Teljesítményelektronikai ötletek – 23

Egy kis elméleti kitérővel szakítja meg az előző folytatás gyakorlati útmutatóját az e havi cikk. A sorozat rendszeres olvasója azonban tudhatja, hogy Robert semmilyen elméletet nem közöl gyakorlati ok nélkül – kísérjék figyelemmel, később hasznát vesszük.

Az impedancia párhuzamos-soros átalakítása

Ez a folytatás azzal foglalkozik, hogyan lehet a komplex impedanciákat párhuzamosból soros helyettesítő képbe átalakítani és viszont. Bemutatunk egy módszert ennek a transzformációnak egy grafikus ábrázolására a frekvencia függvényében, ami a Smith-diagramnál sokkal használhatóbbnak tűnik. Ez a módszer arra használható, hogy egy transzformátor vagy egy szűrőhálózat ekvivalens áramkörét kétpólus-helyettesítőképre egyszerűsítse. Az 1. ábra azokat a transzformációs egyenleteket mutatja, amelyek a párhuzamos kapcsolású áramkör soros helyettesítő képpé történő átalakításához használhatók (a levezetést az 1. függelék tartalmazza).

1.ábra Ez a két áramkör egy adott frekvencián egyenértékű

Érdekes módon ezek az egyenletek köröket írnak le a soros áramkör Rs/Xs síkján, ha a párhuzamos helyettesítő kép elemei közül az egyiket állandónak tartjuk, a másikat pedig szakadástól rövidzárig változtatjuk. Ez a változás eredhet magának az áramköri elemnek az értékváltozásából, de a frekvenciaváltozásnak a reaktanciára gyakorolt hatásából is. A 2. ábra mutat példát ilyen változásokra. A vízszintes tengelyen a soros ellenállás, a függőleges tengelyen pedig a soros reaktancia van feltüntetve.

2.ábra Az állandó párhuzamos ellenállás (kék) és az állandó párhuzamos reaktancia (lila) körei

Két kört találunk tehát az ábrán, az egyik az állandó ellenállást, a másik az álladó reaktanciát képviseli. Az állandó ellenállás köre a vízszintes tengelyre szimmetrikus. Ha a reaktancia nagy érték, („majdnem szakadás”), a párhuzamos kép impedanciája jó közelítéssel az ellenállással egyenlő. Ha a reaktancia csökken, a görbe egy kör mentén távolodik az origótól. A változás iránya pozitív, ha induktív, és negatív, ha kapacitív reaktanciáról van szó. Ha viszont az ellenállás értéke csökken, a görbe az origóhoz tart egy kör mentén, amelynek a középpontja a vízszintes tengelyen van a párhuzamos helyettesítő kép ellenállásának fele távolságára, és ugyanennyi a kör sugara is. Vegyük észre azt is, hogy ha az origót a kör egy pontjával összekötjük egy egyenessel, annak meredeksége az áramkör jósági tényezőjével azonos. Ez azt jelenti, hogy a legkisebb jósági tényező a párhuzamos reaktancia nagy értékénél, a legnagyobb pedig a párhuzamos reaktancia kis értékénél adódik. Egy másik érdekessége ennek a reprezentációnak, hogy egy párhuzamos L-C-R-rezgőkör impedanciáját is  ábrázolni képes. Ha az R párhuzamos ellenállás értéke állandó, kis frekvencián az induktív reaktancia kis értékű, a görbe tehát az origóból indul.
A frekvencia növekedtével az impedancia a koordináta-rendszer első negyedében pozitív irányban változik mindaddig, míg a kapacitív és az induktív reaktanciák abszolút értéke – a rezonanciafrekvencián – egyenlő nem lesz. Ez a diagramon a vízszintes tengely 1-es értékénél következik be. Utána a kör a koordináta-rendszer 2. negyedében folytatódik, és nagy frekvencián ismét csak az origóhoz tart.
A második görbe az impedancia körét mutatja, ha állandó a reaktancia, és változik a párhuzamos ohmos ellenállás. Ennek alakja ugyanolyan, mint az állandó R ellenállás esetén, csak ennek a középpontja a függőleges tengelyen van.
Mire jó ez az egész? Ez nagyon hasznos lehet például akkor, ha meg akarjuk határozni, hogyan hat egy induktív tekercs egyen­áramú ellenállása (DCR), vagy egy kondenzátor ekvivalens soros veszteségi ellenállása (ESR) egy tápegység kimeneti szűrőjének impedanciájára. Ezt a 3. ábra mutatja. A kimeneti impedancia a legnagyobb értéket a rezonancián mutatja, ezért a szűrő rezonanciafrekvenci­áját kell először  kiszámítanunk. Ezután végezzük el az induktivitás és a DCR, valamint a kapacitás és az ESR kombinációjából álló helyettesítő kép sorosból párhuzamosba való átalakítását. Végül pedig egyszerűen számítsuk ki a három – most már párhuzamos – ellenállás eredőjét. Vegyünk példának egy 47 μF-os kondenzátort gyakorlatilag 0 Ω ESR-értékkel, és egy 10 μH értékű kimeneti induktivitást, 50 mΩ DCR-ellenállással. A rezonancia­frekvencia 7 kHz, ezen a frekvencián az induktivitás reaktanciája 0,4 Ω, amelyből Q=8 jósági tényező és 3 Ω párhuzamos ellenállás adódik. Még ennél is gyorsabban célt érhetünk a karakterisztikus impedancia ((L/C)^0,5) felhasználásával az induktivitás reaktanciájának a rezonancián a­dódó értékének számítására. 

3. ábra A soros-párhuzamos átalakítás egyszerűsíti az áramkör analízisét

A következő részben folytatjuk a szigetelt tápegység kompenzációjára használható módszerek 2013./3. számunkban megkezdett tárgyalását. Erről és más teljesítményelektronikai megoldásokról további információkat a www.ti.com/power-ca webhelyen talál az olvasó.

Függelék

Egyetlen frekvencia létezik, ahol az 1. ábrán látható két áramkör egyenértékű. A párhuzamos alkatrészekből álló kép soros ekvivalenssé átszámítása a következőképpen történik:

Az egyenlet két oldalának valós és imaginárius részeit páronként egyenlővé téve, a számlálót és a nevezőt X_p²-tel elosztva és az R_p/X_p hányadost Q-val helyettesítve a következőket kapjuk:

Hasonlóképpen határozhatjuk meg X_s értékét is: