Szabályozástechnika 49
Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 8
A DI-állapotváltozók állapottranszformációja
A DI-rendszer állapot-differenciaegyenletével leírt n rendszámú dinamikus folyamat x(k) állapotvektorának komponensei az x1(k), x2(k), …, xn(k) állapotváltozók. Ezek mindegyike egy-egy mintasorozat. A dinamikus folyamat leírására olyan új xT(k) állapotvektor vezethető be, amelynek xTi(k) komponensei az eredeti rendszer xi(k) állapotváltozóinak súlyozott lineáris kombinációi: xT(k)=Tx(k), ahol T egy tetszőleges, reguláris (invertálható, vagyis det(T)≠0) n×n méretű) transzformációs mátrix.
Mátrix alakban az új xT(k) állapotvektor:
Az xT(k)=Tx(k) jelölésnek megfelelően T-1xT(k)=T-1Tx(k)=x(k). Ennek figyelembevételével a transzformált DI-rendszer új állapot-differenciaegyenletét az eredeti állapot-differenciaegyenletből az
x(k)=T-1xT(k) helyettesítéssel kapjuk:
Miután az eredeti x(k) állapotvektor helyett az új xT(k) állapotvektort vezettük be, az átalakított rendszer új AdT, BdT, CdT, DdT paramétermátrixai a T transzformációs mátrix és az eredeti Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixok ismeretében – egyszerű mátrixműveletekkel – meghatározhatók. A transzformáció az eredeti rendszer Ad állapotmátrixának λdi sajátértékeit, illetve az u(z) bemenő- és y(z) kimenőjelek közötti kapcsolatokat leíró W(z)=y(z)/u(z) impulzusátviteli függvényt természetesen változatlanul hagyja. Az új xT(k) állapotvektor bevezetésének az ad értelmet, hogy a T megfelelő megválasztásával az AdT=TAdT-1 transzformált állapotmátrix az eredeti Ad állapotmátrixhoz képest egyszerűbb (például diagonális) alakot ölthet. Ilyen egyszerűbb alakok (az FI-rendszerek kapcsán már tárgyalt és ott részletezett) a diagonális, az irányíthatósági, a megfigyelhetőségi, a fázisváltozós, az alsóháromszög, a felsőháromszög kanonikus alakok. A diagonális (más néven átlós, illetve első kanonikus) alak jelentősége most is abban van, hogy a DI-rendszer állapotváltozóit egymástól mintegy szétcsatolja. Ha a transzformálatlan rendszer Ad állapotmátrixának minden eleme valós, nem zérus érték, akkor a gerjesztetlen rendszer i sorszámú xi(k+1) siettetett állapotváltozója az x1(k), x2(k), …, xn(k)
állapotváltozóknak a lineáris függvénye:
Ez azt jelenti, hogy a rendszer xi(k) állapotváltozóját előállító i sorszámú shiftelő alaptagjának xi(k+1) bemenete minden egyes állapotváltozóról (így önmagáról is, ha aii≠0) egy arányos tagon keresztül vissza van csatolva (1.a. ábra). A T=Td transzformációval diagonális alakra hozott AdT állapotmátrixú transzformált DI-rendszerben viszont az i sorszámú xTi(k+1) siettetett állapotváltozó – az
egyenletnek megfelelően – kizárólag az xTi(k) állapotváltozótól függ, vagyis a transzformált rendszer xTi(k) állapotváltozóját előállító xTi(k+1) bemenetű shiftelő alaptag az xTi(k) állapotváltozóról (vagyis kizárólag önmagáról, ha λdi≠0) van visszacsatolva, és az arányos visszacsatolás átviteli tényezője az Ad állapotmátrix λdi sajátértéke (lásd még az impulzusátviteli függvény párhuzamos felbontását és a 1.b. ábrát). Erre az alakra azonban az eredeti DI-állapotegyenlet csak akkor hozható, ha az Ad állapotmátrix minden λdi sajátértéke egymástól különböző [1]. Az 1.b. és 1.c. ábrák alapján az a következtetés is levonható, hogy a DI-rendszerek analízisében a z-1 impulzusátviteli függvényű shiftelő alaptag arányos tagon keresztül történő visszacsatolásából álló, elsőrendű, SISO-rendszert leíró struktúrának lényeges szerepe van, mivel ezen alapstruktúrák párhuzamos kapcsolásából állítható elő a magasabb rendszámú DI-rendszerek hatásvázlata is. Mindezek következtében az elsőrendű rendszer struktúrája (1.c. ábra) és tulajdonságainak analízise alapvető jelentőségű. Ekkor – miután skaláris jelekről és paraméterekről van szó – az u(k)=δ(k) egységimpulzusra adott x(k), y(k) mintasorozat-válaszok egyszerű „fejszámolással” meghatározhatók.
Példa
Az 1.c. ábrán látható elsőrendű SISO DI-rendszer bemeneti mintasorozata u(k)=δ(k) egységimpulzus és az állapotváltozó kezdeti értéke x(0)=0. A hatásvázlat alapján közvetlenül számíthatjuk az x(k) állapotváltozó és az y(k) kimenőjel mintasorozatait. A shiftelő (holtidős) tag x(k) mintasorozata:
x(k)={0, bd, bdad, bdad2, bdad3,…}, illetve a kimeneti mintasorozat:
y(k)={dd, cdbd, cdbdad, cdbdad2, cdbdad3,…}.
Láthatóan most az állapotmátrix Ad=ad skaláris, emiatt karakterisztikus egyenlete det(λd-ad)=λd-ad=0, a λd1 sajátérték λd1=ad. Ebből az is következik, hogy a rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha abs(λd1)=abs(ad)<1, vagyis a shiftelő tag az egységtől abszolút értékben kisebb átviteli tényezőjű arányos taggal van visszacsatolva. Ez a tulajdonság az x(k), y(k) mintasorozatokból is leolvasható, mivel abs(ad)<1 és k→∞ esetén x(∞)=y(∞)=0, vagyis a zérus bemenőjelre állandósult állapotban (a tranziensek „lecsengését" követően, amikor is k=∞) zérus válaszok jönnek létre. Az elsőrendű tag impulzusátviteli függvényét a 1.c. ábrán találjuk.
1. ábra Az DI-állapotváltozók szétcsatolása állapottranszformációval
Az eredeti DI-rendszer Ad állapotmátrixának a Td transzformációval diagonális alakra történő átalakításával látható, hogy az n darab elsőrendű differenciaegyenletből álló csatolt (eredeti, 1.a. ábra) rendszer n darab elsőrendű differenciaegyenletből álló csatolatlan (transzformált, 1.b. ábra) rendszerre particionálható. Ez a tulajdonság indokolja a 1.c. ábra elsőrendű (és ebből adódóan igen egyszerű) SISO-rendszerének analízisét. A csatolatlan (transzformált) rendszer shiftelő tagjainak visszacsatolásaiban a csatolt (transzformálatlan) rendszer Ad állapotmátrixának λdi sajátértékei szerepelnek. Könnyen belátható, hogy ezek abs(λdi)<1 értékei mellett lehetséges csak, hogy állandó u(k) bemenő mintasorozat-vektor hatására az xTi(k) állapotváltozók mindegyike k→∞ mellett állandó értékhez tartson. Ekkor a rendszer aszimptotikusan stabilis. Ha viszont valamelyik sajátérték abs(λdi)≥1, akkor a rendszer bizonyosan labilis, mert állandó bemenőjelvektor mellett valamelyik xTi(k) állapotváltozó k→∞ esetén a végtelenhez tart. (Hasonló következtetések a csatolatlan rendszer struktúrájából lényegesen körülményesebben lennének levonhatók). A diagonális alakot előállító Td transzformációs mátrix meghatározása az Ad állapotmátrix m sajátvektorainak kiszámításán alapszik, viszonylag komplikált mátrixműveleteket igényel [2].
Az irányíthatósági kanonikus alakra hozó transzformáció struktúráját a 2. ábrán szemléltetjük.
2. ábra Állapottranszformáció az irányíthatósági kanonikus alak létrehozására
Ennek jellegzetes ismérve a shiftelő alaptagok láncolatának (soros kapcsolásának) struktúrája, illetve az a tulajdonság, hogy a transzformált rendszer minden egyes shiftelő alaptagjának xTi(k) kimenőjele az első shiftelőtag bemenetére van visszacsatolva (lásd még az impulzusátviteli függvény közvetlen felbontását és a 2. b. ábrát). A visszacsatolások -hi átviteli tényezői ekkor a transzformálatlan rendszer det(λdI-Ad) karakterisztikus polinomjának negatív együtthatói. A diszkrét SISO dinamikus tag W(z)=G(z)/H(z) algebrai törtalakú impulzusátviteli függvényének ismeretében a MATLAB
[Ad,Bd,Cd,Dd]=tf2ss(Gz,Hz);
függvénye a tag állapotegyenletének irányíthatósági kanonikus alakját adja, amelyet a
[AdT,BdT,CdT,DdT,Td]=canon(Ad,Bd,Cd,Dd,’modal’);
függvénnyel diagonális alakra is hozhatunk. Bár az irányíthatósági kanonikus alak a rendszer tranziens viszonyinak minőségi tulajdonságairól nem ad olyan egyszerű képet, mint amit az első kanonikus alak adott, az állapotirányítás tervezésében azonban ez az alak is – egyszerűsítve az állapotirányítás tervezési eljárását – jelentős szerepet játszik.
Vegyük észre, hogy az állapotváltozók transzformációjával keletkezett transzformált rendszerben – bármilyen transzformációról is legyen szó – a Dd paramétermátrix változatlan marad (DdT=Dd). Ennek oka az, hogy a Dd≠0 paraméter mutatja meg, hogy a DI-tag u(k) bemenőjele – az állapotváltozókon keresztül létrehozott hatást mintegy megkerülve – milyen Ddu(k) direkt hatást fejt ki az y(k) kimenőjelre, ami egyébként az állapotvektor által kifejtett Cdx(k), illetve CdT-1xT(k) hatásától független. A transzformáció természetesen a dinamikus tag eredeti W(z)=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvényét sem változatja meg [3], vagyis
W(z)=Cd(zI-Ad)-1Bd+Dd=
=CdT-1(zI-TAdT-1)-1TBd+Dd=
=CdT(zI-AdT)-1BdT+DdT=y(z)/u(z).
Az állapotirányíthatóság, a megfigyelhetőség és az állapottranszformáció fogalmai, feltételei, transzformációs összefüggései az FI- és DI-rendszerekben annyira azonosak, hogy a MATLAB sem tesz közöttük különbséget. Például a Co=ctrb(A,B); és a Co=ctrb(Ad,Bd); függvények az irányíthatósági hipermátrixokat számítják ki, a paramétermátrixok értelemszerű megadása mellett. Az irányíthatóság, megfigyelhetőség és az állapottranszformációk fogalmai és eljárásai a hibrid rendszer DI-modelljére alapozott állapotirányítás témaköreinek feldolgozása során kerülnek alkalmazásra, és az impulzusátviteli függvény közvetlen felbontása (irányíthatósági kanonikus alak), illetve a párhuzamos felbontása (első kanonikus alak) kapnak meghatározó jelentőséget.
Diszkrétidejű dinamikus tag aszimptotikus stabilitása
Az A állapotmátrixával (vagy a W(s)=C(sI-A)-1B+D=G(s)/H(s) átviteli függvényével) jellemzett folytonosidejű lineáris dinamikus SISO-rendszer aszimptotikus stabilitásának feltétele, hogy a
det(sI-A)=H(s)=a0sn+a1sn–1+…+an–1s+an=0
karakterisztikus egyenlet minden gyöke (a rendszer minden pi=λi pólusa) az s komplex számsík negatív valós részű felsíkján (a „stabilis félsíkon”) legyen. Ez a feltétel a gyökök tényleges kiszámítása nélkül is eldönthető volt a Hurwitz-kritérium [4] alapján (real(pi)<0 ha H(s) Hurwitz-polinom).
Az Ad állapotmátrixával (vagy a W(z)=Cd(zI-Ad)-1Bd+Dd=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvényével) jellemzett diszkrétidejű lineáris dinamikus SISO-rendszer aszimptotikus stabilitásának feltétele hogy a
H(z)=det(zI-Ad)= a0zn+a1zn–1+…+an–1z+an=0
karakterisztikus egyenlet minden gyöke (a rendszer minden zpi=λdi pólusa) a z komplex számsík egységsugarú körének belsejében (a „stabilis tartományban”) legyen (abs(zpi)<1). Ez a feltétel az együtthatók ismeretében a gyökök tényleges kiszámítása nélkül is eldönthető (Jury-teszt). Ne feledkezzünk meg arról, hogy a folytonos rendszerből származtatható diszkrét rendszer karakterisztikus polinomjának minden ai együtthatója a Ts mintavételezési időnek is a függvénye. A W(z) impulzusátviteli függvény zérusainak és pólusainak kiszámítását a MATLAB
[zz,zp,kd]=tf2zp(Gz,Hz);
utasítása támogatja. A W(z) reziduumainak és pólusainak meghatározását (a részlettörtre bontást) támogató MATLAB függvény:
[r,zp,k]=residue(Gz,Hz);.
Ismételten szögezzük le, hogy aszimptotikusan stabilis diszkrét rendszer z változóban felírt karakterisztikus polinomja nem Hurwitz-polinom (gyökeinek nem negatív valós részűeknek, hanem az abs(zpi)<1 feltételnek kell megfelelniük).
A Jury-teszt
A diszkrét rendszer a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an=0 karakterisztikus egyenletének minden zpi gyökére abs(zpi)<1 feltétel teljesül, ha
• n=1 esetben: → H(z)=a0z+a1=0 zp1=-a1/a0
abs(zp1)<1, ha abs(a0)>abs(a1)
• n=2 esetben: → H(z)=a0z2+a1z+a2=0 zp1,2=(-a1±(a12-4a0a2)1/2)/(2a0)
abs(zp1,2)<1, ha H(1) =a0+a1+a2>0,
H(-1)=a0-a1+a2>0, és a0>abs(a2)
• n=3 esetben: → H(z)=a0z3+a1z2+a2z+a3=0
abs(zp1,2,3)<1, ha H(1) =a0+a1+a2+a3>0,
H(-1)=-a0+a1-a2+a3<0,
és a0>abs(a3), a2a0-a1a3
• n=4 esetben: → H(z)=a0z4+a1z3+a2z2+a3z+a4=0
abs(zp1,2,3,4)<1, ha H(1)=a0+a1+a2+a3+a4>0,
H(-1)=a0-a1+a2-a3+a4>0,
és a0>abs(a4), abs(a3a0-a1a4)
(a0-a4)2(a0-a2+a4)+(a1-a3)(a3a0-a4a1)>0
• stb. (a fokszám növekedésével egyre nehézkesebb az eljárás).
A bilineáris transzformáció
A bilineáris transzformáció alkalmazásával a diszkrét rendszer karakterisztikus polinomját olyan polinommá alakíthatjuk át, amelyre a Hurwitz-kritérium már alkalmazható. Ha a diszkrét rendszer z komplex változóban értelmezett a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an=0 felépítésű karakterisztikus egyenletében a z=(1+w)/(1-w) helyettesítést végrehajtjuk, akkor az így kapott karakterisztikus egyenlet wp gyökeire vonatkozóan a Hurwitz-kritériumot használhatjuk. A z sík egységsugarú körét ugyanis a w=(1-z)/(1+z)
leképzés a w sík imaginárius tengelyébe, a kör belsejét a w sík negatív valós részű félsíkjába képezi le. Ebből az következik, hogy abban az esetben, ha H(w) Hurwitz-polinom (vagyis wp gyökei a w sík stabilis – negatív valós részű – félsíkján helyezkednek el), akkor H(z) minden zp gyöke a z sík egységsugarú körének belsejében (a stabilis tartományban) van (3. ábra).
3. ábra A z sík stabilis tartományának leképzése a w síkra
Példa
Legyen egy lineáris, másodrendű, diszkrét rendszer impulzusátviteli függvénye
A diszkrét rendszer aszimptotikus stabilitásának feltétele, hogy a H(z)=a0z2+a1z+a2=0 karakterisztikus egyenletének zp1,2 gyökei (W(z) pólusai) a z sík egységsugarú körének belsejében legyenek (abs(zp1,2)<1). Stabilitásvizsgálat a bilineáris transzformációval:
A másodfokú H(w) Hurwitz-polinom, ha minden együtthatója pozitív, vagyis:
a0–a1+a2=H(z)z=-1=H(-1)>0 a0+a1+a2=H(z)z=1=H(1)>0, a0-a2>0 ,
ami egyébként a Jury-teszt. Ha tehát H(w) Hurwitz-polinom, akkor H(z) minden gyöke a komplex sík egységsugarú körének a belsejében van, vagyis a diszkrét rendszer aszimptotikusan stabilis. Ne feledkezzünk meg arról, hogy a diszkrét tagok visszacsatolásával keletkező eredő rendszer karakterisztikus egyenlete 1±W0(z)=0, ahol W0(z)=G0(z)/H0(z) a nyitott kör eredő impulzusátviteli függvénye. A stabilitásvizsgálatot ekkor a HR(z)=G0(z)±H0(z)=0 egyenletre kell elvégezni. Az FI és DI szabályozási rendszerek közötti hasonlóságokat és különbözőségeket egy igen egyszerű (az analízishez számítógépes támogatást nem igénylő) példán szemléltetjük.
Példa
A szabályozott folyamat legyen egy egytárolós arányos (önbeálló) tag, amelynek átviteli függvénye Wp(s)=kp/(1+sTp), és kp=1>0, Tp=10>
h(∞)=1-vR(∞)=1/(1+K)>0
hiba a körerősítés függvénye, és K növelésével csökkenthető (5. ábra). Ebben a struktúrában (a ténylegesen működő fizikai rendszerben) az FI-szabályozót Wc(z)=kc impulzusátviteli függvényű digitális P szabályozóval váltjuk ki, tehát a szabályozási hatáslánc a DDC-szabályozóval, valamint a D/A- és A/D-átalakítókkal bővül. Az alkalmazott mintavételezési idő legyen Ts=1<<Tp=10. A következőkben az y szabályozott jellemző, az u irányítójel és a h hibajel kiszámításával összehasonlítjuk a folytonosidejű és a hibrid szabályozás tulajdonságait, miközben a hibrid rendszert annak DI-jelekre és tagokra homogenizált modellje alapján tárgyaljuk. Mindkét szabályozási rendszer matematikai modelljét elsőrendű differenciálegyenlet, illetve elsőrendű differenciaegyenlet jellemzi, ezért a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete mindkét modellben elsőfokú. Ennek megoldása (a tranziens folyamatokat alapvetően meghatározó pR, illetve zpR pólusok kiszámítása) szintén igen egyszerű.
Folytonos szabályozás vizsgálata a szabályozás FI-modellje alapján
A folytonosidejű szabályozási rendszert a hatásvázlata, valamint a szabályozó Wc(s) és a folyamat Wp(s) átviteli függvényei jellemzik (4. ábra). Az alapjel egységugrás.
4. ábra Az FI-szabályozás hatásvázlata
A részletszámítások mellőzésével a nyitott és a zárt kör eredő átviteli függvényei, a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete és ennek pR gyöke, valamint a zárt rendszer egységugrás alapjelre (yA(t)=1(t), yA(s)=1/s) vonatkozó y(t)=vR(t), u(t) és h(t) válaszai és ezek kezdeti és végértékei az alábbiak:
Az y(t), u(t) és h(t) válaszok időfüggvény-grafikonjait és a szabályozás gyökhelygörbéjét az 5. ábra tartalmazza.
5. ábra Az FI-szabályozás átmeneti függvényei és gyökhelygörbéje
A grafikonokból is leolvasható, hogy a vR(t) végértéke csupán megközelíti az yA=1 alapértéket, a h(∞)=yA-vR(∞) állandósult hiba és a zárt rendszer eredő TR=Tp/(1+K) időállandója a K körerősítés függvénye. Pl. K=9 körerősítés esetén az állandósult hiba h(∞)=1/10 és az eredő időállandó TR=1. A zárt rendszer – figyelembe véve a folyamat Tp=10 időállandóját – lényegesen felgyorsult, ami az u irányítójel jelentős mértékű túlvezérlésének (a szabályozó kc=9 erősítésnek) köszönhető. Ennek ára az uT=u(0)/u(∞)=kc/[kc/(1+K)]=1+K=10 túlvezérlési arány. Az üzemelés során egyrészt a kc=9 túlvezérlést a szabályozónak elő kell tudni állítania, másrész ezt a folyamatnak is el kell tudni viselnie (lásd az u(t) grafikonját). A kc további növelésével a h(∞) állandósult hiba és a beállás TR időállandója tovább lenne csökkenthető, de ez természetszerűen a túlvezérlés további növekedését is maga után vonja. A gyökhelygörbe azt szemlélteti, hogy K>0 körerősítés bármekkora értéke mellett a zárt rendszer WR(s) átviteli függvényének pR=-(1+K)/Tp=-1/TR<0 pólusa a stabilitási tartományban van (strukturálisan stabilis [5] FI szabályozási rendszer).
A hibrid szabályozás vizsgálata a rendszer DI-modellje alapján
A hibrid szabályozási rendszer DI-jelekre és -tagokra homogenizált modelljét a 6. ábra tartalmazza. Az alapjel egységminta-sorozat:
[yA(k)=1(k), yA(z)=z/(z–1)].
6. ábra A hibrid-szabályozás DI-modellje
A DI-modell alapján a folyamat Wp(z), a felnyitott kör W0(z)=Wc(z)Wp(z) és a zárt rendszer WR(z) eredő impulzusátviteli függvényei:
A DI zárt rendszer karakterisztikus egyenlete z-[E-K(1-E)]=0, és ennek gyöke zpR=E-K(1-E). A zpR gyök vándorlása a z komplex síkon – miközben a K tényező befutja a 0<K<∞ intervallumot – a 7. ábrán látható.
7. ábra A hibrid-rendszer DI-modelljének gyökhelygörbéje és kritikus körerősítése
A gyökhelygörbe a z sík valós tengelyén fekszik, a nyitott kör 1>zp=E>0 pólusából indul és a valós tengely –∞ pontja felé tart. A zárt rendszer WR(z) eredő impulzusátviteli függvényének zpR pólusa a körerősítés Kkr értékénél kilép a stabilitási tartományból (az egységsugarú körből). Ez akkor következik be, mikor K=Kkr értékénél zpR=-1 értéket vesz fel. Ennek alapján:
A Kkr=cth[Ts/(2Tp)] grafikonját szintén a 41. ábra mutatja. Abból a puszta tényből adódóan, hogy az FI-rendszer P-szabályozóját digitális P-szabályozóra cseréljük (vagyis a zárt hatásláncban megjelenik a mintavételezés és a zérusrendű tartás), az eredetileg strukturálisan stabilis FI-rendszer a hibrid működésre történő áttérés miatt elveszíti a strukturálisan stabilis tulajdonságát, mivel a K körerősítés növelésével labilissá válhat. A Kkr kritikus körerősítés a folyamat Tp időállandójának és a Ts mintavételezési időnek a függvénye. Minél kisebb a Ts/(2Tp) viszonyszám (vagyis egy adott Tp-nél minél kisebb a Ts mintavételezési idő), annál nagyobb a labilitást előidéző Kkr értéke, és annál nagyobb a megfelelő stabilitási tartalékot biztosító K≈Kkr/2 megengedett körerősítés is. Ha pl. Kkr=19 esetén a megengedett körerősítésre K=Kkr/2=9 értéket választunk, akkor Tp=10 mellett a mintavételezési idő Ts=10ln(19/17)=1,1123. A gyökhelygörbe alapján az is látható, hogy a K erősítésnek lehetnek olyan értékei, amikor is a zpR pólus a stabilis tartomány 0>zpR >-1 intervallumában van. Ekkor a hibrid-rendszer ugyan aszimptotikusan stabilis marad, de zpR negatív értéke miatt az átmeneti jelenségek lengéseken keresztül veszik fel az egyensúlyi helyzeteiket. Ilyen lengésekkel történő beállás a tárgyalt eredeti FI-rendszermodellben elvileg nem fordulhat elő. Bármekkora is a zpR pólus értéke, az y(k) és u(k) mintasorozatok az inverz Z-transzformáció segítségével egyszerűen meghatározhatók. Az yA(z)=z/(z-1) egységminta-sorozatra adott
y(k)=Z-1{y(z)}, u(k)=Z-1{u(z)} és h(k)=Z-1{h(z)} válaszok az y(z), u(z) és h(z) Z-transzformált függvények részlettörtre bontása alapján számíthatók. Részletezve:
Az adott yA(k)=1(k) alapjel-mintasorozat gerjesztésre kialakuló y(k)=vR(k), u(k), h(k) mintasorozatok és az y(t)=vR(t),
uT(t) időfüggvények menetét – aszimptotikusan stabilis rendszert (|zpR|<1) feltételezve – a 8. ábra mutatja.
8. ábra A DI-szabályozás átmeneti mintasorozatai
Az 5. és 7. ábrák alapján láthatjuk, hogy a t=0 és k=0, illetve a t=∞ és k=∞ kezdeti és végértékek szempontjából az FI- és a stabilis DI-rendszerek viselkedése azonos, az átmeneti tulajdonságok azonban – az irányító jel „lépcsős” időlefolyásának következményeként – alapvető különbözőséget mutatnak. Ezek a különbözőségek más–más módon jelenhetnek meg, attól függően, hogy a zárt rendszer karakterisztikus egyenletének zpR gyöke az egységsugarú körhöz képest hol helyezkedik el. A folyamat 1>zp>zpR>0 esetében aperiodikus, 0>zpR>-1 esetben csillapítottan lengő, -1≥zp>-∞ esetben pedig csillapítatlan lengő vagy labilis (a 7. ábra a csillapítottan lengő esetet mutatja, az egyéb esetek tanulmányozását az olvasóra bízzuk). Külön említést érdemel a zpR=0 eset, mikor is WR(z) pólusa a z sík origójában van. Ekkor zpR=E-K(1-E)=0, illetve K=E/(1-E). A nyitott és a zárt rendszer W0(z), WR(z), u(z)/yA(z) és h(z)/yA(z) eredő impulzusátviteli függvényei zpR pólus zérus értékénél:
Figyeljük meg a WR(z), a Wc(z)/[1+W0(z)] és a 1/[1+W0(z)] eredő impulzusátviteli függvények FIR-típusú alakjait, aminek jelentése az, hogy mind az y(k), mind pedig az u(k) és h(k) mintasorozatok véges lépésszám alatt veszik fel egyensúlyi értékeiket [6]. Ezek ábrázolását szintén az olvasóra bízzuk [7]. Az ilyen rendszereket véges beállású szabályozásoknak nevezünk, és hasonló tulajdonság a folytonosidejű rendszerekben – a tranziensek exp(pRt) szerint alakuló időfüggvényei miatt – elvileg nem jöhet létre.
A példa egyszerűsége eredményezte, hogy az analízis analitikus formában volt tárgyalható, és az FI- és DI-modellek hasonlóságait és különbözőségeit szemléletesen lehetett érzékeltetni. Figyelmet érdemel az FI-rendszer y(t), u(t), h(t) időfüggvényeinek és a DI-rendszer y(k), u(k), h(k) mintasorozatainak és az ut túlvezérlési aránynak képletszerű összehasonlítása (1. táblázat). A kifejezések formális hasonlósága szembetűnő. A tranziens folyamatokat alapvetően befolyásoló tényezők láthatóan az FI zárt rendszer WR(s) átviteli függvényének pR=-(1+K)/Tp pólusa, valamint a DI zárt rendszerben a WR(z) impulzusátviteli függvényhez tartozó zpR=E-K(1-E) pólus. A pR pólus az FI-rendszer K körerősítésének, a zpR pólus a DI-rendszer K tényezőjének és a Ts mintavételezési időnek a függvénye.
1. táblázat FI és DI modellek hasonlóságai és különbözőségei
A példa megoldását támogató és alább közölt analizis.m nevű fájban található MATLAB-program alkalmazásával tetszőleges kc, kp, Tp és Ts adatokkal számíthatjuk és ábrázolhatjuk az FI- és DI-rendszerek jellegzetes tulajdonságait (FI-rendszer esetében a folyamat vp(t) átmeneti függvényét, a zárt rendszer u(t), y(t) jeleit és gyökhelygörbéjét; DI-rendszerben pedig a folyamat diszkrétidejű modelljét, a zárt rendszer u(k), y(k) jeleit és gyökhelygörbéjét stb). A program használatával megvizsgálhatjuk pl. a DI-modellel leírt rendszer különféle zpR pólusok esetén kialakuló mintasorozatok grafikonjait, valamint a véges beállás és a labilitás jelenségeit is.
% analízis
echo on
% Analízis az FI modell alapján
kc=input('kc=');kp=input('kp=');
Tp=input('Tp=');Gps=kp;Hps=[Tp 1];
Gc=kc;Hc=1;step(Gps,Hps);
title('Az FI folyamat vp(t) átmeneti függvénye');
grid;pause;K=kc*kp;G0s=K;H0s=Hps;
[GRs,HRs]=cloop(G0s,H0s);step(GRs,HRs);
title('Az FI zárt rendszer vR(t) átmeneti függvénye');
grid;pause;
rlocus(G0s,H0s);
title('Az FI rendszer gyökhelygörbéje');
grid;pause;
% Analízis a DI modell alapján
Ts=input('Ts=');[Gpz,Hpz]=c2dm(Gps,Hps,Ts);
E=exp(-Ts/Tp);disp('E=zp=');disp(E);pause;
G0z=K*(1-E);H0z=Hpz;[GRz,HRz]=cloop(G0z,H0z);
dstep(GRz,HRz,10);
title('A DI rendszer vR(k) átmeneti mintasorozata');
xlabel('lépésszám');grid;pause;
GRu=kc*[1 -E];HRu=[1 -(E-K*(1-E))];
dstep(GRu,HRu,10);
title('A DI rendszer uT(t) irányitó jele');
xlabel('lépésszám');grid;pause;
rlocus(G0z,H0z);
title('A DI rendszer gyökhelygörbéje');zgrid;pause;
% Véges beállású rendszer vizsgálata
G0z=E;H0z=Hpz;[GRz,HRz]=cloop(G0z,H0z);
dstep(GRz,HRz,10);
title('A DIv rendszer vR(k) átmeneti mintasorozata');
xlabel('lépésszám');grid;pause;
disp('HRz=');disp(HRz);GRu=kc*[1 -E];
HRu=[1 -0];dstep(GRu,HRu,10);
title('A DIv rendszer uT(t) irányitó jele');
xlabel('lépésszám');grid;pause;
% A Kkr=cth(Ts/(2Tp))jelleggörbe számítása
Ts=0.2:0.1:10;
Kkr=(1+exp(-Ts./10))./(1-exp(-Ts./10));
plot(Ts,Kkr);grid on;
title('A Kkr=cth(Ts/(2Tp)) jelleggörbe');
xlabel('Ts')
disp('vége');
A gyakorlati körülmények között üzemelő szabályozási rendszerekben a szabályozó és a folyamat magasabb rendszámú W(s) átviteli, illetve W(z) impulzusátviteli függvényekkel írható le. A szabályozó rendszerint integráló fokozatot is tartalmaz (pl. PIPD-szabályozó), aminek hatására kedvező értéktartási és követési tulajdonságok alakíthatók ki (lásd integrálszabályozások). A folyamat általában többtárolós, holtidős tulajdonságú, ritkább esetekben nem minimumfázisú vagy labilis. Az általánosan előforduló leggyakoribb esetekben a szabályozási algoritmust PIPD-szabályozó reprezentálja, a folyamatot pedig kéttárolós, holtidős tag identifikálja. A hatáslánc matematikai modelljei ekkor:
Az ilyen átviteli függvényekkel jellemzett rendszerekben lejátszódó folyamatok hasonlóak a megelőző példa kapcsán tárgyalt egyszerű esettel, a különbség lényegét tekintve abban van, hogy a magasabb rendszám és a holtidő miatt az FI-rendszer is általában feltételesen stabilis, illetve az analitikus számítások mind az FI-, mind pedig a DI-esetekben lényegesen nehézkesebbek. Mindezek miatt a MATLAB szolgáltatásainak igénybevétele ekkor fokozott mértékben indokolt [8].
Folytatjuk!
Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné
[1] Ha az Ad állapotmátrixnak többszörös (több egymással azonos) λdi sajátértékei is vannak, az állapottranszformációval az itt nem részletezett ún. Jordán-alak állítható elő. A fizikai rendszert leíró linearizált FI-állapotegyenlet A állapotmátrixának általában egyszeres multiplicitású sajátértékei vannak, emiatt a diszkretizálás során adódó DI-modell Ad állapotmátrixa sem rendelkezik azonos sajátértékekkel. Mindezek miatt a Jordán-alaknak elméleti jelentés adható. Az Ad állapotmátrix λdi, λd(i+1) sajátértékeinek egy része konjugált komplex párokban is előfordulhat, ekkor az ezeknek megfelelő két elsőrendű rendszert egy másodrendű rendszerre célszerű összevonni. Ekkor a diagonális alak kissé módosul, de állapotmátrixában továbbra is valós számok szerepelnek.
[2] MATLAB támogatással:
[m,AdT]=eig(Ad);Td=inv(m);
AdT=inv(m)*Ad*m;
%Ekkor Td=inv(m).
Vagy közvetlen utasítással:
[AdT,BdT,CdT,DdT,Td]=canon(Ad,Bd,Cd,Dd,’modal’);.
[3] Mint láthattuk, a T transzformációs mátrix megválasztásával ugyanazon dinamikus rendszer állapotegyenleteiben az állapotvektor és a paramétermátrixok sokféle alakot ölthetnek. A transzformáció megválasztásától függően lehet a rendszer állapotvektora irányítható, illetve megfigyelhető.
[4] A zérusok és pólusok kiszámítását a MATLAB [z,p,k]=tf2zp(Gs,Hs); függvénye, illetve a W(s) átviteli függvény részlettörtre bontását végző [r,p,k]=residue(Gs,Hs); utasítása támogatja.
[5] A strukturális stabilitás tulajdonsága a fizikai szabályozási rendszer matematikai modelljét absztraháló hatásvázlatra vonatkozik.
[6] Az adott elsőrendű rendszer esetében ez most egy lépést (Ts idő alatti beállást) jelent.
[7] Segítség: y(k)=Z-1{Ez-1z/(z-1)},
u(k)=Z-1{kc(1-Ez-1)z/(z-1)}=
=kcZ-1{z/(z-1)}-kcEZ-1{z-1z/(z-1)}.
[8] A magasabb rendszámú hibrid rendszereket és a DDC-szabályozó méretezését a „Hibrid-szabályozás rendszertechnikai méretezése” című fejezetben részletesen tárgyaljuk.
