Szabályozástechnika 46

Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 5

A diszkrét SISO-tag differenciaegyenletéhez rendelhető, DI-alaptagokat tartalmazó [1] hatásvázlat

A DI-dinamikus tagok W(z) impulzusátviteli függvényeihez is hozzárendelhető olyan hatásvázlat-struktúra, amely kizárólag P, S, Σ lineáris, diszkrétidejű alaptagokat tartalmaz. Ezzel a hozzárendeléssel a DI SISO-tag állapot-differenciaegyenletének a felírása igen egyszerűvé tehető. A lehetséges eljárások közül a két fontosabbat (a közvetlen és a párhuzamos felbontást) ismertetjük [2].

Az impulzusátviteli függvény közvetlen felbontása

Másodrendű rendszert (n=2) vizsgálunk, de az itt bemutatott eljárás az általános (n≥1, tetszőleges) esetben is alkalmazható. Legyen a vezető együtthatóra normalizált másodrendű diszkrét tag differenciaegyenlete és impulzusátviteli függvénye:

Egy i(z) segédváltozó bevezetésével az átviteli függvény G(z) számlálóját és

H(z) nevezőjét szorozzuk a z^-2i(z) kifejezéssel [3]:

.

Az y(z)=G(z)z^-2i(z) és az u(z)=H(z)z^-2i(z) azonosságok alapján, illetve az y(z) és i(z) független változókra történő rendezéssel a W(z) impulzusátviteli függvény közvetlen felbontásához juthatunk:

Az utóbbi egyenletekből – figyelembe véve, hogy z^-1 az eltolás operátora – a P, S, és Σ diszkrét alaptagokat tartalmazó hatásvázlat építhető fel. Ehhez vegyük figyelembe, hogy az i(z) segédváltozónak egymással soros kapcsolást alkotó z^-1 impulzusátviteli függvényű tagok láncolatán történő átvezetésével az első tag kimenőjele z^-1i(z), a másodiké z^-1(z^-1i(z))=z^-2i(z). Az alaptagokból kialakítható hatásvázlat-struktúrát a 1. ábra szemlélteti [4].

1. ábra Az impulzusátviteli függvény közvetlen felbontása lineáris diszkrétidejű alaptagokra

A differenciaegyenletben, az impulzusátviteli függvényben, illetve a hatásvázlaton szereplő h₁, h₂, és g₀, g₁, g₂ együtthatók mindegyike tetszőleges valós szám [5], és h₀=1. Fontos tulajdonsága a rendszernek, hogy a H(z) polinom (ami a W(z)=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvény karakterisztikus polinomja) negatív h_i együtthatói a késleltető tagok visszacsatolásaiban játszanak meghatározó szerepet (autoregressziós hatás). Az adott rendszer stabilitását is meghatározó karakterisztikus polinom most: H(z)=z²+h₁z+h₂. Stabilis a diszkrétidejű másodrendű rendszer, ha ennek mindkét gyökére abs(z_p1,2)<1. A hatásvázlat késleltető tagjainak kimenőjeleit tekintsük a másodrendű diszkrét dinamikus rendszer x₁(k) és x₂(k) diszkrét állapotváltozóinak, ezek bemenőjelei ekkor az x₁(k+1) és x₂(k+1) mintasorozatok [6]. Ezekkel a jelölésekkel a másodrendű diszkrét rendszer állapot-differenciaegyenlete az 1. ábra alapján:

A két elsőrendű lineáris differenciaegyenletből és az y(k) kimenőjelet meghatározó algebrai egyenletből álló, diszkrét állapot-differenciaegyenlet – az adott u(k) gerjesztésre vonatkozó y(k) válasz meghatározásának szempontjából – egyenértékű a SISO-tagot leíró másodrendű, állandó együtthatójú, lineáris differenciaegyenlettel [7]. Az állapotegyenlet megoldása azonban nem csupán az y(k) kimenőjelet szolgáltatja, hanem a rendszer x(k) állapotvektorát is megadja. Az y(k) meghatározását meg kell, hogy előzze az x(k) állapotvektor kiszámítása [8]. Az impulzusátviteli függvény közvetlen felbontása alapján származtatott állapotegyenletnek jellegzetes tulajdonsága, hogy az impulzussorozatok eltolását végző z^-1 impulzusátviteli függvényű dinamikus alaptagok egymással soros kapcsolású láncolatot alkotnak. Az n rendű, diszkrétidejű SISO-tag impulzusátviteli függvényének közvetlen felbontásakor az A_d állapotmátrix általános alakja:

Ennek a jelentése az, hogy az i sorszámú x_i(k+1) siettetett állapotváltozó mintasorozata azonos az (i-1) sorszámú x_i-1(k) állapotváltozó mintasorozatával, és csupán az i=1 sorszámú x₁(k+1) siettetett mintasorozat függ mindegyik állapotváltozótól, ha csak a h_i (i=1,2,…,n), együtthatók valamelyike nem zérus. A diszkrét állapotegyenletnek ez az alakja az irányíthatósági kanonikus alak [9]. A differenciaegyenletre részletezve:

Vegyük észre, hogy az A_d állapotmátrix első sorában a H(z) karakterisztikus polinom negatív együtthatói szerepelnek. A g₀=0 paraméter esetében W(z) számlálója alacsonyabb fokszámú, mint a nevezője, ekkor az állapotegyenlet reprezentációjában D_d=0. Ennek fizikai jelentése az, hogy az u(k) bemeneti mintasorozat direkt módon nem befolyásolja az y(k) kimeneti mintasorozatot, ami a 16. ábra hatásvázlat-struktúráján is nyomon követhető. Ekkor a bemeneti mintasorozatban történő változás a kimeneti mintasorozatban késleltetéssel jelenik meg.

A diszkrét rendszer impulzusátviteli függvényének párhuzamos felbontása és stabilitása

A W(z)=G(z)/H(z) impulzusátviteli függvényű, diszkrét SISO-tag u(k)=δ(k) egységimpulzusra adott y(k)=w(k) súlysorozat válasza – feltételezve, hogy H(z) minden z_pi gyöke egymástól különböző, és H(z) n fokszáma magasabb G(z) m fokszámánál (n>m) – a W(z) részlettörtre bontásával [10] egyszerűen számítható. Vegyük figyelembe, hogy az egységimpulzus Z-transzformáltja Z{δ(k)}=δ(z)=1, és ezért W(z)=Z{w(k)}.

A részlettörtre bontás eredményeként létrehozható W(z)-nek r_i/(z-z_pi) impulzusátviteli függvényű tagok párhuzamos kapcsolásából felépített hatásvázlat-struktúrája (2.a. ábra), amelyet tovább egyszerűsítve, az egyes r_i/(z-z_pi) komponensek diszkrét alaptagokból állíthatók elő (2.b. ábra).

2. ábra Az impulzusátviteli függvény párhuzamos felbontása

A párhuzamos felbontás alapján a DI-tag stabilitása igen szemléletesen érzékeltethető [11]. A stabilitás jelen esetben azt jelenti, hogy a bemeneten ható egyetlen δ(k)=1 egységminta (vagy egységnyi jelterületű Dirac-delta impulzus) hatására a kimeneten megjelenő y(k)=w(k) súlysorozattól elvárjuk, hogy k→∞ esetén w(k)→0 legyen (vagyis állandósult állapotban a diszkrét tag a zérus bemenőjelre zérus kimenőjellel válaszoljon). A hatásvázlat alapján is szemléletesen látható, hogy y(k)=w(k) kimeneti mintasorozat a párhuzamosan kapcsolt tagok x_i(k) részválaszainak összegéből tevődik össze, és a w(k)→0 feltétel betartásához minden részválasz mintasorozatnak is zérushoz kell tartania. Ez utóbbi kizárólag akkor teljesül, ha a H(z) nevező minden gyöke (a W_p(z)=G(z)/H(z) minden z_pi pólusa) a komplex számsík egységsugarú körének belsejében van (pl. k→∞ esetén az r(z_p)^k→0, ha |z_p|<1). A párhuzamos felbontás alapján – diszkrét állapotváltozóknak most is a shiftelő alaptagok x_i(k) kimenőjeleit tekintve – felírható a SISO-tag állapot-differenciaegyenletének egy másik alakja. A hatásvázlat alapján:

Vagy mátrix alakban:

Az A_d állapotmátrix – a W(z) párhuzamos felbontásának eredményeként – most főátlójában az egymástól különböző λ_di=z_pi sajátértékekkel [12] diagonális felépítésű. Az állapot-differenciaegyenletnek ez az alakja az első kanonikus alak[13]. Vegyük észre, hogy ebben az alakban az állapotváltozók egymástól szétcsatoltak, aminek lényege, hogy az x_i(k+1) kizárólag az x_i(k) állapotváltozótól és a bemenőjeltől függ:

x_i(k+1)=z_pi x_i(k)+r_iu(k),     i=1,2,…,n.

A diszkrét rendszer stabilitása a diagonális állapotmátrixának alapján is megfogalmazható és meggyőzően szemléltethető: stabilis az A_d állapotmátrixával leírt diszkrét rendszer, ha A_d minden sajátértékére

|λ_di|=|z_pi|<1. A diszkrét alaptagokból felépített hatásvázlat egy eleme a z^-1 impulzusátviteli függvényű dinamikus tag z_p átviteli tényezőjű, arányos tagon keresztül történő visszacsatolása. Ebben a struktúrában – attól függően, hogy a visszacsatolásban szereplő z_p átviteli tényezőnek milyen az előjele, és mekkora a számértéke – a bemeneten ható egyetlen δ(k) mintára a kimeneten különféle x(k) mintasorozatok keletkezhetnek. Ezek meghatározása most nagyon egyszerű, mivel a dinamikus tag egy egységnyi erősítésű, T_h=T_s holtidős tagnak is tekinthető [14] (3. ábra). A δ(k) egységimpulzus hatására megjelenő x(k) állapotváltozó mintasorozata egyszerű „fejszámolással” meghatározható.

3. ábra Impulzusválaszok shiftelőtag különféle visszacsatolása esetén

A diszkrét rendszer impulzusátviteli függvénye P, S, Σ diszkrét alaptagokkal történő leírásának az ad jelentőséget, hogy egyrészt az így kapott hatásvázlat-struktúrából a diszkrét rendszer állapot-differenciaegyenlete közvetlenül felírható, másrészt a rendszerdinamika belső viszonyai – különösen a párhuzamos felbontás alkalmazása mellett – szemléletesen áttekinthetők. Ha az A_d állapotmátrix pólusainak valamelyike konjugált komplex póluspárban van jelen, a két elsőrendű rendszert célszerűen egy másodrendű rendszerbe vonjuk össze. A tranziensek ekkor csillapodó (|z_pi|=|z_p(i+1)|<1) vagy csillapítatlan (|z_pi|=|z_p(i+1)|≥1) lengéseket tartalmaznak [15].

A diszkrét jelátvivő tagok alapstruktúrái

Két, matematikai modelljével leírt diszkrét SISO-tag – hasonlóan a folytonos tagok alapkapcsolásaihoz – egymással háromféle alapstruktúrában fordulhat elő. Ezek az alapstruktúrák a DI-tagok soros és párhuzamos kapcsolása, valamint a tagok egymáson keresztül történő pozitív vagy negatív visszacsatolása. Az eredő struktúrának a tulajdonságai (hasonlóan, mint a kapcsolásban részt vevő egyedi tagok mindegyikénél) a bemenő- és kimenőjelek (mintasorozatok) közötti függvénykapcsolatot definiáló rendszerjellemző függvényekkel írhatók le. Ennek az eredő függvénykapcsolatnak a meghatározására célszerűen az alapkapcsolásban részt vevő mindkét tagot a W₁(z)=G₁(z)/H₁(z) és W₂(z)=G₂(z)/H₂(z) impulzusátviteli függvényeikkel definiáljuk [16], és ezek ismeretében számítjuk a rendszer W_R(z) eredő impulzusátviteli függvényét. A kapcsolásban szereplő jelek mindegyike mintasorozat [17].

Soros kapcsolás

Két jelátvivő DI-tag soros kapcsolásakor az első tag y₁(k) kimenőjele működteti a második tagot, tehát az y₁(k) kimenőjel egyben a második tag bemenőjele is (4. ábra).

4. ábra DI-tagok soros kapcsolása

A soros kapcsolás W_R(z) eredő impulzusátviteli függvénye a két impulzusátviteli függvény W₁(z)W₂(z) szorzata, W_R(z)=G₁(z)G₂(z)/[H₁(z)H₂(z)]. A tagok egymáshoz képesti felcserélése az eredő tag jelátviteli tulajdonságait nem változtatja meg. A hibrid-szabályozás DI-modelljében a folyamat és a szabályozó alrendszerei soros kapcsolást alkotnak, és W₀(z)=W_c(z)W_p(z). A W_p(z)=G_p(z)/H_p(z) dinamikáját ennek z_pi pólusai (H_p(z)=0 gyökei) befolyásolják. Ha a W_c(z)=G_c(z)/H_c(z) z_zi zérusait (a G_c(z)=0 gyökeit) úgy választjuk meg, hogy ezek a folyamat z_pi pólusainak egy részét az eredő W₀(z) impulzusátviteli függvényből „kiejtsék”, akkor W₀(z) dinamikájára alapvető befolyást gyakorolhatunk (soros kompenzáció).

Párhuzamos kapcsolás

Két jelátvivő DI-tag párhuzamos kapcsolásakor mindkét tag bemenőjele ugyanaz az u(k) mintasorozat, az eredő kimenőjel pedig az egyes tagok y₁(k) és y₂(k) kimenő mintasorozatainak az összege (5. ábra).

5. ábra DI-tagok párhuzamos kapcsolása

A párhuzamos kapcsolás W_R(z) eredő impulzusátviteli függvénye a két impulzusátviteli függvény W₁(z)+W₂(z) összege, vagyis

W_R(z)=[G₁(z)H₂(z)+G₂(z)H₁(z)]/[H₁(z)H₂(z)].

A tagok egymáshoz képesti felcserélése az eredő tag jelátviteli tulajdonságait nem változtatja meg.

Visszacsatolás

Két DI-jelátvivő tag egymással visszacsatolt kapcsolást alkot, ha a W₁(z) impulzusátviteli függvényű visszacsatolt tag ε(k)=u(k)±v(k) bemenőjele a rendszer u(k) bemenőjelének és a W₂(z) impulzusátviteli függvényű visszacsatoló tag v(k) kimenőjelének az összege (pozitív visszacsatolás) vagy különbsége (negatív visszacsatolás). A kapcsolást a 6. ábra szemlélteti.

6. ábra DI-tagok visszacsatolást alkotó struktúrája

A visszacsatolás alapstruktúrája különleges jelentőségű. Ebben a struktúrában a jelek (a mintasorozatok) egy zárt hatásláncú (u→ε→y→v→ε) hurokban terjednek, aminek előnyös és hátrányos tulajdonságai is vannak. A zárthurkú jelterjedés – különösen a pozitív visszacsatolás mellett – stabilitási problémákhoz vezethet. Miután a hibrid szabályozási rendszer diszkrét modellje is a DI-tagok negatív visszacsatolásának elvére épül, ezért a

eredő impulzusátviteli függvény képletének meghatározó jelentősége van. A struktúra W₀(z)=W₁(z)W₂(z) impulzusátviteli függvénye a diszkrét hurokátviteli függvény. A tagok egymáshoz képesti felcserélése az eredő tag jelátviteli tulajdonságait megváltoztatja, kivéve akkor, ha a visszacsatolt és a visszacsatoló tag impulzusátviteli függvényei egymással azonosak.

    Ha a W₁(z)=G₁(z)/H₁(z), W₂(z)=G₂(z)/H₂(z) impulzusátviteli függvényű DI-tagok soros vagy párhuzamos kapcsolású struktúrában működnek, akkor az eredő rendszer karakterisztikus polinomja mindkét esetben H_R(z)=H₁(z)H₂(z). Ha mindkét tag aszimptotikusan stabilis (vagyis a H₁(z) és H₂(z) polinomok gyökei az egységsugarú körben vannak), az eredő DI-rendszer is megtartja ezt a tulajdonságát. Ha viszont a tagok valamelyike labilis, akkor az eredő rendszer is az. Nincs ez így a visszacsatolás esetében. Ekkor az eredő rendszer karakterisztikus polinomja

H_R(z)=H₁(z)H₂(z)±G₁(z)G₂(z),

és stabilis DI-tagok esetében is lehet az eredő rendszer labilis, vagy a labilis DI-tag megfelelő visszacsatolásával az eredő rendszer stabilizálható [18].

Példa

Az előzőekben vázolt alapstruktúrák alapján tetszőleges bonyolultságú lineáris diszkrét rendszer – köztük a lineáris DI-modellel leírt hibrid szabályozási rendszer mindkét alrendszere és az eredő negatívan visszacsatolt rendszer is – alaptagokat tartalmazó hatásvázlata építhető fel. Ennek birtokában az eredő rendszer állapot-differenciaegyenlete is meghatározható. A W(z) impulzusátviteli függvény közvetlen és párhuzamos felbontásainál az alapstruktúrákat hallgatólagosan már felhasználtuk.

Folytatjuk!

   Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.