorozata’);
Futási eredmények például k=kkrt/2=0,56 és k=kkrt=1,121 erősítési tényezőre az 5. ábrán láthatók.
5. ábra A zárt DI-szabályozás átmeneti függvényei
Mindezek alapján belátható, hogy a fizikailag megvalósított folytonos vagy hibrid szabályozási rendszer strukturális stabilitása elméleti jelentőségű. Csak a fizikai rendszert leíró matematikai modellre lehet érvényes a strukturális stabilitás fogalma abban az esetben, ha az elhanyagolásokat figyelmen kívül hagyjuk. A fizikai valóságban mindig létezik olyan hurokerősítés, ami a visszacsatolt folytonosidejű vagy hibrid rendszer labilitását előidézi, vagyis gyakorlatilag a feltételes stabilitás esetéről lehet szó.
Folytatjuk!
Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné
[1] Ha „kézi” szabályozás alkalmazására kerülne sor, és a mintavételezési idő erre alkalmat adna, az irányítójel u(k) aktuális értékét – a paraméterek és az u(k-1), h(k), h(k-1), h(k-2) adatok ismeretében – a mintavételezést követően egy gépkezelő is kiszámíthatná. Ezzel olyan beavatkozást létesítene, mint amilyet egyébként az automatikus DDC-szabályozó PIPD-algoritmusa is elvégez. Hasonló „kézi” algoritmusképzést az FI-rendszerben – miután itt a jelek folytonosidejű időfüggvények – megvalósítani igen körülményes lenne.
[2] Ezzel ellentétesen a folyamat Wp(z)=Gp(z)/Hp(z) n fokszámú impulzusátviteli függvénye általában pólustöbblettel rendelkezik (nevezője a számlálójánál magasabb fokszámú polinom), aminek oka az energiatárolásból és a holtidőből származtatható jelkésleltetések.
[3] A ritkán előforduló labilis folyamatok szabályozásakor a körerősítés növelésével lehet stabilizálni a zárt szabályozási rendszert.
[4] A gerjedés egy másik oka az lehet, hogy a nagy körerősítés esetén már az igen kis értékű hibajel telítődésbe viszi az irányítójelet előállító szervet, ami a zárt rendszert is egy „relé üzemmódba” viheti át. Ebben az üzemmódban az irányítójel ±umax értékek között periodikusan változik, és a zárt rendszer nem képes nyugalmi állapotba kerülni (lásd állásos szabályozások).
[5] Más a helyzet akkor, ha a W0(z)=G0(z)/H0(z) nyitott köri impulzusátviteli függvénynek megfelelő differenciaegyenlet és ennek negatív visszacsatolásával keletkező zárthurkú dinamikus rendszer matematikai modellje teljes egészében a digitális számítógépen futó real time programjában ölt testet. Ekkor a hurokban nem szerepelnek az A/D- és D/A-átalakítók, és elvileg lehetséges, hogy a H0(z) nevezőnek nincs pólustöbblete, vagyis minden gyökhelygörbe ág a stabilitási tartományban maradhat, miközben 0<k<∞. Ekkor azonban nem hibrid rendszerről van szó, vagyis egyik alrendszere sem egy folytonosidejű folyamat diszkretizálásából származik.
[6] Irodalom: Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems. Saunders College Publishing. 1992.
