Szabályozástechnika 45
Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 4
A lineáris, diszkrétidejű SISO-tag differenciaegyenletének megoldása Z-transzformációval. Az impulzusátviteli függvény fogalma
Az egybemenetű, egykimenetű diszkrét dinamikus rendszert jellemezzük az u(k) bemenő és y(k) kimenő mintasorozatokkal, valamint az ezek közötti kapcsolatot definiáló differenciaegyenlettel (1. ábra).
.
1. ábra Lineáris diszkrét SISO-tag hatásvázlata
A vezető együtthatóra normalizált differenciaegyenlet (h0=1):
Zérus kezdeti feltételek mellett és m=n feltételezésével – figyelemmel a Z-transzformáció linearitási és eltolási tételére – képezve a differenciaegyenlet mindkét oldalának Z-transzformáltját, algebrai egyenletet kapunk (hi és gi valós együtthatók):
Ebből az y(k) kimenőjel Z-transzformáltja:
A kifejezésben szereplő
algebrai tört a diszkrét jelátvivő tag impulzusátviteli függvénye [1]. A lineáris diszkrét rendszerek analízisében a W(z) impulzusátviteli függvénynek –a folytonos rendszerekben a W(s) átviteli függvényhez hasonlóan – meghatározó jelentősége van. A W(z) azt mutatja meg, hogy a DI-tag a belépő u(k) mintasorozatot milyen y(k) mintasorozattá alakítja át:
Z{y(k)}=y(z)=W(z)Z{u(k)}=W(z)u(z), y(k)=Z-1{W(z)u(z)}.
A W(z) nevezőjéből képzett n fokszámú H(z)=0 karakterisztikus egyenlet zpi gyökei (a W(z) impulzusátviteli függvény pólusai, amelyek azonosak a DI-tag Ad állapotmátrixának zpi=λdi sajátértékeivel) határozzák meg a W(z) szingularitásait [2], és a diszkrét jelátvivő tag stabilis vagy labilis voltát.
Az impulzusátviteli függvény definíciója:
Az egybemenetű, egykimenetű, lineáris diszkrétidejű SISO-tag W(z) impulzusátviteli függvénye az y(k) kimenő és az u(k) bemenő mintasorozatok Z-transzformáltjainak y(z)/u(z) hányadosa zérus kezdeti feltételek mellett. Vagy ezzel egyenértékűen: a diszkrétidejű SISO-tag impulzusátviteli függvénye a w(k) súlysorozatának Z-traszformáltja:
W(z)=y(z)/u(z)= Z{w(k)}
Az y(k) kimenőjel mintasorozatát (W(z) és u(z) ismeretében) a Z-transzformáció konvolúciótétele alapján vagy az inverz Z-transzformációval számíthatjuk. Kauzális rendszer és belépő gerjesztés esetén:
Ebben az egyenletrendszerben w(k) a diszkrét dinamikus tag súlysorozata [3]. A W(z) impulzusátviteli függvény ismeretében a rendszer differenciaegyenlete is meghatározható. Ez azt jelenti, hogy a differenciaegyenlet és az impulzusátviteli függvény a DI-tag statikus és dinamikus tulajdonságait egymással egyenértékűen leíró különféle alakjai [4].
Példa
Ez utóbbi kifejezés szemléletesen mutatja, hogy a differenciaegyenlet y(k) megoldása igen egyszerű (egyszerűbb, mint az FI-dinamikus tag differenciálegyenletének analitikus megoldása), mivel az u(k) gerjesztő mintasorozat a hi és gi együtthatók ismeretében egy rekurzív eljárással meghatározhatók:
y(0)=g0u(0),
y(1)=–h1y(0)+g0u(1)+g1u(0),
y(2)=–h1y(1)–h2y(0)+g0u(2)+g1u(1)+g2u(0) stb.
A DI-tag matematikai modelljének egy lehetséges alakja – amikor is a kimeneti mintasorozat aktuális értékét kizárólag a bemeneti mintasorozat mozgó átlaga befolyásolja – ekkor: h1=h2=…=hn=0 és
Az ilyen rendszert véges impulzusválaszúnak (FIR: Finite Impulse Response) nevezzük. Ekkor W(z) minden pólusa a z sík origójában (az egységsugarú kör belsejében) van, vagyis a FIR-típusú impulzusátviteli függvénnyel leírt rendszer bizonyosan aszimptotikusan stabilis. Súlysorozata, impulzusátviteli függvénye [5] és átmeneti mintasorozata:
w(k)={g0, g1, g2,…, gn, 0, 0, 0,…, 0,…}
Figyeljünk fel a FIR-típusú DI-tag v(k) átmeneti mintasorozatára, amely n számú, egymástól 0Ts, Ts, 2Ts, …, nTs diszkrét idővel eltolt egységmintasorozat g0, g1, g2, ..., gn tényezőkkel súlyozott összegéből (mozgóátlagából) áll. A véges impulzusválaszú rendszerek impulzusátviteli függvényei a véges beállású hibrid szabályozások tervezésekor kapnak jelentőséget. Ekkor a zárt körben a szabályozott jellemző y(k) mintasorozatát véges számú n lépésnek megfelelő nTs idő alatt a végértékére lehet beállítani.
A MIMO-tag állapot-differenciaegyenletének megoldása
Az impulzusátviteli mátrix
A j számú bemenőjellel, k számú kimenőjellel és n számú állapotváltozóval rendelkező n rendszámú diszkrétidejű rendszer (diszkrétidejű MIMO-tag) állapot-differenciaegyenletének általános alakja [6] ennek megfelelően:
Ennek az n számú elsőrendű differenciaegyenletből és k számú algebrai egyenletből álló egyenletrendszernek egy vektor-mátrix differenciaegyenletben és egy vektor-mátrix algebrai egyenletben felírt tömörített kifejezése az
x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k)
y(k)=Cdx(k)+Ddu(k)
diszkrét állapotegyenlet, amelyben u(k) a bemenőjel vektora (j×1), az y(k) a kimenőjel vektora (k×1) és x(k) az állapotvektor (n×1). Az x(k+1) az x(k) állapotvektor egy lépéssel siettetett vektora. Ezen oszlopvektorok mindegyikének komponensei mintasorozatok. Az illeszkedő paramétermátrixok: Ad (n×n) állapotmátrix, Bd (n×j) bemeneti mátrix, Cd (k×n) kimeneti mátrix, Dd (k×j) direkt mátrix. A diszkrét MIMO-rendszer állapot-differenciaegyenletéhez is hozzárendelhetők az állapotegyenletet absztraháló, különféle (egymással egyenértékű) hatásvázlatok, amelyeket a 2. ábra tartalmazza. A jelátvitel belső hatásmechanizmusát megjelenítő, az ok-okozati kapcsolatokat is szimbolizáló, a DI-rendszer algebrai és dinamikus MIMO-alaptagjai, valamint a shiftelő MIMO-tag visszacsatolását legrészletesebben ábrázoló hatásvázlat-struktúra a 2.c. ábrán látható. A 2.b. és c. ábrákon a jeleket (mintasorozatokat) szimbolizáló kettős vonalak a jelek vektor voltára utalnak. Miután a SISO-tag (j=1, k=1, n≥1) a MIMO-tag (j>1, k>1, n≥1) speciális esete, a MIMO-tagra vonatkozó megállapítások (a Bd, Cd, Dd paramétermátrixok és az u, x, y vektorok speciális méreteit is figyelembe véve) természetszerűen a SISO-tagra is érvényesek. A MIMO-tag legegyszerűbb speciális esete az elsőrendű SISO-rendszer (j=1, k=1, n=1). Ekkor a rendszernek egy állapotváltozója van és minden paramétermátrixa skaláris adat. Az állapotegyenlet ekkor (Ad=ad, Bd=bd, Cd=cd, Dd=dd):
x(k+1)=adx(k)+bdu(k)
y(k)=cdx(k)+ddu(k).
Az elsőrendű SISO-rendszernek az ad jelentőséget, hogy egyrészt igen egyszerű az adott x(0) kezdeti értékre és u(k) gerjesztésre vonatkozó x(k), y(k) mintasorozatok meghatározása, másrészt a MIMO-tag x(k) állapotvektorának egy alkalmasan megválasztott xT(k)=Tx(k) koordináta-transzformációjával a MIMO-tag ilyen elsőrendű rendszerekre particionálható.
2. ábra A diszkrétidejű, j bemenetű, k kimenetű, n rendszámú MIMO-tag különféle hatásvázlatai
A vektor alakban felírt állapot-differenciaegyenlet alapján építhető fel – a DI-jeleket és jelátvivő tagokat tartalmazó – 2.c. ábra szerinti hatásvázlat. Az u(k), x(k), x(k+1), y(k) jelek diszkrétidejű mintasorozatból álló oszlopvektorok, x(0) az x(k) mintasorozat-vektor kezdeti értéke. Az Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixokkal jelölt MIMO-alaptagok kimenőjelei késleltetés nélküli, arányos kapcsolatot jelölnek a közvetlen bemeneti és kimeneti mintasorozat vektorai között (P: proporcionális MIMO-alaptagok). A z-1 eltolási operátorral jelzett n számú diszkrét dinamikus alaptag azt jelöli, hogy az x(k) kimeneti mintasorozat-vektor az x(k+1) bemeneti mintasorozat-vektornak egy diszkrét lépésközzel (egy Ts mintavételezési idővel) késleltetett mintasorozat-vektora [7] (S: shiftelő – késleltető – MIMO-alaptag). A Σ-jelű összegző alaptag kimenetén az azonos méretű bemeneti mintasorozat-vektorok összegéből álló, eredő mintasorozat-vektor keletkezik. A hatásvázlatból látható, hogy a z-1 impulzusátviteli függvényű dinamikus alaptag az Ad diszkrét állapotmátrixszal van visszacsatolva (a shiftelő tag x(k+1) bemenőjel vektora az Adx(k) és Bdu(k) jelek összege). Ebből az is következik, hogy az Ad állapotmátrix a rendszer viselkedésében kitüntetett szerepet játszik [8]. Az S késleltető MIMO-alaptag Ad állapotmátrixon keresztül történő visszacsatolása azt jelenti, hogy az n számú késleltető tag bármelyik xi(k+1) bemenetére az összes állapotváltozó (közöttük a saját kimenőjele, az xi(k) állapotváltozó is) vissza van csatolva (lásd az állapotegyenlet alapján:
xi(k+1)=ai1x1(k)+…+ aiixi(k)+…+ainxn(k) ).
A diszkrétidejű MIMO-rendszer állapot-differenciaegyenlete és ennek Z-transzformáltja (figyelembe véve a transzformáció linearitási és eltolási tételeit):
Innen a z operátortartományban kapható megoldás egyszerű algebrai művelettel meghatározható:
Ha az x(k) állapotvektor kezdeti értéke x(0)=0, akkor:
W(z) most a MIMO-tag impulzusátviteli mátrixa. Részletezve:
Az impulzusátviteli mátrix definíciója:
Több – j>1 számú – bemenetű, és több – k>1 számú – kimenetű, n-rendszámú, lineáris, diszkrét MIMO-rendszer (MIMO-tag) impulzusátviteli mátrixa az y(z)=W(z)u(z) kifejezéssel definiálható. Általános esetben mindegyik yi(z) kimeneti mintasorozat (kimenőjel) – a Wij(z) impulzusátviteli függvényeken keresztül – mindegyik ui(z) bemeneti mintasorozattól (bemenőjeltől) függ. Mátrix alakban felírva:
A W(z) impulzusátviteli mátrixnak k×j számú impulzusátviteli függvényeleme van [9]. Ezek mindegyike a z változó olyan algebrai törje, amelyben a nevező minden esetben ugyanaz a H(z)=det(zI-Ad) karakterisztikus polinom. Ennek n fokszáma azonos a rendszer diszkrét állapotváltozóinak n számával. Például az átviteli mátrix Wi2(z) impulzusátviteli függvény eleme azt mutatja meg, hogy az i sorszámú yi(z) kimeneti mintasorozatra Wi2(z)u2(z) befolyást gyakorol a 2 sorszámú u2(z) bemeneti mintasorozat.
A diszkrét rendszer állapot differenciaegyenletének megoldása a diszkrét időtartományában most is az analitikus megoldóképlet, a konvolúciótétel vagy az inverz Z-transzformáció alapján számítható. Ez utóbbi esetben:
Ebben Ad a diszkrét rendszer állapotmátrixa, Φd(k)=Adk a rendszer alapmátrixa, illetve a Φd(z)=(zI-Ad)-1z a Φd(k) alapmátrix Z-transzformáltja. Az x(k) megoldás xs(k) összetevője a rendszer sajátmozgása, az xg(k) összetevő pedig a gerjesztett mozgás.
Megjegyzés
Ismételten hangsúlyozzuk, hogy amennyiben a diszkrét modell egy folytonos modell SRE-típusú diszkretizálásából származik (matematikai mintavételezés, zérusrendű tartás, Ts mintavételezési idő esetén), akkor a diszkrét rendszer Ad, Bd, Cd, Dd paramétermátrixait a folytonos rendszer A, B, C, D paramétermátrixaival kifejezve:
Ad =exp(ATs), Bd =A–1[exp(ATs)-I]B, Cd=C, Dd=D.
Ilyenkor az Ad és Bd mátrixok minden eleme a Ts mintavételezési időnek is a függvénye [10].
Folytatjuk!
Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné
[1] Az n rendű lineáris differenciaegyenlet hi és gi együtthatóinak ismeretében a tag W(z) impulzusátviteli függvénye közvetlenül felírható. Ez megfordítva is alkalmazható: a W(z)=G(z)/H(z)=y(z)/u(z) impulzusátviteli függvényből – a H(z)y(z)=G(z)u(z) alakra történő átalakítással – a diszkrét tag differenciaegyenlete adható meg. A W(z) algebrai törtnek a z és a z-1 változókban felírt alakja egyaránt használatos.
[2] A H(z)=0 karakterisztikus egyenlet zpi gyökei által meghatározott szinguláris helyeken W(zpi)=∞.
[3] Súlysorozat: a diszkrét tag u(k)=δ(k) egységimpulzusra adott y(k)=w(k) mintasorozat válasza zérus kezdeti feltételek mellett. Ennek megfelelően: y(z)=w(z)=W(z)δ(z)=W(z), mert Z{δ(k)}=δ(z)=1. Ezért w(k)=Z-1{W(z)}, illetve W(z)=Z{w(k)}.
[4] Ez akkor van így, ha a DI-rendszer állapotváltozói irányíthatók és megfigyelhetők (lásd az irányíthatóság és megfigyelhetőség témáival foglalkozó később ismertetett anyagrészeket).
[5] FIR-tag súlysorozatának mintái az n lépést követően zérussá válnak, az átmenti mintasorozatának mintái az n lépést követően G(1)=g1+g2+…+gn állandó mintaértékeket vesznek fel. Figyeljük meg, hogy a FIR-tag
W(z)=Z{w(k)} és W(z)z/(z-1)=Z{v(k)} kifejezéseiből a w(k) impulzusválasz és a v(k) súlysorozat közvetlenül kiolvasható.
[6] A diszkrét MIMO-tag állapotdifferencia-egyenletének általános alakja abban különbözik a diszkrét SISO-tag állapot-differenciaegyenletétől, hogy a MIMO-tag esetében a Bd bemeneti-, Cd kimeneti- és Dd direkt illeszkedő mátrixok méretei rendre n×j, k×n, és k×j értékek.
[7] Ez a tag lényegében egy exp(-sTh) átviteli függvényű, holtidős MIMO-tagnak is tekinthető, amelynek bemenetén az x[(k+1)Ts] mintasorozat-vektor van jelen, és a holtidő a mintavételezési idővel azonos: Th=Ts. Ennek megfelelően a shiftelő tag kimeneti jele az x[(k+1)Ts] bemeneti mintasorozat-vektornak egy lépésközzel (egy Ts mintavételezési idővel) késleltetett x(kTs) mintasorozat- vektora hhh=T. Ennek az x(kTs) kimeneti mintasorozat-vektornak az Ad-szerese egyben az x[(k+1)Ts] vektor egyik összetevője (lásd a rendszer állapotegyenletét).
[8] A diszkrétidejű rendszert jellemző hatásvázlat hasonlít a folytonosidejű rendszer állapotegyenletét absztraháló hatásvázlathoz. A lényegbeli különbségek: a diszkrét állapotegyenletet leíró hatásvázlaton az FI-jelek helyett DI-jelek (mintasorozatok), az integráló alaptag helyett shiftelő (Th=Ts holtidős) alaptag szerepel. Az FI-rendszer dinamikus tulajdonságait, stabilitását az integrátor visszacsatolásában szereplő A állapotmátrix λi sajátértékei, a DI-rendszer dinamikus tulajdonságát, stabilitását a shiftelő tag visszacsatolásában szereplő Ad állapotmátrix λdi sajátértékei befolyásolják. Az FI-rendszer stabilis, ha A minden sajátértékére real(λi)<0, ezzel szemben a DI-rendszer akkor stabilis, ha Ad minden sajátértékére abs(λdi)<1. (k a diszkrét idő sorszámát és a MIMO-tag esetében az y(k) kimenő mintasorozat oszlopvektorának méretét is jelöli).
[9] k most nem a diszkrét idő sorszámát, hanem a kimenő mintasorozatok számát jelenti. A W(z) impulzusátviteli mátrix j>1, k>1 miatt a kimenőjel és a bemenőjel mintasorozatainak Z-transzformált hányadosaként nem definiálható, de az y(z)=W(z)u(z) mátrixművelet értelmezhető.
[10] A j=1, k=1, n=1 választás a legegyszerűbb alapeset, amikor is a rendszer elsőrendű SISO-tag. Ekkor minden u, x, y jel és paramétermátrix skaláris [A=a=λ, B=b, C=c, D=d → Ad =ad=exp(aTs)=λd,
Bd=bd=a-1(exp(aTs-1)b, Cd=cd=c, Dd=dd=d, és
x(z)=zx(0)/(z-ad)+bdu(z)/(z-ad)]. A j>1 esetben minden bemeneti mintasorozat zérusrendű tartón keresztül fejti ki hatását az állapotváltozókra és a kimenőjelekre.
