magyar elektronika

E-mail cím:*

Név:

{a-feliratkozással-elfogadja-az-adl-kiadó-kft-adatvédelmi-és-adatkezelési-tájékoztatóját-1}

Piezoelektromos átalakítók analóg helyettesítő képének kapcsolata az anyagjellemzőkkel

Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy a gyakorlati alkalmazásokban szokásos u feszültség, i áram, v sebesség és F erő makroszkopikus változók és az eddigiekben megismert piezoelektromos anyagjellemzők között milyen kapcsolat van. Más megfogalmazással élve: keressük a véges mechanikai méretekkel rendelkező piezoelektromos átalakítók mechanikai, villamos és piezoelektromos tulajdonságainak az eddig megismert anyagjellemzőkkel való kapcsolatát. Célszerű a vizsgálathoz az analóg helyettesítő képek (AHK) módszerénél megismert  ábrázolást választani (1. ábra).

.

 

Megjegyzés

Az analóg helyettesítő képek alkalmazása az érzékelők dinamikus modellezésének egyik bevált, szemléletes módszere, amikor is különböző, nem villamos elven működő rendszerekhez a rendszeranalógia elve alapján analóg villamos hálózatot rendelünk. A téma iránt részletesebben érdeklődők számára a bőséges szakirodalomból A. Lenk: Elektromechanische Systeme Band 2: Systeme mit verteilten Parametern, VEB Verlag Technik Berlin 1974 c. művét ajánljuk. Az AHK-modellezésről és méréstechnikai alkalmazásáról a Magyar Elektronika folyóiratban A folyamatműszerezés érzékelői cikksorozat keretében egy összefoglalás is készült Dinamikus modellezés AHK-módszerrel 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7. címekkel.

 Fock19 jav

 1. ábra Piezoelektromos átalakító analóg helyettesítő képe, elemeinek kapcsolata az anyagjellemzőkkel és a geometriai méretekkel

 

Az AHK-módszer szerint az átalakító koncentrált paraméterű helyettesítő képe girátor típusú Y átalakítási tényezővel, a villamos oldalon Cb kristálykapacitással, a mechanikai oldalon nk rugóengedékenységgel jellemezhető. Célunk tehát ebben a fejezetben ezeknek a mennyiségeknek és az anyagjellemzők kapcsolatának a meghatározása azzal a kiegészítéssel, hogy figyelembe vesszük még a k2 csatolási tényezőt is.

Az egyszerűség érdekében a továbbiakban szinusz alakú időfüggvényekkel dolgozunk, ezért a jelölésekben a változók most komplex amplitúdókat jelentenek. A jelölésekben E és D elektrosztatikus térvektorokat, az S és T pedig tenzoriális változókat jelentenek. Ezen  hálózati koordináták közötti kapcsolat az 

Fock egyenlet 1 

egyenletekkel írható le, amelynél figyelembe kell venni az Amechlmech=Aellel egyenlőséget is, vagyis mindig ugyanakkora V térfogatú elemről van szó.

A hálózati változók közötti kapcsolat felírásához az eddig megszokottakhoz képest a rugalmas enthalpia potenciálfüggvényből levezethető 

 Fock egyenlet 2 

lineáris állapotegyenlet-rendszerből célszerű kiindulni, ahol az eddigiekben még nem használt anyagjellemzők közül az eni, emj a piezoelektromos modult, a cjiE  pedig az állandó térerősségnél mért rugalmassági modult jelenti. Kapcsolatukat az eddigiekben megismert anyagjellemzőkkel az 1., 2. és 3. táblázat tartalmazza. A hálózati koordináták közötti kapcsolatot a két egyenletrendszer felhasználásával, a definiált anyagjellemzőkkel az  

 Fock egyenlet 3

egyenletrendszert adja, ami az AHK-hálózat elemeivel az

Fock egyenlet 4 

alakban is felírható, ahol (az 1. ábrával megegyező módon)

Fock egyenlet 5

Látható, hogy az AHK elemeinek meghatározásához a szóba jöhető piezoelektromos hatások esetén az εnmS, eni és cjiE anyagjellemzők ismeretére van szükség. Nem szabad figyelmen kívül hagyni a számításokban a k2 csatolási tényező (vagy hatásfok) értékét sem. Ezeket az összefüggéseket a gyakorlatban előforduló esetekre az 1., 2. és a 3.  táblázat foglalja össze.

 

Mechanikailag szabad átalakítók

Elsőként vizsgáljuk meg az 1. táblázat bal oldali oszlopában lévő, mechanikailag szabad, longitudinális hatás alapján működő jelátalakítót [1]. A feltételezések szerint az lxly nagyságú határoló felület az x és y irányokra merőlegesen szabadon elmozdulhat, és az elemre csak a σz mechanikai feszültség és az Ez villamos térerősség hat. Feltételezzük továbbá, hogy a piezoelektromos anyag (ε) dielektromos mátrixának csak a főátlójában vannak elemei, aminek következtében csak a Dz eltolásvektorral kell számolnunk. Ezekkel a feltételezésekkel a lineáris állapotegyenlet egyszerűsödik: 

 Fock egyenlet 6 

és a makroszkopikus hálózatkoordináták kiszámításához könnyen átszámítható a 

 Fock egyenlet 7

alakra. Ezzel az e, c és ε anyagjellemzők számítási összefüggéseit kaptuk meg, amelyek az 1. táblázat bal oldali oszlopának megfelelő soraiban is láthatók. A longitudinális hatás következtében Ael=Amech és lel=lmech. Az előző fejezetben tárgyalt piezoelektromos anyagok között van olyan is (pl. az α-kvarc) amely az x-irányban mutat longitudinális hatást. A gondolatmenet értelemszerű felhasználásával nincs akadálya annak, hogy az x-irányra is kiszámítsuk az e, c és ε anyagjellemzőket. A számítást az olvasóra bízzuk. 

 Fock Tabla 7 1

1. táblázat Mechanikailag szabad piezoelektromos átalakítók működése és jellemző paramétereinek kapcsolata  

 

Az 1. táblázat jobb oldali oszlopában egy tranzverzális hatást vizsgálunk, amely az előzőtől abban különbözik, hogy az erőhatás most x-irányú, vagyis σyz=0, és csúsztató feszültségek most sem hatnak. Ezekkel a feltételekkel a d31-jelű tranzverzális hatásról van szó, és a számítás az előző gondolatmenet alapján az alábbi eredményt adja: 

Fock egyenlet 8-9 

Ennek az egyenletrendszernek az alapján határozhatók meg az 1. táblázat második oszlopának hiányzó adatai [2], amelyek felhasználásával szeretnénk a figyelmet felhívni a tranzverzális hatás alkalmazásának arra az előnyeire, hogy az erő-, illetve nyomásmérők érzékenységét megfelelő alakválasztással növelni lehet. Egytengelyű, homogén feszültségállapot feltételezésével a σx mechanikai feszültség 

 Fock egyenlet 10

amivel az állapotegyenlet alapján 

Fock egyenlet 11 

A piezoelektromos hatás során keletkezett Q villamos töltések a

 Fock egyenlet 12 

levezetés eredményeként az érzékelő karcsúságától, vagyis az lx/lz hányadostól is függenek. Ezt a hatást – mint az alkalmazástechnikai fejezetekben a későbbiekben még látni fogjuk – például előnyösen használják ki elsősorban nyomásmérő konstrukciókban. Az alakkal történő érzékenységnövelésnek a mérőelem kihajlása szab határt.

 

Mechanikailag befogott átalakítók

A 2. táblázat bal oldali oszlopában egy olyan mechanikai igénybevétel látható, amelynél az F erő hatására a z tengelyre merőleges irányban minden mechanikai deformáció korlátozva van, csak z-irányú alakváltozás lehetséges. Ez a mechanikai terhelési mód statikus viszonyok között nehezen megvalósítható, de kellően magas frekvenciájú változásoknál létrejöhet. Ha az lx és ly méretek az lz-hez képest elegendően nagyok, akkor magas frekvenciákon az x-, illetve y-irányú deformációkat a tömegtehetetlenség megakadályozza. Vagyis εxyxyz=0 feltételezésével ismételten csak a Dz és σz változókomponensek maradnak, és a lineáris állapotegyenlet a 

Fock egyenlet 13 

alakban írható fel, amelynek alapján a 2. táblázat bal oldali oszlopának összes többi adata is kiszámítható. 

 Fock Tabla 7 2

2. táblázat Mechanikailag befogott piezoelektromos átalakítók működése és jellemző paramétereinek kapcsolata 

 

A 2. táblázat jobb oldali oszlopában látható mechanikai terhelésforma olyan piezoelektromos anyagokra érvényes, amelyek a z-tengelyre szimmetrikusak, vagyis amelyeknél a d31=d32, s11=s22 és az s12=s13 feltételek teljesülnek. Ebben az esetben a peremfelületek egyenletesen terheltek, vagyis σx és σy feszültségek, illetve εx és εy deformációk egymással egyenlők.

Ez az állapot általában kör alakú lemezeknél fordul elő, amelyeknél a kerületen a felületi erőhatások radiális irányban hatnak. A z-irányban nem hat erő, vagyis csak σx és σy feszültségkomponensek léteznek. A σ=σx/2=σy/2 jelölés bevezetésével az állapotegyenletek 

Fock egyenlet 14 

alakúak, amelyeket a Dz és σ változókra kifejezve a 

Fock egyenlet 15

formára hozhatunk. Ebből számíthatók a 2. táblázat jobb oldali oszlopának anyagjellemzői.

 

Nyíró igénybevételnek kitett piezoelektromos átalakítók

A 3. táblázat mindkét oszlopa csúsztató hatásokat foglal össze. Ha feltételezzük, hogy csak egy csúsztatófeszültség hat – és normálfeszültségekkel nem kell számolnunk –, akkor célszerűen ismét a 

Fock egyenlet 16 

egyenletrendszert választhatjuk kiindulásul. Az az elasztomechanikusan izotróp testekre érvényes tulajdonság, miszerint egy csúsztatófeszültség csak a hozzá tartozó deformációval áll kapcsolatban, az itt tárgyalt anizotróp piezoelektromos anyagoknál nem érvényes. Emiatt a feltüntetett peremfeltételeknél a feszültségek hatására a γy és γz szögdeformációkon kívül más deformációkomponensek is keletkeznek. Az a feltételezés, hogy csak egy csúsztatófeszültség-komponens van, egyedül a 3. táblázatban feltüntetett esetekre érvényes. Az anyagjellemzők meghatározása teljesen analóg az 1. táblázat oszlopaihoz tartozó számítási eljárásokkal, ezért ezek közlésétől eltekintünk.

Fock Tabla 7 3

3. táblázat Nyíró igénybevételnek kitett piezoelektromos átalakítók működése és jellemző paramétereinek kapcsolata 

 

Erőmérők piezoelektromos érzékelőkkel

Az anizotróp anyagtulajdonságokból fakadó következményekre és azok kiküszöbölési lehetőségeire kívánunk rávilágítani a piezoelektromos érzékelők erőmérőkben való felhasználásánál. A 2. ábrán egy egyszerű longitudinális igénybevételű, piezoelektromos érzékelőből kialakított erőmérővel az F erőt kívánjuk megmérni. Az lxly méretű érzékelő egy N1-, illetve N2-jelű, azonos alapterületű nyomóelem között helyezkedik el. A nyomóelemek feladata az F koncentrált erő elméletileg egyenletes terheléssé történő szétosztása.

 

Fock20 javított

 

2. ábra Longitudinális piezoelektromos érzékelő az F nyomóerő mérésére

 

Elsőként tételezzük fel, hogy az egyszerű modellre csak egy tengelyirányú F nyomóerő hat, amelyik merőleges a nyomóelemek alapfelületére, és egyidejűleg a piezoelektromos elemre is hat. Az erőhatás a nyomóelem alapfelületén egyenletesen megoszló terhelésként jelentkezik. A piezoelektromos érzékelőben homogén mechanikai feszültségállapot, homogén deformáció és ezzel egyidejűleg homogén villamos polarizáció keletkezik. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy tengelyirányban egytengelyű feszültségeloszlás jön létre. Elhanyagoljuk tehát a nyomóelemek és az érzékelő közötti kölcsönhatást (ami a kétfajta anyag különböző keresztirányú nyúlásából, valamint a nyomóelemek hajlító deformációjából adódik), és feltételezzük, hogy a nyomóelemek csak normális erőt (illetve a későbbiekben csak nyíróerőt) közvetítenek. A piezoelektromos elem z-irányú vastagsága lz. A σz nyomófeszültség a 

Fock egyenlet 17

egyenlettel számítható. Villamos rövidzár feltételezésével (Ez=0) a lineáris állapotegyenlet-rendszerből a töltéssűrűség kifejezése

Fock-18-egyenlet-újra  

alakú, amiből a Q töltést az lxly felülettel való szorzással kapjuk, vagyis 

 Fock egyenlet 19 

A polarizációs töltés – ami például egy töltéserősítővel mérhető – az F erővel arányos, az érzékenység a longitudinális hatást meghatározó d33 tényező.

Ha a piezoelektromos elemre ható mechanikai terhelés nem homogén eloszlású, akkor a polarizációs töltést a töltéssűrűség lxly felületre való integrálásával kell meghatározni. Ha a mérendő erő nem merőleges az N1 nyomóelem felületére, akkor az erőt egy FN normál és egy FT tangenciális komponensre lehet felbontani. Az FT tangenciális komponens egy csúsztatófeszültséget hoz létre a mérőelemben (az N2-jelű alaplapon keresztül egy ellenkező irányú reakcióerő is keletkezik, tehát az elem egyensúlyban marad). Ahhoz hogy a mérési eredményre ez a tangenciális erő semmiféle befolyást ne gyakoroljon, a 

Fock egyenlet 20 

feltételnek kell teljesülnie, és ezáltal a mérőeszköz csak az FN normálerőt méri.

Ez a csúsztató piezoelektromos együtthatókra vonatkozó feltétel azonban csak akkor elegendő, ha a piezoelektromos elem kristálytanilag pontosan orientált, vagyis a mérőelem felülete valóban merőleges a kristálytani z tengelyre. Ha ez nem teljesül, akkor egy speciális mérési hiba keletkezik, amelyet áthallásnak neveznek. Az áthallás elkerülése érdekében az orientálásnak szögperc pontossággal kell megvalósulnia.

Az erősen idealizált modell alapvető feltételezése, hogy a normális irányú erő a mérőelemben egytengelyű feszültségállapotot hoz létre. A mérőelem tehát ebben a modellben a Poisson-hatásnak megfelelően keresztirányban szabadon deformálódhat. A valóságban azonban ez a szabadság a nyomóelem és a mérőelem egymással érintkező felületeinek súrlódó kölcsönhatása miatt nem valósul meg.

Egy anizotróp piezoelektromos lemez nyomása két izotróp (többnyire nagyszilárdságú acélból készült) nyomóelem között általában egy háromdimenziós, anizotróp, rugalmas deformációnak a problematikája. A feladat egzakt módon a mai napig nincs megoldva, de a végeselemes módszerek ennek a feladatnak a tisztázására eredményes közelítést hoztak. Emiatt a továbbiakban a következő feltételezésekkel élünk:

 

• Az érintkező felületek síkok maradnak,

• A piezoelektromos érzékelő lz vastagságát az lx és az lméretekhez képest úgy választják meg, hogy a lemez széleinél lévő szélhatások elhanyagolhatók legyenek,

A csatlakozó felületek közötti súrlódás végtelen nagy, vagyis a piezoelektromos érzékelő és a nyomóelem deformációját azonosra vehetjük.

 

Mindebből az következik, hogy a piezoelektromos érzékelőben a feltétezett egytengelyű feszültségállapot nem valósul meg. A σfeszültségen kívül a mérőelemben σx és σy, valamint τxz feszültségek is keletkeznek, amelyek a nyomóterheléskor keletkező polarizációs töltéseket befolyásolják. Ez a megváltozás az érzékelő és a nyomóelem rugalmas tulajdonságaitól függ. Ha az érzékelő nagyon vékony, akkor feltételezhető, hogy a nyomóelem keresztirányú deformációja teljes egészében átadódik. Az effektív érzékenység meghatározása a végeselemek módszerével történhet, azonban ezek a számítások a gyakorlatban csak viszonylag körülményesen végezhető el.

A nyomóelem és az érzékelő közötti kölcsönhatásnak még egy lényeges következménye van. Minden hőmérséklet-változás a nyomóelem és az érzékelő hőtágulásához vezet. A két anyag hőtágulási együtthatója azonban általában különböző, amelyet még az is bonyolít, hogy a piezoelektromos érzékelő ezen kívül anizotróp is. A hőmérséklet-változás hatására tehát a csatlakozó felületeken mechanikai feszültségek lépnek fel, amelyek a hőmérséklet-változással arányosak, és pótlólagos töltésváltozást okozhatnak. Felhasználói oldalról tehát egy ún. pszeudo piroelektromos hatással állunk szemben még akkor is, ha egyébként az érzékelő anyaga polárosan semleges. A pszeudo piroelektromos hatással az Energiaátalakulások szilárd testekben cikksorozat  Piezo- és piroelektromos átalakítók 2. részében ismerkedhettünk meg.

Ennek a hatásnak a kiküszöbölése komoly konstrukciós kérdés, amelyet például azonos hőtágulású anyagok felhasználásával eredményesen lehet csökkenteni. De hasonlóan fontos szerepet játszik a nyomóelemek és az érzékelő-, valamint a szigetelőlemezek vastagságának helyes megválasztása is.

A 3. ábrán látható erőmérő modell alkalmas arra, hogy a nyíróerő mérési lehetőségét vizsgáljuk rajta. A mérőelemnek ekkor természetesen a nyíró igénybevételre kell érzékenynek lennie. Egy α-kvarcból készült érzékelőben ez teljesül, ha azok a kristályfelületek, amelyeken a töltések megjelennek, az y tengelyre merőlegesek, és a mérendő erő az N1 elemre az x-irányban hat.

 

Megjegyzés

A 3. ábrán látható N1- és N2-jelű befogó elemek jelképesen jelzik azt a mechanikai befogó rendszert, amelyik hivatott a mérendő, koncentráltan ható F erőből a piezoelektromos kristály lxly nagyságú felületein egyenletesen megoszló, homogén τxy csúsztató feszültséget létrehozni. Ehhez a megfelelő mechanikai kialakításon kívül a szükséges súrlódóerő létrehozásához egy sztatikus (az ábrán nem jelölt) z-irányú nyomóerőre is szükség van. Ez a statikusan ható erő mérési hibát azonban nem okoz, mert mint korábban többször is megállapítottuk, piezoelektromos elven csak dinamikus igénybevételt lehet mérni. (A statikus igénybevétel által létrehozott villamos töltés ugyanis a kristály saját ellenállásán keresztül kisül.)

 

Fock21 javított

3. ábra F nyíróerő mérése tranzverzálisan csúsztató igénybevételű piezoelektromos mérőelemmel (α-kvarc, d26 piezoelektromos együttható)

 

A mérendő erő az érzékelő elmozdulását és elfordulását megakadályozó reakcióerővel létrehoz egy homogén

 Fock egyenlet 21

csúsztatófeszültséget, amellyel a töltéssűrűség 

Fock egyenlet 22 

és a keresett Q töltés

Fock-egy-23-mód

Ha az N1 nyomólapra egy tetszőleges irányú erő hat, akkor a vázolt modell az x-irányú nyíróerő-komponens helyes meghatározására csak akkor alkalmas, ha d21=d22=d23=d24=0. Ez a feltétel csak az α-kvarckristály pontos orientációjával teljesíthető, az orientáció pontatlansága hibát eredményez. Ezen túlmenően nem szabad elfelejtkezni az érintkező felületek kölcsönhatásáról, illetve az ebből származó hibákról sem, amelyeket a longitudinális hatásnál már korábban részletesen megvizsgáltunk.

A méréstechnikai gyakorlatban ritkán fordul elő a nyíróerő közvetlen mérésének a feladata, de mint a későbbiekben látni fogjuk, a nyomatékmérők és a többkomponenses erőmérők kialakításánál az elmondottaknak fontos szerepe van.

 

 

Folytatjuk!



Szerző: Dr. Fock Károly

 

fock.karoly@gmail.com

 

 

 


 

[1] A táblázat itt és a későbbi esetekben is piezokerámiák alkalmazását tartalmazza. Értelemszerűen hasonló gondolatmenettel más anyagok elemzése is elvégezhető.

[2] α-kvarc esetén a d12-jelű tranzverzális hatás alapján működő átalakítók kialakítására nyílik lehetőség, és az elemzés a fentiekhez hasonló eljárással – az anyagjellemzők értelemszerű módosításával – hajtható végre.