Szabályozástechnika 44

Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 3

A Z-transzformáció jelentősége a diszkrétidejű, dinamikus rendszerek analízisében

A Z-transzformáció a DI-rendszerek analízisében és szintézisében hasonló jelentőséggel bír, mint a Laplace-transzformáció az FI-rendszerek esetében. A transzformáció belépő számsorozatokra vagy olyan belépő Dirac-deltákat tartalmazó függvénysorozatokra alkalmazható, amelyben a Dirac-impulzusok jelterületeinek mérőszámai képviselik a számsorozat számértékeit. A különféle jelterületű Dirac-impulzusokat tartalmazó függvénysorozatra alkalmazott Laplace-transzformációt diszkrét Laplace-transzformációnak nevezik.

    Az FI-rendszerekben a szabályozási algoritmust a szabályozó

W_c(s)=u(s)/h(s) átviteli függvénye (differenciálegyenletének egy „más alakja”) jelenítette meg, és W_c(s) rendszertechnikai meghatározását követnie kellett egy szerkezeti–áramköri méretezési eljárásnak is. DI-rendszerekben a szabályozási algoritmust a szabályozó W_c(z)=u(z)/h(z) impulzusátviteli függvénye (differenciaegyenletének egy „más alakja”) képviseli, és ez most az irányítójel meghatározásának egy olyan rekurzív eljárásához vezet, ami az univerzális kialakítású digitális folyamatirányító számítógépre közvetlenül programozható. Miután az impulzusátviteli függvény a Z-transzformáció alkalmazása alapján származtatható, ezért ennek megismerése és az analízisben, illetve a szintézisben történő felhasználása alapvető jelentőségű. A Z-transzformáció alkalmazásának meghatározó sajátossága, hogy a lineáris diszkrét dinamikus rendszereknek a diszkrét idő tartományában differenciaegyenletekkel adott matematikai modelljét, a z komplex operátortartományában algebrai egyenletekké lehet egyszerűsíteni, és ezért a DI-szabályozási rendszerek leírásában és analízisében alapvető jelentőségű.

A Z-transzformáció definíciója

A Z-transzformáció egy f(kT_s)={f(0), f(T_s), f(2T_s), …, f(kT_s), …} belépő (f(kT_s)=0, ha k<0) mintasorozathoz (számsorozathoz) az F(z) operátorfüggvényt [1] rendeli, illetve a f(kT_s) mintasorozatot az F(z) komplexváltozós függvényre képezi le. A Z-transzformáció (a leképzés képfüggvényét meghatározó) definíciós egyenlete a

alakban felírható végtelen hatványsor. A leképzésnek az ad értelmet, hogy egyrészt a diszkrét elemekből álló

f(kT_s)={f(0), f(T_s), f(2T_s), …, f(kT_s), …}

mintasorozathoz egy polinomok hányadosaként előálló F(z)=Z{f(kT_s)}=G(z)/H(z) operátorfüggvényt rendel, másrészt a diszkrét állapotdifferencia-egyenletet a z komplex operátortartományban algebrai egyenletté alakítja át.

A Laplace- és a Z-transzformáció fenti definíciós kifejezéseiből láthatjuk, hogy az adott f(t), illetve f(kT_s) tárgyfüggvényekhez rendelt F(s) és F(z) funkcionálok a t időváltozó helyett az s, illetve a k diszkrét idő helyett a z operátorokat szerepeltetik a képfüggvényekben. Fontos megjegyeznünk, hogy az F(s), illetve az F(z) kifejezésekben nem az s, illetve z komplexváltozók megcseréléséről van szó.

Példa

Az f(t)=1(t) folytonosidejű belépő egységugrás jel, és legyen f(kT_s)=1(kT_s) az ebből T_s mintavételezési idővel származtatott diszkrétidejű mintasorozat, amit számsorozatnak vagy egységnyi jelterületű Dirac-delta impulzusokból álló függvénysorozatnak is tekinthetünk (1. ábra).

1. ábra Az egységminta-sorozat értelmezése

Az f(kT_s) mintasorozat leírása elemeinek felsorolásával:

f(kT_s)={1, 1, 1, …, 1, …}.

Ennek Z-transzformáltja a definíciós kifejezés szerint:

A Z{f(kT_s)}=Z{1(kT_s)} olyan végtelen számú elemet tartalmazó mértani sor összege, amelynek kvóciense z^–1. Ha ennek értéke az egységnél kisebb (vagyis z az egységnél nagyobb), a mértani sor konvergens, és az összegképlet alapján F(z) (a mértani sor összege) zárt alakban is megadható. Fontos észrevennünk, hogy az f(kT_s) mintasorozat a f(t)=1(t) folytonos időfüggvényen kívül olyan további időfüggvényekből is származtatható, amelyeknek a kT_s mintavételezési időpontokban felvett értéke f(kT_s)=1. Ha például f(t)=cos(ωt), és T_s=2π/ω, akkor

f(kT_s)={cos(0π), cos(2π), cos(4π), … , cos(2kπ), …}={1, 1, 1, …, 1, … },

ami szintén az egységminta-sorozat, és ezért Z{f(kT_s)}=Z{cos(2kπ)} most is

F(z)=z/(z-1) stb. 

    Néhány – a szabályozási rendszerek analízisében gyakran előforduló – fontosabb belépő mintasorozat Z-transzformáltját táblázatos formában adjuk meg (1. táblázat). A Z-transzformációs táblázat mellett feltüntettünk egy olyan folytonos f(t) időfüggvényekből álló Laplace-transzformációs táblázatot is, amelyből a megfelelő mintasorozatok származtathatók. Egy adott f(kT_s) mintasorozat elvileg végtelenül sok folytonos f(t) függvényből előállítható [2]. A táblázatban ezen belépő f(t) függvényeknek (és ezek F(s) Laplace-transzformáltjaiknak) egyikét szerepeltettük. Figyeljük meg, hogy a Z-transzformációs táblázatban szereplő különféle f(kT_s) mintasorozatok Z{f(kT_s)}=F(z) Z-transzformáltjai zárt képletben megadhatók, és ezek mindegyike a z komplexváltozó olyan algebrai törtjei, amelyben a nevező polinomja a számláló polinomjánál magasabb (vagy legfeljebb azzal azonos) fokszámú. Az is figyelemreméltó, hogy a T_h holtidővel eltolt f(t-T_h) folytonosidejű időfüggvény F(s) Laplace-transzformáltja exp(-sT_h) transzcendens tényezőt is tartalmaz [3], ezzel szemben az mT_s diszkrét idővel késleltetett, diszkrétidejű mintasorozat F(z) Z-transzformáltja algebrai tört marad (m egész). A Laplace- és Z-transzformációk elméletével számos munka foglalkozik, ezek általában táblázatos formában is megadják az L{f(t)}=F(s) és Z{f(kT_s)}=F(z) összerendeléseket[4]. Az F(s)-, illetve az F(z)-funkcionálok zárt képletben történő felírása komplikált eljáráshoz vezethet.

Példa:

 1. táblázat 

Mintavételezés leírása impulzusmodulációval

Matematikai mintavételezés

Az f(t) folytonosidejű belépőjel, valamint a δ*(t)=∑δ(t-kT_s) Dirac-delta impulzusokból álló impulzussorozatnak (a „vivő”-jelnek) modulációjával – az f(t) és δ*(t) szorzatának képzésével – állítható elő az

f*(t)=f(t)δ*(t)=f(t)∑δ(t-kT_s)=∑f(kT_s)δ(t-kT_s)

modulált jel, az f(kT_s) jelterületű  Dirac-delta függvényekből álló f*(t) függvénysorozat (matematikai mintavételezés). A kT_s idővel eltolt δ(t-kT_s) Dirac-delta impulzust mintavevő impulzusnak is nevezik, mivel a f(t) jellel való f(t)δ(t-kT_s) szorzata f(kT_s) jelterületű Dirac-delta impulzust eredményez, vagyis  f(t)δ(t-kT_s)=f(kT_s)δ(t-kT_s). A szorzó modulátort és ennek kimenő- és bemenőjeleit a 2. ábrán szemléltetjük [5].

 2. ábra A matematikai mintavételezés szemléltetése

A szorzómodulátor (vagy a matematikai mintavételezést szimbolizáló mintavételező kapcsoló) kimenetén keletkezett f(kT_s) jelterületű Dirac-impulzusok f*(t) függvénysorozatát az f(t) jel matematikai mintavételezésének definiáljuk. A modulált f*(t) függvénysorozatnak a Laplace-transzformáltja ennek alapján értelmezhető. Részletezve:

A z=exp(sT_s), s=ln(z)/T_s jelöléssel:

Ezekből

Mindezekből következik, hogy az f(kT_s) mintasorozat Z-transzformáltja a diszkrét f*(t) függvénysorozat Laplace-transzformáltjának is tekinthető:

L{f*(t)}=Z{f(kT_s)} (impulzusinvariancia-elv).

A z=exp(sT_s) megfeleltetés a DI-tag frekvenciafüggvényének meghatározásakor kap jelentős szerepet. (Az f*(t) jel az f(kT_s) jelterületű Dirac-impulzusok

f*(t)={f(0)δ(t), f(T_s)δ(t-T_s), f(2T_s)δ(t-2T_s), …, f(kT_s)δ(t-kT_s), …}

függvénysorozata, az

f(kT_s)={f(0), f(T_s), f(2T_s), …, f(kT_s), …}

pedig az impulzusok területi mérőszámaiból képzett számsorozat).

Az inverz Z-transzformáció

Az inverz Z-transzformációval az F(z) ismeretében az ennek megfelelő

f(kT_s)=Z^-1{F(z)} mintasorozat határozható meg. Definíciós kifejezése [6]:

Azzal az esettel foglalkozunk, amikor a mintasorozat Z-transzformáltja

F(z)=G(z)/H(z) alakban – a z változóban algebrai törtként – adott, és G(z) a z változó m fokszámú, H(z) a z változó n fokszámú (n≥m) polinomja (lásd a Z-transzformációs táblázatot). A H(z)=0 egyenlet z_pi gyökei az F(z) szinguláris helyei (pólusai). Az F(z) függvény a H(z) nevezőjének vezető együtthatójára normalizált alakja:

Ebben z_zi a G(z) számláló gyökei (F(z) zérusai), z_pi a H(z) nevező gyökei (F(z) pólusai). Az inverz transzformáció tényleges kiértékelését nem a definíciós egyenlet alapján végezzük.

Az inverz Z-transzformáció módszerei

Táblázat használata, F(z) → f(kT_s) megfeleltetés

A Z-transzformációs táblázatból megkereshető, hogy egy adott F(z) transzformált függvényhez milyen f(kT_s) mintasorozat tartozik (lásd például az 1. táblázat adatait, vagy részletesebben Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems című munkáját).

Polinomok osztása

Az F(z) függvény m fokszámú G(z) számláló polinomjának osztása a H(z) nevező n≥m fokszámú polinomjával (ha m=n akkor f(0)≠0):

g₀z^m+g₁z^m–1+…+g_m : zⁿ+h₁z^n–1+…+h_n=f(0)+f(1)z^–1+f(2)z^–2+… .

Példa:

Vagyis: f(kT_s)={0, 1T_s, 2T_s, 3T_s, ...}. Ez a számsorozat a f(t)=t1(t) belépő, folytonosidejű függvényből T_s mintavételezési idővel vett mintasorozatnak is tekinthető, mivel f(kT_s)=kT_s1(kT_s)={0, 1T_s, 2T_s, 3T_s, ...}.

Részlettörtre bontás

Ha az F(z)=G(z)/H(z) z_pi pólusai egymástól különbözőek és G(z) polinomból a z tényező kiemelhető, akkor F(z)/z részlettörtekre bontható. Ennek, valamint a Z^-1{z/(z-z_pi)}=(z_pi)^k tulajdonság figyelembevételével kapjuk:

Példa:

A Z-transzformáció néhány fontosabb tétele

     • A linearitás tétele:

    A Z-transzformáció és az inverz Z-transzformáció lineáris művelet:

ahol u(k), x(k) belépő mintasorozat, a, b, c, d állandók.

•Az eltolási tétel:

Az f(kT_s) tárgyfüggvény rT_s lépésszámú diszkrét idővel történő eltolásának (késleltetésének, Shifting) Z-transzformáltja (képfüggvénye, r≥1, egészszám):

Ha r=1, akkor a késleltetett sorozatra Z{f [(k-1)T_s]}=z^-1F(z)   →  (z^-1 a késleltetés – eltolás – operátora), a z^-1F(z) kifejezés a z operátor tartományban az f(kT_s)=Z^-1{F(z)} mintasorozat egy lépésnyi késleltetését jelenti a diszkrét időtartományban: Z^-1{z^-1F(z)}=f [(k-1)T_s]). Ha r=-1, akkor a siettetett sorozatra:

Z{f [(k+1)T_s]}=zF(z)-zf(0) → (z a siettetés operátora).

Megjegyzés

A t folytonos időtartományában az f(t) belépő időfüggvény T_h holtidő okozta késleltetése az s Laplace-operátortartományban transzcendens függvényt eredményezett, mivel 

A kT_s diszkrét időtartományában a belépő f(kT_s) mintasorozat T_h holtidő okozta késleltetése, ha a T_h holtidő a T_s mintavételezési időnek T_h=rT_s szerint egészszámú többszöröse:

Ez utóbbi kifejezés szerint a mintasorozat rT_s holtidő okozta késleltetése a z operátortartományban nem vezet transzcendens függvényhez, vagyis ha

Z{f(kT_s)} a z változó algebrai törtje, akkor a Z{f(kT_s-rT_s)} ezt a tulajdonságát megtartja (r egészszám).

 Az eltolási tétel teremti meg azt a lehetőséget, hogy a DI-tag k diszkrét időtartományában értelmezett differenciaegyenletét a z tartományban algebrai egyenletté alakíthassuk át [7].

    • A csillapítási tétel

Ha Z{f(kT_s)}=F(z), akkor az exp(akT_s)f(kT_s) diszkrét mintasorozatnak a Z-transzformáltja:

 • A tf(t) időfüggvényből származtatott mintasorozat Z-transzformáltja

Példa:

    • A konvolúció tétele

Ha Z{f(kT_s)}=F(z), és Z{g(kT_s)}=G(z), akkor:

Megjegyzés

F(z)G(z)≠Z{f(kT_s)g(kT_s)}, vagyis a mintasorozatok f(kT_s)g(kT_s) szorzatának Z-transzformáltja nem azonos a mintasorozatok F(z)=Z{f(kT_s)}, G(z)=Z{g(kT_s)} Z-transzformáltjainak F(z)G(z) szorzatával, és Z^–1{F(z)G(z)}=f(kT_s)*g(kT_s)}!

   • Kezdeti- és végértéktételek

Megjegyzés

Az f(kT_s)_k=∞=f(∞) végértéktétel csak akkor érvényes, ha az F(z) minden z_pi szinguláris helye (pólusa) a komplex számsík egységsugarú körének belsejében van (ekkor ugyanis bizonyos, hogy f(kT_s) mintasorozatnak létezik a f(∞) végértéke, vagyis pl. f(∞)≠∞, vagy f(kT_s) nem periodikus).

   Folytatjuk!

   Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.