Szabályozástechnika 42
Diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényei – 1
Bevezetés
A szabályozástechnika tématerületének egyfajta felosztása és feldolgozása a folytonosidejű (FI) és a diszkrétidejű (DI) rendszerekre terjed ki. A feldolgozás sorrendje általában olyan, hogy az FI-rendszerek analízisét követően kerül sor a DI-rendszerek tárgyalására [1]. Jelen munkánkban is ezt az utat követjük.
Az FI-rendszerek a hagyományos, analóg technikákra épülő megoldásokat tartalmazzák, kidolgozott rendszerelmélettel rendelkeznek, modellalkotásuk viszonylag egyszerű (differenciálegyenlet → állapotegyenlet → Laplace-transzformáció → átviteli függvény → átviteli mátrix → inverz Laplace-transzformáció). A technikai fejlődéssel megjelentek a digitális számítógépek, és ennek eredményeként természetes megoldásként kínálkozott a FI-szabályozási-rendszer analóg szabályozójának digitális számítógéppel történő kiváltása (1. ábra). Következésképpen megszűnt az analóg szabályozó alkalmazásával járó problémák egy jelentős része (egyedi megoldások, drift, öregedési jelenségek, nehézkes áramkörépítés, hőmérsékletfüggés, paraméterek pontatlansága és átállításának nehézségei, körülményesen megoldható ember–gép kapcsolatok, események naplózásának nehézsége, komplikált szerkezeti megoldások stb.), de megjelentek a szabályozási rendszer zárt hatásláncában a diszkrétidejű jelek és tagok, valamint a mintavételezés és a mintavételezések közötti tartás jelenségei. A hibrid (a hatáslánc FI-részének és a DI-szabályozóberendezésnek az alrendszereit tartalmazó) szabályozási rendszerben lejátszódó események leírásának egyik módszere szerint a digitális szabályozó kimenete (a diszkrét u(kTs) irányítójel) és a szabályozott jellemzővel arányos diszkrét bemenete (a mintavételezett diszkrét y(kTs) szabályozott jellemző) között elhelyezkedő folytonosidejű „folyamatot” (a D/A-átalakító → teljesítményerősítő → végrehajtó szerv → helyzetbeállító → beavatkozó szerv → technológiai folyamat → érzékelőszerv → távadó → A/D-átalakító együttesét) diszkrét modellel írjuk le. Emiatt a hibrid rendszer matematikai modellje is egységesen DI-jeleket és DI-tagokat tartalmaz (hibrid rendszer homogenizálása DI-jelekre és -tagokra). A kizárólag DI-jeleket és -tagokat tartalmazó matematikai modellel leírt szabályozás is kidolgozott rendszerelmélettel rendelkezik, amely a differenciaegyenlet → diszkrét állapot differenciaegyenlet → Z-transzformáció (diszkrét Laplace-transzformáció) → impulzusátviteli függvény → impulzusátviteli mátrix → inverz Z-transzformáció alkalmazására épül.
Közismert tapasztalati tény, hogy az FI-rendszerek elméletének a befogadása és feldolgozása általában nem okoz komolyabb problémát. Ezzel szemben a hibrid rendszerek DI-modellre alapozott elméletének elsajátításával kapcsolatosan nehézségek merülhetnek fel. Ennek valószínűsíthetően egyik oka az, hogy az FI-rendszerek tárgyalásában alapvető fontosságú Laplace-integráltranszformáció és az ebből származtatható átviteli függvény fogalmakkal a villamosmérnök nap mint nap találkozik (pl. Z(s)=R+sL+1/(sC) operátoros impedanciák használata vagy az RC-feszültségosztó uki(s)/ube(s)=W(s)=1/(1+sRC) képlete stb.), de a DI-rendszerek elméletében hasonló szerepet betöltő Z-transzformáció és az ebből származtatható impulzusátviteli függvény már kevésbé hétköznapi fogalom. A jövő szabályozási feladatainak megoldásaiban a hibrid rendszerek és az ezeket kezelni képes DI-modellek lesznek a meghatározók, miután a szabályozót és a szabályozási algoritmust egyre nagyobb súllyal a digitális számítógép és a rajta futó program realizálja. A számítógépen futó programot a szabályozó Wc(z) impulzusátviteli függvénye reprezentálja. Mindezek miatt a hibrid szabályozási rendszer diszkrét modelljének megalkotása, és ez alapján végrehajtott analízis és szintézis megkerülhetetlen. A továbbiakban bemutatjuk a diszkrétidejű jelek és jelátvivő tagok tulajdonságait, ezek rendszerjellemző függvényeit, a DI-tagokból felépített hatásvázlat-struktúrák – köztük a negatívan visszacsatolt DI-dinamikus rendszer – kezelésének eljárásait, hasonlóan ahhoz, amint azt korábban a folytonosidejű jelek és jelátvivő tagok esetében már megtettünk. Mindezeket a témaköröket az általános rendszerelméleti tárgyalások mellőzésével a hibrid szabályozási rendszerek üzemtana szempontjainak alárendelésében tárgyaljuk.
A hibrid rendszer matematikai modelljei
A technikai lehetőségek jelenlegi szintjén – az alkalmazásoknak egyre jelentősebb részében – valamely technológiai folyamat irányítását mikroprocesszoros egyedi szabályozó, univerzális felhasználási lehetőséget kínáló digitális kompakt szabályozó vagy folyamatirányító digitális számítógép végzi (lásd az 1. ábra blokkvázlatát [2]).
1. ábra A hibrid szabályozási rendszer felépítésének blokkvázlata
A blokkvázlat azt szimbolizálja, hogy a szabályozási kör egyik részében folytonosidejű uT(t), y(t), uz(t) időfüggvények, egy másik részében mintavételezett, kódolt, diszkrét értékkészletű, diszkrétidejű jelek (u(kTs), y(kTs), ua(kTs) mintasorozatok) az információ hordozói (t a folytonos idő, kTs a mintavételezés időpillanatai, k=0,1,2,… a diszkrét idő sorszáma). Ebben az értelemben a zárt szabályozási rendszer hibrid. A folytonosidejű és a diszkrétidejű részek illesztési feladatait A/D- (analóg → digitális átalakítás, kvantálás, kódolás és mintavételezés) és D/A- (digitális → analóg átalakítás, dekódolás és zérusrendű tartás) -átalakítók látják el. A hibrid szabályozási rendszer lényeges tulajdonsága, hogy a zárt hatáslánc jelfolyamában (a negatívan visszacsatolt szabályozási hurok zárt hatásláncának belsejében) megjelenik a mintavételezés és a mintavételezési idők közötti zérusrendű tartás. Ez számos problémának (például a stabilitás esetleges elvesztésének) lehet okozója, és számos előnyös tulajdonságnak, például a rugalmasan alakítható szabályozási algoritmusnak a megvalósíthatóságát eredményezheti.
Miután a szabályozó realizálására digitális jelfeldolgozásra alkalmas eszközt használunk (DDC-szabályozó, Direct Digital Control), és ennek belső jelterjedési viszonyaira a diszkrét működésmód a jellemző, a szabályozási algoritmust a valós időben (real time) futó számítógépes program valósítja meg [3]. A működésmód általános tulajdonsága a mintavételezés jelenléte, amelynek jellemzője a Ts mintavételezési idő (sampling time), illetve az ωs=2π/Ts mintavételezési körfrekvencia (sampling frequency). A jelfeldolgozás a mintavételezés ütemezése szerint történik. Mivel a digitális eszköz szóhossza szükségszerűen véges, ezért a szabályozón belüli jelértékek kvantáltak és kódoltak (időben mintavételezett, amplitúdóban kódolt, diszkrét idejű, diszkrét értékkészletű, digitális jelek). A hibrid szabályozási rendszer a 2. ábra egyszerűsített blokkvázlatával is jellemezhető.
2. ábra A hibrid rendszer egyszerűsített blokkvázlata
Az irányított folyamatnak folytonosidejű uT(t) bemenő- és y(t) kimenőjelei vannak, emiatt a digitális szabályozóhoz történő csatlakoztatása a szabályozó bemeneti oldalán az A/D-átalakítóval, kimeneti oldalán pedig a D/A-átalakítóval valósul meg. Ezek mintavételezési idő szerinti adatfogadási és adatkiadási ütemezését maga a központi digitális eszköz órajele vezérli. A DDC-szabályozó kimeneti oldalán levő D/A-átalakító – miután a folyamat bemenete a mintavételezések közötti időintervallumokban folytonos jelet igényel – a kódolt diszkrétidejű jelnek analóg jelekké történő átalakításán túlmenően egy úgynevezett tartási funkciót is ellát, amely gondoskodik arról, hogy a mintavételezési időpontok között is legyen jel a folyamat bemenetén. A tartási funkció leggyakoribb módja a zérusrendű tartás (zero order hold, zoh), amely a mintavételezési időpontok között állandó értékű jelet állít élő. Mindezen hatások eredményeként az uT(t) irányítójel „lépcsős” lefolyású időfüggvény [4] (3. ábra).
A diszkrét jelekkel dolgozó szabályozó, illetve a folytonos jelekkel működő folyamat más-más matematikai modellel írható le [5], amit a két alrendszer összekapcsolásával keletkező eredő rendszer matematikai modellalkotásakor figyelembe kell venni. A diszkrét szabályozó u(kTs) kimenetét a zoh kapcsolja a folytonos folyamat uT(t) bemenetéhez, a folyamat folytonos y(t) kimenetét pedig a mintavételező (sampler) kapcsolja a szabályozó y(kTs) diszkrét bemenetéhez. A diszkrét jeleket számsorozatoknak vagy a számsorozat számainak megfelelő jelterületű Dirac-delta impulzusokból álló függvénysorozatoknak is tekinthetjük. Ez utóbbi esetben alkalmunk adódik arra, hogy a folytonos jeleket a Laplace-transzformáltjaikkal, a diszkrét jeleket a diszkrét Laplace-transzformáltjaikkal (más néven Z-transzformáltjaikkal) írjuk le (matematikai mintavételezés és tartás). Különös jelentősége van a D/A-átalakító zérusrendű tartást (zoh) megvalósító funkciójának. A DI-jel FI-jellé történő jelátalakítási folyamatának hatásvázlattal történő leírását a 3. ábra szemlélteti.
3. ábra A zérusrendű tartás matematikai leírása átviteli függvénnyel
A zoh-típusú átalakítást az egymással párhuzamos kapcsolást alkotó FI integráló alaptag (átviteli függvénye: 1/s) és az előjelváltó, holtidős integráló tag (átviteli függvénye:-exp(-sTs)/s) jellemzi, az eredő kimenőjel a két tag kimenőjelének az előjelhelyes összege. Ennek eredményeként a bemeneten ható egyetlen, egységnyi jelterületű δ(t-kTs) Dirac-delta impulzus olyan uT jelet hoz létre, amely a kTs(k+1)Ts mintavételezési időközben a bemeneti impulzus jelterületének megfelelő
uT(t-kTs)=1(t-kTs)
jelet tartja fenn. Ez az absztrakció (matematikailag mintavételezett jel és zérusrendű matematikai tartó) megfelelően írja le a tényleges fizikai mintavételezés és fizikai tartás valóságos jelátviteli tulajdonságait. A hibrid rendszer analízise során a D/A-átalakító zoh-funkcióját a szabályozott folyamathoz (vele soros kapcsolást alkotva) soroljuk, emiatt a szabályozott folyamat diszkrét modelljének bemenőjele a diszkrét u(kTs) irányítójel, kimenőjele az A/D mintavételezőjével az y(t) FI-jelből előállított diszkrétidejű y(kTs) kimenőjel [6], a szabályozott jellemző diszkrétidejű mintasorozata. A diszkrét jelekkel működő DDC-szabályozó u(kTs) bemenő- és y(kTs) kimenőjelű diszkrét tagnak „látja” a diszkrét modellel jellemezhető folytonos folyamatot.
A hibrid rendszer rendszertechnikai tervezésének alapvető célja egy olyan számítógépes program struktúrájának és paramétereinek a meghatározása, amely – a számítógépen valós időben futtatva és a zárt hatásláncú hibridrendszert ezzel üzemeltetve – a szabályozási rendszer előírt tulajdonságait kielégítve működik (stabilis, elfogadható mértékű túllendülés, gyors működés, kicsi – lehetőleg zérus – szabályozási eltérés, megfelelő minőségű értéktartás és követés stb.). A rendszertechnikai tervezéséhez szükségünk van a hibrid rendszert leíró matematikai modellre. A hibrid szabályozási rendszer vegyes (FI- és DI-jeleket és -tagokat egyaránt tartalmazó, homogenizálatlan) hatásvázlata a 2. ábra blokkvázlatából származtatható (4. ábra).
4. ábra Hibrid (mintavételes) rendszer homogenizálatlan hatásvázlata
A hatásvázlaton szereplő zoh-jelű tag a D/A-átalakítást és ennek zérusrendű tartását szimbolizálja. A visszacsatolásban szereplő kapcsoló egy olyan, ún. matematikai mintavételező, amely – az A/D-átalakításnak megfelelően – az időben folytonos y(t) szabályozott jellemzőt a diszkrétidejű (általában a Ts mintavételezési idővel meghatározott ekvidisztáns lépésközű) y(kTs) mintasorozattá alakítja át [7]. Látható, hogy a szabályozási kör hatásláncának egy részében (a Wp(s) átviteli függvényű, szabályozott folyamat környezetében) folytonosidejű analóg jelek, egy másik részében (a DDC-szabályozóberendezés környezetében) diszkrétidejű, digitális jelek az információ hordozói. Ezen a homogenizálatlan hatásvázlaton az u(kTs), h(kTs), yA(kTs), y(kTs) jelek diszkrét számsorozatok (DI-jelek), a hatásvázlat uT(t), y(t) jelei az időben folytonosan változó időfüggvények (FI-jelek).
A diszkrét szabályozási algoritmus tervezésének szempontjából a hibrid rendszert olyan módon célszerű leírnunk, amelyben egységesen vagy FI-jelek és -tagok, vagy pedig DI-jelek és -tagok szerepelnek, ugyanis ez teremti meg annak a lehetőségét, hogy a matematikailag is egyszerűen kezelhető FI- vagy DI-jelekre homogenizált matematikai modellel dolgozhassunk. Ezért vagy a DI-jeleket és tagokat tartalmazó DDC-szabályozót kell egy közelítő FI-modellel helyettesíteni (hibrid szabályozási rendszer leírása közelítő FI-modellel), vagy az FI-jeleket és -tagokat tartalmazó folyamatot kell egy DI-modellel figyelembe venni (hibrid szabályozási rendszer leírása DI-modellel). A hibrid rendszer folytonosidejű vagy diszkrétidejű jelekre és tagokra homogenizált matematikai modelljeit [8] – PIPD szabályozási algoritmust feltételezve – az 5. ábra tartalmazza.
5. ábra Hibrid szabályozási rendszer FI- vagy DI-jelekre és -tagokra homogenizált hatásvázlatai
A folytonosidejű modellben az FI-jelek és -tagok (folytonos időfüggvények és ezek Laplace-transzformáltjai) az információ hordozói. A jelátvivő tagok differenciálegyenletekkel leírt függvénykapcsolatait a W(s) átviteli függvények reprezentálják. A hibrid működésmód következménye, hogy a mintavételezés és zérusrendű tartás hatására a hibrid rendszer FI-modelljében – a zárt hatáslánc belsejében sorosan beiktatva – megjelenik egy kb. Ts/2 nagyságrendbe eső, járulékos holtidővel rendelkező exp(-sTs/2) átviteli függvényű holtidős tag, amely természeténél fogva a zárt rendszer dinamikáját kedvezőtlenül befolyásolja [9]. A szabályozó rendszertechnikai méretezésekor ezt figyelembe kell venni. A hibrid működés következményeként azt a meghatározó jelenséget tapasztaljuk, mintha a folyamat eredeti Th holtideje Ts/2 értékkel megnövekedett volna. A méretezés során – figyelembe véve a hibrid működésmód miatt megnövekedett holtidőt – egy hagyományos eljárás keretei között (lásd folytonos szabályozó rendszertechnikai méretezése) kell meghatározni egy FI-szabályozó Wc(s) átviteli függvényét. Majd ennek ismeretében azt a digitális szabályozási algoritmust kell megalkotni, amely a folytonosként méretezett Wc(s) átviteli függvénynek felel meg (ez az algoritmus egyébként az FI-szabályozó differenciálegyenletének differenciaegyenlettel történő digitális szimulációja, és egyik jellemzője a Wc(z)=(1-z-1)Z{Wc(s)/s} impulzusátviteli függvény).
A diszkrétidejű modellben a DI-jelek és -tagok (mintasorozatok és ezek Z-transzformáltjai) az információ hordozói. A diszkrét jelátvivő tagok differenciaegyenletekkel leírt függvénykapcsolatait a W(z) impulzusátviteli függvények jelenítik meg. A szabályozó természetes tulajdonsága a DI-működésmód. A DI-jelekre és -tagokra vonatkozó homogenizálás miatt most a zérusrendű tartószervvel soros kapcsolást alkotó, folytonosidejű FI-„folyamatot” (a hatásirányban a D/A- és A/D-átalakítók között elhelyezkedő és a Wp(s) átviteli függvénnyel jellemzett berendezések együttesét) kell helyettesíteni egy ennek megfelelő diszkrét modellel. Ezt a modellt a
diszkrét differenciaegyenletet szimbolizáló Wp(z) impulzusátviteli függvény írja le. Megmutatja, hogy a DI-szabályozó milyen DI-folyamatnak „látja” a zoh-tartószervvel kiegészített, Wp(s) átviteli függvényű FI-folyamatot [10] (vagyis a bemenetén zérusrendű tartóval és a kimenetén mintavételezővel ellátott folyamat az u(kTs) bemeneti mintasorozaton – előállítva az y(kTs) kimeneti mintasorozatot – milyen átalakítást végez). A DI-jelekre homogenizált szabályozás esetén a Wp(z) diszkrét folyamatmodell ismeretében közvetlenül méretezhető a szabályozó diszkrétidejű Wc(z) impulzusátviteli függvénye, amely a szabályozási algoritmust jeleníti meg (magát a méretezési eljárást a későbbiekben részletezzük).
Az 5. ábra mindkét modelljében – mintegy példaként – PIPD-szabályozási algoritmusokat szerepeltettünk. Ezt az algoritmust az FI-rendszerben egy olyan elektronikus, mechanikus, pneumatikus vagy hidraulikus eszköz realizálja, amelynek átviteli függvénye Wc(s). Az FI-modell PIPD-szabályozójának differenciálegyenlete a Wc(s) átviteli függvényének alapján:
.
Ebben h(t)=yA(t)-y(t) a hibajel folytonos időfüggvénye. A méretezendő paraméterek a FI-szabályozó kc, Ti, Td, T adatai.
A DI-rendszerben egy real time környezetben futó program realizálja a Wc(z) által szimbolizált digitális szabályozási algoritmust, amely program egy univerzális digitális eszközön fut. A DI-modell PIPD-szabályozójának differenciaegyenlete az impulzusátviteli függvényének alapján [11]:
Ez a differenciaegyenlet azt fejezi ki, hogy a diszkrétidejű irányítójel u(kTs) aktuális értékét (a DDC-szabályozó kimenőjelének mintasorozatát) a diszkrétidejű hibajel h(kTs) aktuális, és az ezt megelőző h[(k-1)Ts], h[(k-2)Ts] két mintájának súlyozott mozgó átlaga, valamint az irányítójel u[(k-1)Ts] megelőző értékei határozzák meg. A méretezendő paraméterek a DI-szabályozó kcd átviteli tényezője és impulzusátviteli függvényének zci, zcd zérusai.
A DDC-szabályozók gyakran a hagyományos, folytonosidejű P-, I-, PI-, PD-, PID- és PIPD-algoritmusok diszkrét megfelelőinek alapján állítják elő az u(kTs) irányítójelet. Ez a lineáris differenciaegyenlettel leírható általános diszkrétidejű PID-szabályozási algoritmus:
u(kTs)=-{d1u[(k-1)Ts]+d2 u[(k-2)Ts]}+
+c0 h(kTs)+c1 h[(k-1)Ts]+c2 h[(k-2)Ts],
ahol d1, d2, c0, c1, c2 jelöli a DDC-szabályozó szabályozási algoritmusának álladó, valós paramétereit. Egy általánosabb esetben a DDC-szabályozó fogadja (vagy értéktartó szabályozás esetében a memóriájában tárolja) a szabályozott jellemző kívánt értékét (az yA(kTs) alapértéket) reprezentáló ua(kTs)=yA(kTs) alapjelet és a szabályozott jellemző tényleges értékét megjelenítő y(kTs) mintavételezett jelet. Ezek alapján képezi a h(kTs)=yA(kTs)-y(kTs) hibajelet, majd a h(kTs) minták aktuális, illetve a memóriában tárolt és az ezt megelőző h[(k-1)Ts], h[(k-2)Ts],…, h[(k-m)Ts] súlyozott értékekből, valamint a diszkrét irányítójel megelőző u[(k-1)Ts], u[(k-2)Ts],…, u[(k-n)Ts] súlyozott értékeiből állítja elő a diszkrétidejű irányítójel u(kTs) aktuális értékét. Ennek megfelelően az irányítójel előállításának egy általános kifejezése:
u(kTs)=-{d1u[(k-1)Ts]+d2u[(k-2)Ts]+…+dnu[(k-n)Ts]}+
+c0h(kTs)+c1h[(k-1)Ts]+c2h[(k-2)Ts]+…+cm h[(k-m)Ts] .
A di (i=1,2,...,n) és a ci (i=0,1,2,…,m) valós paraméterek különféle megválasztásaival a folytonos szabályozókat utánzó algoritmusokon túlmenően igen sokféle diszkrétidejű szabályozási algoritmus is realizálható, ami a DDC-szabályozónak jelentős rugalmasságot biztosít. A digitális szabályozó nyújtotta lehetőségként például a folyamat lépcsős időlefolyású uT(t) bemenőjelét (a lépcsők amplitúdóit és időtartamát) úgy lehet alakítani, hogy ennek eredményeként a hibrid rendszer y(t) szabályozott jellemzője véges idő alatt (véges beállású rendszerek) vagy optimális idő alatt (időoptimális rendszerek) az alapjelnek megfelelő végértékére álljon be. A DDC-szabályozó alkalmazása lehetőséget teremt arra, hogy a szabályozás folyamata alatt a szabályozási algoritmus di és a ci paramétereit módosítsuk és ezzel a folyamat mindenkori aktuális paramétereihez történő adaptálódást megvalósítsuk. Ilyen megoldások a folytonosidejű szabályozások körében – az analóg szabályozó körülményes szerkezeti megvalósíthatósága és nehézkes parametrizálhatósága miatt – általában nem jöhetnek szóba.
Ha a DI-jelekre homogenizált modell alapján kívánjuk tárgyalni a hibrid szabályozási rendszer üzemtanát és szabályozójának rendszertechnikai méretezését, akkor a modellalkotáshoz a differenciálegyenletével, az állapotegyenletével, illetve az átviteli függvényével vagy az átviteli mátrixával leírt folytonosidejű folyamat diszkrétidejű modelljének meghatározása szükséges, ami természetszerűleg a Ts mintavételezési idő felvételét is igényli [12]. Ez az eljárás többféle diszkrétidejű folyamatmodellhez vezethet. Jelen munkában a legegyszerűbb (és ezért a leggyakrabban alkalmazott) esetet – az átmeneti függvényre ekvivalens diszkrét modellt – tárgyaljuk.
Mint korábban láttuk, a folytonosidejű rendszerek időtartományban felírható matematikai modellje differenciálegyenlet vagy állapotegyenlet alakjában adható meg. Az FI-rendszer vizsgálatának hatékony eszköze a Laplace-transzformációra épül, és az ebből származtatható – az s operátortartományban értelmezett – átviteli függvény és átviteli mátrix fogalmakkal dolgozik. A hibrid szabályozási rendszerek diszkrétidejű modelljének tárgyalásához olyan elméleti alapismeretekre van szükség, amelyek a diszkrét idő tartományában értelmezhető lineáris differenciaegyenlethez és állapot-differenciaegyenlethez kapcsolódnak. A DI-rendszerek tárgyalásakor hatékony eszköz a Z-transzformáció [13] alkalmazása, és ennek alapján – a z operátortartományban értelmezett – impulzusátviteli függvény és az impulzusátviteli mátrix használata.
Az FI- és a DI-rendszerek matematikai analízise – mint ahogy azt később tapasztalni fogjuk – igen sok formális hasonlóságot mutat, ennek ellenére lényeges, tartalmi különbözőséggel is rendelkező rendszerekről van szó. Az FI-rendszerekben időben folytonos jelek (analóg jelek) az információ hordozói, és az átviteli függvény azt mutatja meg, hogy a folytonos u(t) bemenőjelet a lineáris FI jelátvivő tag milyen folytonos y(t) kimenőjellé alakítja át [u(t)→L{u(t)}=u(s)→y(s)=W(s)u(s)→L–1{y(s)}=y(t)]. Ezzel szemben a hibrid rendszer DI matematikai modelljének jelei a diszkrét kTs időpontokban (k=0,1,2,…k,… a diszkrét idő sorszáma) értelmezett mintasorozatok [14], amelyeken – vagyis az u(kTs) bemenő mintasorozaton – a W(z) impulzusátviteli függvényű DI-jelátvivő tag (előállítva az y(kTs) jelet) átalakítást végez:
u(kTs)→Z{u(kTs)}=u(z)→y(z)=W(z)u(z)→Z-1{y(z)}=y(kTs).
A folytonos jelből származtatható diszkrét mintasorozat Ts mintavételezési idővel mintavételezett, amplitúdóban kvantált és kódolt (digitális) jel [15]. Lényeges elméleti kérdés, hogy egy folytonosidejű rendszermodell milyen diszkrétidejű rendszermodellel helyettesíthető, illetve az f(t) folytonosidejű jel mintavételezésével keletkezett f(kTs) mintavételezett jelből (a mintasorozatból) az eredeti f(t) folytonosidejű jel visszaállítható-e? Ez utóbbi kérdés megválaszolása a Shannon-tételek alapján lehetséges.
A korábbiakban már láttuk, hogy a lineáris, folytonosidejű SISO (single input single output) jelátvivő tagokat öt rendszerjellemző függvénnyel írtuk le. Ezek a függvények a differenciálegyenlet, a súlyfüggvény, az átmeneti függvény, az átviteli függvény és a frekvenciafüggvény. A lineáris diszkrétidejű, időinvariáns (Linear Time-Invariant, LTI), kauzális, dinamikus SISO-tagok bemenő- és kimenőjelei mintasorozatok, és a jelátviteli tulajdonságainak leírására is rendszerjellemző függvényeket használunk. Ezek a függvények a DI-jelátvivő tag differenciaegyenlete, és az ebből származtatható súlysorozata, átmeneti mintasorozata, impulzusátviteli függvénye és diszkrét frekvenciafüggvénye.
Folytatjuk!
Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné
[1] Irodalom: Benjamin C. Kuo: Automatic Control Systems, Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems, Fodor György: Jelek és rendszerek és Dr. Tuschák Róbert: Szabályozástechnika című munkák az FI- és DI-jeleket és dinamikus rendszereket egymással párhuzamosan tárgyalják, élvezetes olvasmányt nyújtva annak, aki az FI- és a DI-rendszerekkel egyébként már külön megismerkedett.
[2] Az ábrát – mondanivalójának lényegét megtartva – Keviczky László – Bars Ruth – Hetthéssy Jenő – Barta András – Bányász Csilla: Szabályozástechnika, Műegyetemi Kiadó jegyzetéből vettük át.
[3] A folytonosidejű szabályozó szerkezeti realizációja elektronikus áramkör, vagy mechanikus, pneumatikus, illetve hidraulikus segédenergiával működtetett szerkezet, és a szabályozási algoritmust ennek Wc(s) átviteli függvénye reprezentálja. Az elektronikus DDC-szabályozót mikroprocesszor, PLC vagy folyamatirányító számítógép és az ezeken futó program realizálja. A szabályozási algoritmust a programhoz rendelhető Wc(z) impulzusátviteli függvény jeleníti meg.
[4] A D/A-átalakító a diszkrét u(kTs) mintasorozatot a folytonos, „lépcsős” időlefolyású uT(t) tartott jellé alakítja át. A zérusrendű tartás mellett más eljárással is lehet jelet fenntartani a mintavételezési időpontok között (pl. elsőrendű tartó, polygonal-tartó stb.), ezekkel azonban e munka keretei között nem foglalkozunk. Eltekintünk a DI-jelek kvantáltságától is.
[5] Az FI-alrendszert a korábban tárgyalt differenciálegyenlet és az ennek megfelelő W(s) átviteli függvény, a DI-alrendszert a későbbiekben részletezett differenciaegyenlet és az ennek megfelelő W(z) impulzusátviteli függvény modellezi
[6] Azt a kérdéskört, hogy a Wp(s) átviteli függvényével leírt, bemenetén D/A-, kimenetén A/D-átalakítókkal rendelkező FI-folyamat az u(kTs) bemeneti mintasorozatra milyen y(kTs) mintasorozat választ ad, a későbbiekben (az FI-tag differenciaegyenlettel leírható diszkrét modelljének meghatározásakor) tárgyaljuk.
[7] A mintavételező kapcsolót úgy kell tekinteni, ami Ts periódusidővel egy t<<Ts ideig záródik, ezzel mintegy mintát véve a folytonosidejű y(t) szabályozott jellemzőből. Ezek az y(kTs) minták (k a minta sorszáma) egy {y(0),y(Ts),y(2Ts),…,y(kTs),…} mintasorozatot alkotnak, amelyet az A/D-átalakító digitális jellé konvertál.
[8] A hibrid rendszer diszkrét modelljének hatásvázlatán szereplő ua(kTs), h(kTs), u(kTs), y(kTs) jelek diszkrét mintasorozatok. A DI-jeleket az irodalom gyakran u[k], u(kTs), {u(0), u(Ts), u(2Ts),…, u(kTs),…}, u(z) módon is jelöli (k a minta sorszáma, Ts a mintavételezési idő, kTs a mintavételezés aktuális időpillanata, z a Z-transzformáció komplex operátora).
[9] A Th=Ts/2 járulékos holtidő megjelenésének az indoklását a szabályozó rendszertechnikai méretezésekor tárgyaljuk.
[10] A folyamat Wp(s) folytonosidejű átviteli függvényéből a Wp(z) diszkrét modelljének meghatározásával és az impulzusátviteli függvény fogalmával a későbbiekben foglalkozunk.
[11] Ennek részletezését a Z-transzformáció ismertetése során tárgyaljuk.
[12] A hibrid rendszer vizsgálatának egy igen lényeges kérdése – bármelyik modell alapján is analizáljuk a szabályozási rendszer tulajdonságait – a Ts mintavételezési idő felvétele. Ezzel a témakörrel a szabályozó méretezésének tárgyalásakor foglalkozunk.
[13] A Z-transzformáció a diszkrét Σf(kTs)δ(t-kTs) függvénysorozatok Laplace-transzformációjának is értelmezhető:
F*(s)=L{Σf(kTs)δ(t-kTs)}=Σf(kTs)exp(-skTs) →
z=exp(sTs) → F(z)=Z{f(kTs)}=Σf(kTs)z-k.
A részletezést lásd a későbbiekben a Z-transzformációt feldolgozó fejezetekben. A δ(t-kTs) a kTs értékkel a pozitív időtengely mentén eltolt Dirac-delta egy ún. általánosított függvény, amely a kTs időpontot kivéve mindenütt zérus, de a –∞<t<∞ időintervallumban ∫ δ(t-kTs)dt=1, illetve ∫f(t)δ(t-kTs)dt=f(kTs).
[14] Ezeket a mintasorozatokat
f(kTs)={f(0),f(Ts),…,f(kTs),…}
számsorozatoknak vagy a számoknak megfelelő jelterületű Dirac-impulzusokból álló
{f(0)δ(t),f(Ts)δ(t-Ts),…,f(kTs)δ(t-kTs),…}
függvénysorozatoknak is tekinthetjük. A diszkrét Laplace-transzformáció a függvénysorozatokra értelmezhető.
[15] A folyamatszabályozás egy korábbi időszakában – még a digitális számítógépek megjelenése előtt – egyfajta szerkezeti megoldást kínált a nagypontosságú galvanométer szabályozóként történő alkalmazása (ejtőkengyeles szabályozó). Ez tekinthető a mintavételes rendszer kialakulása kezdeti szakaszának, miután itt jelent meg először a szabályozási hatáslánc periodikus felszakítása és zárása. Ez a gyakorlat szülte szerkezeti megoldás indította el a mintavételes szabályozási rendszerek elméletének kidolgozását. Valóságos aktualitása a digitális számítógépek megjelenésével keletkezett, miután a hatáslánc periodikus felszakítása és a mintavételezés ténye a digitális jelfeldolgozás természetes tulajdonsága. Irodalom: Benjamin C. Kuo: Automatic Control Systems, Csáki Frigyes: Szabályozások dinamikája, Csáki Frigyes: Korszerű szabályozáselmélet.
