Szabályozástechnika 51
Hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése – 1
Bevezetés
A szabályozási rendszerrel szemben támasztott követelmények kielégítésére – mint ahogy már korábban is jeleztük – egyre nagyobb gyakorisággal használhatunk digitális jelfeldolgozást alkalmazó eszközt, illetve folyamatirányító digitális számítógépet (DDC-szabályozó). Ezek mindegyikének a belső jelterjedési viszonyaira a diszkrét működésmód a jellemző, és a szabályozási algoritmust egy digitális számítógépen a valós időben futó program (real time) valósítja meg [1]. A diszkrét működésmód általános, vele járó tulajdonsága a mintavételezésnek és a zérusrendű tartásnak a zárthurkú hatásláncban történő megjelenése. Jellemzője a Ts mintavételezési idő, illetve az ωs=2π/Ts mintavételezési körfrekvencia. Miután a jelfeldolgozás a digitális számítógép órajele által vezérelve a mintavételezés ütemezése szerint történik, és a digitális eszköz szóhossza szükségszerűen véges, a DDC-szabályozón belüli jelértékek kvantáltak és kódoltak (időben mintavételezett, amplitúdóban kódolt, diszkrétidejű, diszkrét értékkészletű digitális jelek).
Az irányított folyamat általában folytonosidejű (FI), emiatt a diszkrétidejű (DI) digitális szabályozóhoz történő csatlakoztatása a szabályozó bemeneti oldalán (a visszacsatolási ágon) A/D-átalakítóval (az y(t) szabályozott jellemző mintavételezése, kvantálása és kódolása), kimeneti oldalán (az előrevezető ágon) pedig a D/A-átalakítóval (az u(k) irányítójel dekódolása és zérusrendű tartása) történik. Ezek mintavételezési idő szerint megvalósuló adatfogadási és adatkiadási ütemezését szintén a központi digitális eszköz órajele vezérli. A DDC-szabályozó kimeneti oldalán levő D/A-átalakító – miután a folyamat bemenete folytonosidejű jelet igényel – a kódolt, diszkrétidejű u(kTs) irányítójelnek folytonosidejű uT(t) analóg jellé történő átalakításán túlmenően egy úgynevezett tartási funkciót is ellát, vagyis gondoskodik arról, hogy a mintavételezési időpontok között is legyen jel a folytonosidejű folyamat bemenetén. A tartási funkció leggyakoribb módja a zérusrendű tartás (zoh), amely a mintavételezések között az u(kTs) aktuális értékének megfelelő állandó értékű jelet tartja fenn
[kTs
Miután a folytonos jelekkel működő folyamat, illetve a diszkrét jelekkel dolgozó DDC-szabályozó más-más matematikai modellel írható le (differenciálegyenlet és az ebből származtatható Wp(s) átviteli függvény, illetve differenciaegyenlet és az ennek megfelelő Wc(z) impulzusátviteli függvény), a két alrendszer összekapcsolásával keletkező eredő rendszer matematikai modellalkotásakor ezt figyelembe kell venni.
A hibrid szabályozás rendszertechnikai tervezése a rendszerben üzemelő diszkrét szabályozó Wc(z) impulzusátviteli függvényének a meghatározását jelenti. Wc(z) jellemzi ugyanis a szabályozási algoritmust, amely a diszkrét
h(kTs)=yA(kTs)-y(kTs)
hibajel (bemenőjel) és a diszkrét u(kTs) irányítójel (kimenőjel) mintasorozatai között értelmezett differenciaegyenletnek „egy más alakja”. A Wc(z) méretezése lényegét tekintve a hibrid rendszer vonatkozásában is a nyitott kör frekvenciafüggvényén alapszik, de természetesen figyelembe kell venni a mintavételezés és a zérusrendű tartás miatt jelentkező sajátosságokat. Ezek egyike, hogy a DI-jelátvivő tag
Wd[exp(jωTs)]=W(z)|z=exp(jωTs)
frekvenciafüggvénye az exp(jωTs) tényező algebrai törtje [2]. A Wc(z) meghatározását követően a szabályozó „realizálását” a digitális számítógépen futtatható program elkészítése jelenti. A hibrid rendszer blokkvázlata alapján építhető fel a szabályozás homogenizálatlan (FI- és DI-jeleket és tagokat egyaránt tartalmazó) hatásvázlata (1. ábra).
1. ábra A hibrid szabályozási rendszer homogenizálatlan hatásvázlata
Ezen a hatásvázlaton az ua(k)=yA(k), h(k), u(k) és y(k) jelek diszkrét számsorozatok (DI-jelek), az uT(t), y(t) jelek pedig folytonos időfüggvények (FI-jelek). A hibrid rendszer matematikai modelljének megalkotásakor olyan hatásvázlattal célszerű dolgozni, amelyen a jelek és a jelek közötti függvénykapcsolatokat leíró tagok homogenizáltak. Ezért vagy a DI-jeleket és tagokat tartalmazó DDC-szabályozót kell egy közelítő FI-modellel helyettesíteni (hibrid szabályozási rendszer leírása folytonosidejű (FI) jelekre és tagokra homogenizált közelítő modellel), vagy az FI-jeleket és tagokat tartalmazó folyamatot kell egy DI-modellel figyelembe venni (hibrid szabályozási rendszer leírása diszkrétidejű (DI) jelekre és tagokra homogenizált modellel). A hibrid rendszer szabályozási algoritmusának rendszertechnikai tervezését ennek megfelelően a rendszer folytonosidejű vagy diszkrétidejű jelekre és tagokra homogenizált matematikai modelljének alapján tárgyaljuk, felhasználva a diszkrét tagok és rendszerek leírásának az előző részekben ismertetett fogalmait és matematikai módszereit (differenciaegyenlet, diszkrét állapot-differenciaegyenlet, Z- transzformáció, impulzusátviteli függvény, inverz (Z-1) transzformáció stb.).
A hibrid rendszer rendszertechnikai tervezésének célja – bármelyik modell alapján is dolgozunk – egy olyan számítógépes program struktúrájának és paramétereinek a meghatározása, amelyet a digitális számítógépen valós időben futtatva – és a zárthurkú hibrid rendszert ezzel üzemeltetve – a rendszer előírt tulajdonságokat kielégítve működik (stabilis, elfogadható mértékű túllendülés, gyors működés, kicsi – lehetőleg zérus – szabályozási eltérés, megfelelő minőségű értéktartás és -követés stb.). A valós időben futó program az aktuális h(kTs)=yA(kTs)-y(kTs) hibajelből és ennek megelőző értékeiből, valamint az irányítójel megelőző értékeiből számítja ki az u(kTs) diszkrét irányítójel mindenkori aktuális értékét, amelyet a zoh-tartószerven keresztül azonnal a folyamat bemenetére is juttat. Ez a számítás minden mintavételezési ütem elején állandóan ismétlődik, és – köszönhetően a gyors működésű digitális eszközöknek – az aktuális u(kTs) gyakorlatilag a mintavételezés időpillanatában már rendelkezésre is áll.
Az 1. ábra hatásvázlatán a folyamatot (általában önbeálló tulajdonságú, energiatárolásból, illetve a jelterjedés véges sebessége miatti holtidős késleltetésekből származó időállandókat tartalmazó) Wp(s) átviteli függvényével jellemeztük. Ritkábban az is előfordul, hogy Wp(s) integráló, nem minimum fázisú tulajdonsággal rendelkezik, vagy labilis. Általános esetben olyan transzcendens tényezőt is tartalmazó algebrai tört, amelynek pólus–zérus eloszlása elvileg tetszőleges képet mutat, de a zérusok száma legfeljebb azonos a pólusok számával. Az általános eset tárgyalása nehézkessé teszi a szabályozó méretezését, ezért a Wp(s) gyakorlatban élőforduló alakjával foglalkozunk. Az önbeálló folyamat matematikai modelljének tipikus, nagy gyakorisággal előforduló kifejezése:
Ebben kp>0 az átviteli (erősítési) tényező, Tpi>0 az inercia típusú késleltetéseknek az időállandói, Th>
kp(Th+Tp1+Tp2+..+Tpm).
Ha a folyamat állandósult kimenőjelének az y(t)|t=∞=y(∞)=y0=1 értékét kívánjuk beállítani, akkor a bemenetén uT=1/kp értékű irányítójelet kell fenntartani. Miután a hibrid szabályozási rendszerben az ua(k)={1, 1, …,1,…} alapjel képviseli a szabályozott jellemző yA alapértékét [3], az ua(k) egységminta-sorozat alapjel hatására – a stabilitási feltételeknek megfelelő hibrid rendszer esetében – az y(t) szabályozott jellemző y0 állandósult értékének is célszerűen az egységet kell felvennie (y(∞)=yA(∞)=1). Ez azt jelenti, hogy az 1. ábra hatásvázlatával jellemzett hibrid rendszer egyensúlyi helyzetében (az állandósult üzemállapotban) az uT(t)|t=∞=uT0(∞) irányítójel is álladó értékű (ha a folyamat Wp(s) átviteli függvénye önbeálló tulajdonságú, akkor uT0(∞)=1/kp, ha integráló tulajdonsággal rendelkezik, akkor uT0(∞)=0). Mindezekből az is következik, hogy az egységminta-sorozat szerint változó alapjel hatásának kitett hibrid rendszer egyensúlyi helyzetében a h(k), u(k), y(k) mintasorozatok k→∞ mellett felvett mintái a h(∞)=h0=0, u(∞)=u0, y(∞)=y0=1 állandó értékekhez tartanak (lásd az 1. ábrát). Lényegét tekintve tehát a hibrid szabályozási rendszer ua(k)=1(k) alapjel hatására kialakuló állandósult állapotának DI- és FI-jelei azonosak a megfelelő folytonosidejű rendszer állandósult állapotának h0, u0, y0 jeleivel. A zárt hibrid rendszer dinamikájára vonatkozó elvárás, hogy az egyensúlyi helyzetbe történő beállási idő lehetőség szerint rövid legyen. Ennek eszköze most is az u(k) irányítójel túlvezérlése, majd ennek alkalmas módon történő „visszavétele”.
Folytatjuk!
Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné
[1] A folytonosidejű szabályozó szerkezeti realizációja elektronikus áramkör vagy mechanikus, pneumatikus, illetve hidraulikus segédenergiával működtetett szerkezet. A diszkrétidejű elektronikus DDC-szabályozó, mikrokontroller, mikroprocesszor, PLC vagy folyamatirányító számítógép. A szabályozási algoritmust – egy valósidejű operációs rendszer (real time operating system) felügyelete alatt – a számítógépen valós időben futó program realizálja. Ez a szabályozási algoritmus megválasztásának egy igen jelentős rugalmasságot nyújt, ami a hibrid szabályozások egyre jelentősebb mértékű elterjedését eredményezi. Az A/D-átalakítók gyorsaságára jellemző konverziós idő μs nagyságrendben is lehet, a digitális y(kTs), u(kTs) jelek bitszélessége 8…16 bit közé esik. Az A/D- és D/A-konverzió és a DDC-szabályozó áramköri kialakításának megoldásaira az irodalomra hivatkozunk: Moeschale, D.F.: Analog-to-Digital/Digital-to-Analog Conversion Techniques, John Wiley Sons, továbbá Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems. Saunders College Publishing.
[2] Ettől eltérően a holtidőmentes FI-tag frekvenciafüggvénye a jω tényező algebrai törtje, és W(jω)=W(s)|s=jω.
[3] Ha az A/D-átalakító y(k) kimenőjelének mintasorozatát tekintjük a szabályozott jellemzőnek, akkor ua(k)=yA(k).
