Szabályozástechnika 41

Állapotirányítás, állapotirányítás megfigyelővel, optimális (LQR) irányítás – 11

A soron következő 11. folytatás az Állapotirányítás, állapotirányítás megfigyelővel, optimális (LQR) irányítás című fejezet befejező része. Ezzel a témakörrel az analóg szabályozás tárgyalása is lezárul, és a további anyagrészek már a diszkrétidejű tagok rendszerjellemző függvényeit, valamint a  hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezését elemzik. A cikksorozat előző 10. részében egy alkalmazási példában az optimális irányítás tervezése kapcsán kiszámított eredmények értékelése terjedelmi korlátok miatt elmaradt. Ennek a részletezésével indul a soron következő folytatás.

Az r₁=0,0001 és r₂=0,01 súlyozó tényezőkre kapott eredmények azt mutatják, hogy a J(x,u) költségfüggvény minimumára kapott J₁=0,4636, ill. J₂=0,8572 értékek közül a kisebb r₁ tényezőnél kedvezőbb a beállítás, mikor is az u_opt1 maximális értéke a nagyobb (max(u_opt1)=140,4219). Ennek jelentése az, hogy az optimális rendszer gyorsításához szükséges nagyobb irányítójel az „olcsóbb”. A visszacsatolt rendszer hatásvázlata a 1. ábrán látható.

1. ábra Az állapotvisszacsatolt rendszer hatásvázlata

A tárgyalt LQR-szabályozás 1. ábrán látható struktúrájában az F_LQ=[f_LQ1  f_LQ2] visszacsatolás sorvektorát úgy választottuk meg, hogy a folyamat x(0) kezdeti feltételeiből induló sajátmozgására optimalizáltuk az állapotvisszacsatolt rendszert. A valóságos üzemvitel körülményei között a folyamatot a zavarójelek hatása is érheti, ill. a szabályozási folyamat során a zavarelhárításon túlmenően az alapjel követése is előírt feladat lehet. Ha az állapotirányításra állapotmegfigyelőt (állapotbecslőt) kell használnunk, akkor az x(t)-x*(t) becslési hibát nem csupán a kezdeti feltételek közötti különbségek idézik elő, hanem erre a hibára a zavarójeleknek és a mérési zajoknak is befolyásuk lehet. Ezekre az esetekre is kialakítható az optimális becslés és optimális irányítás stratégiája. Ez a költségfüggvény különféle értelmezését is igényli. A téma részletesebb feldolgozására irodalmi hivatkozást adunk [1].

Összefoglalás

Az A, B, C, (D=0) paramétermátrixaival leírt, irányítható és megfigyelhető SISO-folyamat állapotvisszacsatolása során – a folyamat sajátmozgásának befolyásolására – az x(t) állapotváltozókról az u(t) bemenetre történő visszacsatolás sorvektorát kétféle módon választottuk meg (ezt szimbolizálja a K kapcsoló f vagy f_LQ állásai, 2. ábra).

2. ábra SISO-folyamat kétfajta állapotvisszacsatolása

A K kapcsoló f állásában a visszacsatolás F átviteli tényezőjével a rendszer A_R=A-BF eredő állapotmátrixának λ_Ri sajátértékeit egy előírt méretezési előírásnak megfelelő értékre állíthatjuk be, amivel a visszacsatolt rendszer exp(λ_Rit) szerint időben lejátszódó sajátmozgását is befolyásoljuk (méretezés a visszacsatolt rendszer A_R=A-BF eredő állapotmátrixának előírt sajátérték eloszlására). Az F meghatározására A, B és λ_Ri ismeretében az Ackermann-formula szolgál, amely szerint:

  F=[0 0 0 … 0 1][B AB A²B …A^n-1B]^-1[Aⁿ+h_R1A^n-1+…+h_R(n-1) A+h_RnI].

MATLAB-támogatás: [F]=acker(A,B,lambdaR).

A pólusáthelyező szabályozás alkalmazásakor – ha a folyamat x_i(t) állapotváltozói nem mérhetőek – a megfigyelő (állapotbecslő) használható. Ekkor az u(t)=-Fx*(t) visszacsatolást a megfigyelő x*(t) állapotvektoráról kell létrehozni.

A K kapcsoló f_LQ állásában a visszacsatolás F_LQ átviteli tényezője mellett a rendszer eredő állapotmátrixa A_R=A-BF_LQ. Az F_LQ megválasztásának elve ekkor a 

költségfüggvény valamelyikének minimalizálása (Q, Q_y, R súlyozó tényezők, SISO-folyamat esetében Q_y=q_y, R=r skaláris), vagyis olyan u_opt(t) választása, amelynél az állapotegyenlet x(t) megoldása és az u_opt(t) alapján számítható J(x,u_opt) vagy J(y,u_opt) költségfüggvény valamelyikének minimuma van. Ez a követelményrendszer olyan u_opt(t) irányítójelet igényel, amely az x(t) állapotváltozókkal az u_opt(t)=-F_LQx(t) állapotvisszacsatolásnak megfelelő kapcsolatban van, ahol a visszacsatolás F_LQ átviteli tényezője:

és S az

SA+A^TS-SBR^-1B^TS+Q=0

ún. algebrai Riccati-mátrixegyenlet megoldása. Az F_LQ-visszacsatolás átviteli tényezőjének (sorvektorának) meghatározására numerikus módszerek állnak rendelkezésre. 

      MATLAB-támogatással: [FLQ,S,lambdaR]=lqr(A,B,Q,R).

                                      [FLQ,S,lambdaR]=lqry(A,B,C,D,Qy,R). 

A fentiek szerint választott u_opt(t)=-F_LQx(t) mellett a J(x,u) költségfüggvény minimuma: 

Az LQR-szabályozás alkalmazásakor – ha a folyamat x_i(t) állapotváltozói nem mérhetőek – a megfigyelő (állapotbecslő) szintén felhasználható. Ekkor az u(t)=-F_LQx*(t) visszacsatolást a megfigyelő x_i*(t) állapotváltozóiról lehet létrehozni.

Az LQR-irányítás gyakorlatban való elterjedésének akadályait a nehézkes és komplikált matematikai apparátus használata mellett a megfelelő Q és R súlyozó mátrixok megválasztásának szubjektív körülményei jelentik.

Megjegyzés

• A költségfüggvényt véges t_v értékekre is definiálhatjuk. Ekkor:

Ebben x^T(t_v)Px(t_v)/2 a végköltség (P pozitív definit), amely az x(t_v) végállapotot korlátozza. A költségfüggvényben azért kell a végköltséget is figyelembe venni, mert a véges idejű feladatnál t_v véges és x(t_v) lehet előre rögzítetlen is. Az optimális irányítójelet ebben az esetben is az állapotváltozókról történő 

u_opt(t)=-R-¹B^TS(t)x(t) 

visszacsatolás szolgáltatja, de ekkor az S(t) mátrix az időnek is függvénye, amivel az F_LQ(t) visszacsatolási átviteli tényező is időfüggő. Az S(t) mátrix most a

Riccati-mátrix-differenciálegyenlet S(t_v)=P peremfeltételre vonatkozó megoldása [2].

• A szabályozott folyamatot véletlen hatások is érhetik. Ennek figyelembevétele úgy történhet, hogy az állapotsebességet egy ún. z_x(t) állapotzaj, a kimenőjelet egy z_y(t) megfigyelhetőségi (mérési) zaj additív hatásainak is kitesszük. Mindkét zaj stacionárius-sztochasztikus folyamat, minden t-re korreálatlan, Gauss- (normális) -eloszlású, zérus várható értékkel (Ez_x(t)=Ez_y(t)=0, E a várható érték) és adott konvergenciafüggvénnyel. Ekkor a folyamat állapotegyenlete: 

A LQG (Linear Quadratic Gaussian) irányítási feladatban keressük azt az u_opt(t) irányítójelet, amely minimalizálja a

funkcionált. A probléma megoldása a Kálmán-szűrő néven ismert állapotvisszacsatolás kialakításához vezet, amely lényegét tekintve egy sztochasztikus állapotbecslő. A sztochasztikus rendszerek optimális irányításának tématerületével e munka keretei között nem foglalkozunk.

Ezzel a cikkel az Állapotirányítás, állapotirányítás megfigyelővel, optimális (LQR) irányítás téma végére értünk.
A folytatásban új tárgykörrel jelentkezünk.

Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné

Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.

Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.