Skip to main content

Szabályozástechnika 45

Megjelent: 2014. július 15.

Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 4

A lineáris, diszkrétidejű SISO-tag differenciaegyenletének megoldása Z-transzformációval. Az impulzusátviteli függvény fogalma

Az egybemenetű, egykimenetű diszkrét dinamikus rendszert jellemezzük az u(k) bemenő és y(k) kimenő mintasorozatokkal, valamint az ezek közötti kapcsolatot definiáló differenciaegyenlettel (1. ábra).

 

Béla Diszkrét 14  

1. ábra Lineáris diszkrét SISO-tag hatásvázlata

 

A vezető együtthatóra normalizált differenciaegyenlet (h0=1):

 

DBE 33

 

Zérus kezdeti feltételek mellett és m=n feltételezésével – figyelemmel a Z-transzformáció linearitási és eltolási tételére – képezve a differenciaegyenlet mindkét oldalának Z-transzformáltját, algebrai egyenletet kapunk (hi és gi valós együtthatók):

 

DBE 34

 

Ebből az y(k) kimenőjel Z-transzformáltja:

 

DBE 35 

A kifejezésben szereplő

 

DBE 36

 

algebrai tört a diszkrét jelátvivő tag impulzusátviteli függvénye [1]. A lineáris diszkrét rendszerek analízisében a W(z) impulzusátviteli függvénynek –a folytonos rendszerekben a W(s) átviteli függvényhez hasonlóan – meghatározó jelentősége van. A W(z) azt mutatja meg, hogy a DI-tag a belépő u(k) mintasorozatot milyen y(k) mintasorozattá alakítja át:

 

Z{y(k)}=y(z)=W(z)Z{u(k)}=W(z)u(z), y(k)=Z-1{W(z)u(z)}.

 

A W(z) nevezőjéből képzett n fokszámú H(z)=0 karakterisztikus egyenlet zpi gyökei (a W(z) impulzusátviteli függvény pólusai, amelyek azonosak a DI-tag Ad állapotmátrixának zpidi sajátértékeivel) határozzák meg a W(z) szingularitásait [2], és a diszkrét jelátvivő tag stabilis vagy labilis voltát. 

 

Az impulzusátviteli függvény definíciója:

 

Az egybemenetű, egykimenetű, lineáris diszkrétidejű SISO-tag W(z) impulzusátviteli függvénye az y(k) kimenő és az u(k) bemenő mintasorozatok Z-transzformáltjainak y(z)/u(z) hányadosa zérus kezdeti feltételek mellett. Vagy ezzel egyenértékűen: a diszkrétidejű SISO-tag impulzusátviteli függvénye a w(k) súlysorozatának Z-traszformáltja:

 

W(z)=y(z)/u(z)= Z{w(k)} 

 

Az y(k) kimenőjel mintasorozatát (W(z) és u(z) ismeretében) a Z-transzformáció konvolúciótétele alapján vagy az inverz Z-transzformációval számíthatjuk. Kauzális rendszer és belépő gerjesztés esetén:

 

DBE 37

 

Ebben az egyenletrendszerben w(k) a diszkrét dinamikus tag súlysorozata [3]. A W(z) impulzusátviteli függvény ismeretében a rendszer differenciaegyenlete is meghatározható. Ez azt jelenti, hogy a differenciaegyenlet és az impulzusátviteli függvény a DI-tag statikus és dinamikus tulajdonságait egymással egyenértékűen leíró különféle alakjai [4].

 

Példa

 

 DBE 38

 

Ez utóbbi kifejezés szemléletesen mutatja, hogy a differenciaegyenlet y(k) megoldása igen egyszerű (egyszerűbb, mint az FI-dinamikus tag differenciálegyenletének analitikus megoldása), mivel az u(k) gerjesztő mintasorozat a hi és gi együtthatók ismeretében egy rekurzív eljárással meghatározhatók:

 

y(0)=g0u(0),

y(1)=–h1y(0)+g0u(1)+g1u(0),

y(2)=–h1y(1)–h2y(0)+g0u(2)+g1u(1)+g2u(0) stb.

 

A DI-tag matematikai modelljének egy lehetséges alakja – amikor is a kimeneti mintasorozat aktuális értékét kizárólag a bemeneti mintasorozat mozgó átlaga befolyásolja –  ekkor: h1=h2=…=hn=0 és

 

DBE 39 

Az ilyen rendszert véges impulzusválaszúnak (FIR: Finite Impulse Response) nevezzük. Ekkor W(z) minden pólusa a z sík origójában (az egységsugarú kör belsejében) van, vagyis a FIR-típusú impulzusátviteli függvénnyel leírt rendszer bizonyosan aszimptotikusan stabilis. Súlysorozata, impulzusátviteli függvénye [5] és átmeneti mintasorozata:

 

w(k)={g0, g1, g2,…, gn, 0, 0, 0,…, 0,…}

DBE 40

 

Figyeljünk fel a FIR-típusú DI-tag v(k) átmeneti mintasorozatára, amely n számú, egymástól 0Ts, Ts, 2Ts, …, nTs diszkrét idővel eltolt egységmintasorozat g0, g1, g2, ..., gn tényezőkkel súlyozott összegéből (mozgóátlagából) áll. A véges impulzusválaszú rendszerek impulzusátviteli függvényei a véges beállású hibrid szabályozások tervezésekor kapnak jelentőséget. Ekkor a zárt körben a szabályozott jellemző y(k) mintasorozatát véges számú n lépésnek megfelelő nTs idő alatt a végértékére lehet beállítani.

 

A MIMO-tag állapot-differenciaegyenletének megoldása

Az impulzusátviteli mátrix

A j számú bemenőjellel, k számú kimenőjellel és n számú állapotváltozóval rendelkező n rendszámú diszkrétidejű rendszer (diszkrétidejű MIMO-tag) állapot-differenciaegyenletének általános alakja [6] ennek megfelelően:

 

DBE 41

 

Ennek az n számú elsőrendű differenciaegyenletből és k számú algebrai egyenletből álló egyenletrendszernek egy vektor-mátrix differenciaegyenletben és egy vektor-mátrix algebrai egyenletben felírt tömörített kifejezése az

 

 x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k)

    y(k)=Cdx(k)+Ddu(k)

 

diszkrét állapotegyenlet, amelyben u(k) a bemenőjel vektora (1), az y(k) a kimenőjel vektora (1) és x(k) az állapotvektor (1). Az x(k+1) az x(k) állapotvektor egy lépéssel siettetett vektora. Ezen oszlopvektorok mindegyikének komponensei mintasorozatok. Az illeszkedő paramétermátrixok: Ad (n×n) állapotmátrix, Bd (n×j) bemeneti mátrix, Cd (k×n) kimeneti mátrix, Dd (k×j) direkt mátrix. A diszkrét MIMO-rendszer állapot-differenciaegyenletéhez is hozzárendelhetők az állapotegyenletet absztraháló, különféle (egymással egyenértékű) hatásvázlatok, amelyeket a 2. ábra tartalmazza. A jelátvitel belső hatásmechanizmusát megjelenítő, az ok-okozati kapcsolatokat is szimbolizáló, a DI-rendszer algebrai és dinamikus MIMO-alaptagjai, valamint a shiftelő MIMO-tag visszacsatolását legrészletesebben ábrázoló hatásvázlat-struktúra a 2.c. ábrán látható. A 2.b. és c. ábrákon a jeleket (mintasorozatokat) szimbolizáló kettős vonalak a jelek vektor voltára utalnak. Miután a SISO-tag (j=1, k=1, n≥1) a MIMO-tag (j>1, k>1, n≥1) speciális esete, a MIMO-tagra vonatkozó megállapítások (a Bd, Cd, Dd paramétermátrixok és az u, x, y vektorok speciális méreteit is figyelembe véve) természetszerűen a SISO-tagra is érvényesek. A MIMO-tag legegyszerűbb speciális esete az elsőrendű SISO-rendszer (j=1, k=1, n=1). Ekkor a rendszernek egy állapotváltozója van és minden paramétermátrixa skaláris adat. Az állapotegyenlet ekkor (Ad=ad, Bd=bd, Cd=cd, Dd=dd):

 

x(k+1)=adx(k)+bdu(k)

   y(k)=cdx(k)+ddu(k).

 

Az elsőrendű SISO-rendszernek az ad jelentőséget, hogy egyrészt igen egyszerű az adott x(0) kezdeti értékre és u(k) gerjesztésre vonatkozó x(k), y(k) mintasorozatok meghatározása, másrészt a MIMO-tag x(k) állapotvektorának egy alkalmasan megválasztott xT(k)=Tx(k) koordináta-transzformációjával a MIMO-tag ilyen elsőrendű rendszerekre particionálható.

 

Béla Diszkrét 15

 2. ábra A diszkrétidejű, j bemenetű, k kimenetű, n rendszámú MIMO-tag különféle hatásvázlatai

 

A vektor alakban felírt állapot-differenciaegyenlet alapján építhető fel – a DI-jeleket és jelátvivő tagokat tartalmazó – 2.cábra szerinti hatásvázlat. Az u(k), x(k), x(k+1), y(k) jelek diszkrétidejű mintasorozatból álló oszlopvektorok, x(0) az x(k) mintasorozat-vektor kezdeti értéke. Az Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixokkal jelölt MIMO-alaptagok kimenőjelei késleltetés nélküli, arányos kapcsolatot jelölnek a közvetlen bemeneti és kimeneti mintasorozat vektorai között (P: proporcionális MIMO-alaptagok). A z-1 eltolási operátorral jelzett n számú diszkrét dinamikus alaptag azt jelöli, hogy az x(k) kimeneti mintasorozat-vektor az x(k+1) bemeneti mintasorozat-vektornak egy diszkrét lépésközzel (egy Ts mintavételezési idővel) késleltetett mintasorozat-vektora [7] (S: shiftelő – késleltető – MIMO-alaptag). A Σ-jelű összegző alaptag kimenetén az azonos méretű bemeneti mintasorozat-vektorok összegéből álló, eredő mintasorozat-vektor keletkezik. A hatásvázlatból látható, hogy a z-1 impulzusátviteli függvényű dinamikus alaptag az Ad diszkrét állapotmátrixszal van visszacsatolva (a shiftelő tag x(k+1) bemenőjel vektora az Adx(k) és Bdu(k) jelek összege). Ebből az is következik, hogy az Ad állapotmátrix a rendszer viselkedésében kitüntetett szerepet játszik [8]. Az S késleltető MIMO-alaptag Ad állapotmátrixon keresztül történő visszacsatolása azt jelenti, hogy az n számú késleltető tag bármelyik xi(k+1) bemenetére az összes állapotváltozó (közöttük a saját kimenőjele, az xi(k) állapotváltozó is) vissza van csatolva (lásd az állapotegyenlet alapján:

 

xi(k+1)=ai1x1(k)+…+ aiixi(k)+…+ainxn(k) ).

 

A diszkrétidejű MIMO-rendszer állapot-differenciaegyenlete és ennek Z-transzformáltja (figyelembe véve a transzformáció linearitási és eltolási tételeit):

 

DBE 42

DBE 43

 

Innen a z operátortartományban kapható megoldás egyszerű algebrai művelettel meghatározható:

 

DBE 44

 

Ha az x(k) állapotvektor kezdeti értéke x(0)=0, akkor:

 

DBE 45

 

W(z) most a MIMO-tag impulzusátviteli mátrixa. Részletezve:

 

DBE 46  


Az impulzusátviteli mátrix definíciója:

 

Több – j>1 számú – bemenetű, és több – k>1 számú – kimenetű, n-rendszámú, lineáris, diszkrét MIMO-rendszer (MIMO-tag) impulzusátviteli mátrixa az y(z)=W(z)u(z) kifejezéssel definiálható. Általános esetben mindegyik yi(zkimeneti mintasorozat (kimenőjel) – a Wij(z) impulzusátviteli függvényeken keresztül – mindegyik ui(z) bemeneti mintasorozattól (bemenőjeltől) függ. Mátrix alakban felírva:

 

DBE 47 korr

 

A W(z) impulzusátviteli mátrixnak k×j számú impulzusátviteli függvényeleme van [9]. Ezek mindegyike a z változó olyan algebrai törje, amelyben a nevező minden esetben ugyanaz a H(z)=det(zI-Ad) karakterisztikus polinom. Ennek n fokszáma azonos a rendszer diszkrét állapotváltozóinak n számával. Például az átviteli mátrix Wi2(z) impulzusátviteli függvény eleme azt mutatja meg, hogy az i sorszámú yi(z) kimeneti mintasorozatra Wi2(z)u2(z) befolyást gyakorol a 2 sorszámú u2(z) bemeneti mintasorozat.

    A diszkrét rendszer állapot differenciaegyenletének megoldása a diszkrét időtartományában most is az analitikus megoldóképlet, a konvolúciótétel vagy az inverz Z-transzformáció alapján számítható. Ez utóbbi esetben:

 

DBE 48

 

Ebben Ad a diszkrét rendszer állapotmátrixa, Φd(k)=Adk a rendszer alapmátrixa, illetve a Φd(z)=(zI-Ad)-1z a Φd(k) alapmátrix Z-transzformáltja. Az x(k) megoldás xs(k) összetevője a rendszer sajátmozgása, az xg(k) összetevő pedig a gerjesztett mozgás.

 

Megjegyzés

Ismételten hangsúlyozzuk, hogy amennyiben a diszkrét modell egy folytonos modell SRE-típusú diszkretizálásából származik (matematikai mintavételezés, zérusrendű tartás, Ts mintavételezési idő esetén), akkor a diszkrét rendszer Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixait a folytonos rendszer A, B, C, D paramétermátrixaival kifejezve:

 

Ad =exp(ATs),    Bd =A1[exp(ATs)-I]B,     Cd=C,      Dd=D.

 

Ilyenkor az Ad és Bd mátrixok minden eleme a Ts mintavételezési időnek is a függvénye [10].

 

Folytatjuk!

 

   Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

 

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. 

 



[1] Az n rendű lineáris differenciaegyenlet hi és gi együtthatóinak ismeretében a tag W(z) impulzusátviteli függvénye közvetlenül felírható. Ez megfordítva is alkalmazható: a W(z)=G(z)/H(z)=y(z)/u(z) impulzusátviteli függvényből – a H(z)y(z)=G(z)u(z) alakra történő átalakítással – a diszkrét tag differenciaegyenlete adható meg. A W(z) algebrai törtnek a z és a z-1 változókban felírt alakja egyaránt használatos.

[2] A H(z)=0 karakterisztikus egyenlet zpi gyökei által meghatározott szinguláris helyeken W(zpi)=∞.

[3] Súlysorozat: a diszkrét tag u(k)(k) egységimpulzusra adott y(k)=w(k) mintasorozat válasza zérus kezdeti feltételek mellett. Ennek megfelelően: y(z)=w(z)=W(z)δ(z)=W(z), mert Z{δ(k)}=δ(z)=1. Ezért w(k)=Z-1{W(z)}, illetve W(z)=Z{w(k)}.

[4] Ez akkor van így, ha a DI-rendszer állapotváltozói irányíthatók és megfigyelhetők (lásd az irányíthatóság és megfigyelhetőség témáival foglalkozó később ismertetett anyagrészeket).

[5] FIR-tag súlysorozatának mintái az n lépést követően zérussá válnak, az átmenti mintasorozatának mintái az n lépést követően G(1)=g1+g2+…+gn állandó mintaértékeket vesznek fel. Figyeljük meg, hogy a FIR-tag

W(z)=Z{w(k)} és W(z)z/(z-1)=Z{v(k)} kifejezéseiből a w(k) impulzusválasz és a v(k) súlysorozat közvetlenül kiolvasható.

[6] A diszkrét MIMO-tag állapotdifferencia-egyenletének általános alakja abban különbözik a diszkrét SISO-tag állapot-differenciaegyenletétől, hogy a MIMO-tag esetében a Bd bemeneti-, Cd kimeneti- és Dd direkt illeszkedő mátrixok méretei rendre n×j, k×n, és k×j értékek.

[7] Ez a tag lényegében egy exp(-sTh) átviteli függvényű, holtidős MIMO-tagnak is tekinthető, amelynek bemenetén az x[(k+1)Ts] mintasorozat-vektor van jelen, és a holtidő a mintavételezési idővel azonos: Th=Ts. Ennek megfelelően a shiftelő tag kimeneti jele az x[(k+1)Ts] bemeneti mintasorozat-vektornak egy lépésközzel (egy Ts mintavételezési idővel) késleltetett x(kTs) mintasorozat- vektora hhh=T. Ennek az x(kTs) kimeneti mintasorozat-vektornak az Ad-szerese egyben az x[(k+1)Ts] vektor egyik összetevője (lásd a rendszer állapotegyenletét).

[8] A diszkrétidejű rendszert jellemző hatásvázlat hasonlít a folytonosidejű rendszer állapotegyenletét absztraháló hatásvázlathoz. A lényegbeli különbségek: a diszkrét állapotegyenletet leíró hatásvázlaton az FI-jelek helyett DI-jelek (mintasorozatok), az integráló alaptag helyett shiftelő (Th=Ts holtidős) alaptag szerepel. Az FI-rendszer dinamikus tulajdonságait, stabilitását az integrátor visszacsatolásában szereplő A állapotmátrix λi sajátértékei, a DI-rendszer dinamikus tulajdonságát, stabilitását a shiftelő tag visszacsatolásában szereplő Ad állapotmátrix λdi sajátértékei befolyásolják. Az FI-rendszer stabilis, ha A minden sajátértékére real(λi)<0, ezzel szemben a DI-rendszer akkor stabilis, ha Ad minden sajátértékére abs(λdi)<1. (k a diszkrét idő sorszámát és a MIMO-tag esetében az y(k) kimenő mintasorozat oszlopvektorának méretét is jelöli).

[9] k most nem a diszkrét idő sorszámát, hanem a kimenő mintasorozatok számát jelenti. A W(z) impulzusátviteli mátrix j>1, k>1 miatt a kimenőjel és a bemenőjel mintasorozatainak Z-transzformált hányadosaként nem definiálható, de az y(z)=W(z)u(z) mátrixművelet értelmezhető.

[10] A j=1, k=1, n=1 választás a legegyszerűbb alapeset, amikor is a rendszer elsőrendű SISO-tag. Ekkor minden u, x, y jel és  paramétermátrix skaláris [A=a=λ, B=b, C=c, D=d → Ad =ad=exp(aTs)d,

Bd=bd=a-1(exp(aTs-1)b, Cd=cd=c, Dd=dd=d, és

x(z)=zx(0)/(z-ad)+bdu(z)/(z-ad)]. A j>1 esetben minden bemeneti mintasorozat zérusrendű tartón keresztül fejti ki hatását az állapotváltozókra és a kimenőjelekre.