Szabályozástechnika 57

Hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése – 7

Időoptimális rendszer 

A véges beállású rendszer „lépcsős” időlefolyású u_T(t) irányítójele – lásd az előző 56. folytatás 5. és 6. ábráit – a mintavételezési idő ütemének ritmusában gyorsít (u_T(t)>0) és „fékez” (u_T(t)<0), illetve az n lépést követően állandósul. A gyorsítás első fázisában kihasználható az irányítójel megengedett maximuma, ami az első fékező fázisban már nem jut érvényre.

    Elméletileg igazolható tétel, hogy az energiatárolók okozta késleltetéseket tartalmazó n rendszámú önbeálló folyamat y(t) kimenőjele olyan u(t) irányítójellel vihető a legrövidebb T_min idő alatt az y(0)=0 nyugalmi állapotából egy előírt y(T_min)=1 egyensúlyi végállapotába, amelyben a 0<tn=T_min időintervallumban az irányítójel n számú átkapcsolásával az u_max értékkel gyorsít és -u_max értékkel „fékez” (22.b. ábra). Az irányítójel ±u_max értékek közötti váltakoztatásának stratégiájával kialakított szabályozást „bang-bang” szabályozásnak hívjuk. Az időoptimális irányítás szabályozójára a W_BB(z) impulzusátviteli függvénnyel hivatkozunk.

Megjegyzés

A W_p(s)=k_p/(1+sT_p) átviteli függvényű (k_p>0, T_p>0) egytárolós, arányos taggal leírt folyamat bemenetére az u_max korláttal rendelkező u_max1(t) jelet kapcsolva, a kimenőjel y(t)=k_pu_max[1-exp(-t/T_p)] szerint változik. Ezért a bemenőjellel T_min=-T_pln[1-1/(k_pu_max)] idő alatt lehet az y(t) kimenőjelet y(T_min)=1 értékre vezérelni. A T_min idő elteltét követően az u(t) jelet az y(T_min)=1 fenntartásához u=1/k_p értékre kell visszakapcsolni (1.a. ábra). Magasabb (n>1) rendszám esetén az y(t) kimenőjel y(T_min)=1 értékre történő beállását az u(t) jel n számú, ±u_max értékek közötti átkapcsolásával lehet elérni (1.b. ábra).

1. ábra Az időoptimális irányítás u(t) irányítójele és y(t) szabályozott jellemzője 

Az utolsó kapcsolásig eltelt t_n=T_min idő elérése előtt az u(t) irányítójel értéke n páros esetében -u_max, n páratlan esetében +u_max értékű és a T_min időpillanattól kezdődően az u=1/k_p állandó értéke tartja fenn az y(T_min)=1 értékű szabályozott jellemzőt. A t₁, t₂, …, t_n időpontok meghatározása a rendszám n>1 eseteiben nehézkes számítási eljárást igényel. A ΔT_i időintervallumok egyre rövidebbek, az utolsó értéke t_n-t_n-1=ΔT_n. Ha a ΔT_i időintervallumoknak van legnagyobb közös osztója [1], akkor ezt az értéket választva a DDC-szabályozó T_s mintavételezési idejének, megtervezhető egy olyan

W_c(z)=W_BB(z)

impulzusátviteli függvénnyel jellemzett szabályozási algoritmus, amely az időoptimális tulajdonságokat megvalósító irányítójelet működteti a folyamat bemenetén. Miután a legnagyobb közös osztó általában igen kis számérték, a szabályozási algoritmus magas fokszámmal rendelkezik. Az általános analízis helyett az időoptimális rendszer irányításának üzemtanát egy példa keretei között tárgyaljuk. 

Példa

Egy önbeálló, másodrendű FI-folyamat átviteli függvénye:

Hibrid szabályozási rendszerben a szabályozás DI-modellje alapján tervezzük meg a W_DB(z) impulzusátviteli függvényű, véges beállást létrehozó szabályozót, ha a túlvezérlés megengedett mértéke u_Tmax=±10. Ezt követően tervezzünk olyan W_BB(z) impulzusátviteli függvényével leírt szabályozási algoritmust, amely egységminta-sorozat u_a(kT_s) alapjellel a szabályozott jellemzőt T_min optimális idő alatt az y(T_min)=1 végértékére állítja be, miközben az irányítójel megengedett értéke továbbra is u_Tmax=±10. A zárt hibrid szabályozási rendszerek u_T(t) és y(t) időfüggvényeinek alapján hasonlítsuk össze a véges beállású és az időoptimális tulajdonságú rendszereket. 

Megoldás

Ha W_DB(z) véges beállású rendszer üzemelése során az u_Tmax=10 feltételt kell betartanunk, akkor a választható T_s mintavételezési idő a túlvezérlési arányra vonatkozó feltétel alapján:

Ekkora T_s mellett 2T_s=7,6026 idő alatt a szabályozott jellemző a végértékére állna be. A további számításokat – a veges.m fájl mintája alapján – MATLAB-támogatással végeztük. A kapott eredmények:

Az u_T(t) irányítójel időfüggvénye (2. ábra):

2. ábra A véges beállású rendszer u(kT_s) és u_T(t) irányítójele 

A W_DB(z) algoritmus láthatóan nem használja ki az irányítójel lehetséges optimális stratégiáját, a ±u_max irányítójellel történő beavatkozást. Ez a „fékezési” ütemben kialakuló u_T≈|-3,7|<|-u_max|=10 értékből következik. Valószínűsíthető, hogy a gyorsabb beállás érdekében az első fázisban tovább kellene gyorsítani, a második fázisban pedig nagyobb intenzitással kellene fékezni. A W_DB(z) algoritmus azonban erre nem képes, mert az algoritmus paraméterei és a mintavételezés üteme kényszeríti ki az irányítójel értékeit és az átkapcsolási időpontokat. Az adott másodrendű folyamattal az időoptimális irányítás u_T(t) és y(t) jeleinek (az itt nem ismertetett részletszámítások mellőzésével) a 3. ábra szerint kellene lefolyniuk. 

3. ábra Az időoptimális beállást megvalósító u(t) irányítójel és az y(t) szabályozott jellemző 

A t₁ és t₂ átkapcsolási időpontok kiszámíthatók, ezek az értékek a részletszámítások alapján t₁≈4,4, t₂≈6,4. Ez azt jelenti, hogy a véges beállás 2T_s=7,6 idejéhez képest – az irányítójel korlátozásának változatlan értékű betartásával – a rendszer jelentős mértékben felgyorsult (T_min=6,2<2T_s=7,6). Mivel a t₁=4,4 és ΔT₂=t₂-t₁=6,4-4,4=2, a gyorsítási és fékezési időintervallumoknak van legnagyobb közös osztója (T_s=0,4). Mintavételezési időnek ezt a legnagyobb közös osztót választva, a hibrid szabályozási rendszer u(kT_s) irányítójelének időoptimális beállást megvalósító mintasorozatát az alábbiak szerint lehet megtervezni (4. ábra). 

4. ábra Az optimális beállást megvalósító irányítójel u(kT_s) mintasorozata 

Az u(kT_s) mintasorozatból a zoh az időoptimális u_T(t) jelet állítja elő. 11T_s=4,4 ideig gyorsítva, majd ezt követően 5T_s=2 ideig fékezve az y(t) szabályozott jellemző 16T_s=6,4 idő alatt az egységnyi végértékére vihető. Az u_max1(t) ugrásfüggvényből származtatható mintasorozat Z-transzformáltja

Z{u_max1(t)} → Z{u_max1(kT_s)}=u_maxz/(z-1).

A Z-transzformáció eltolási tételének figyelembevételével a 4. ábra alapján az u(kT_s) irányítójel Z-transzformáltja közvetlenül felírható:

A h(z)=u_a(z)-y(z) bemenetű és u(z) kimenetű DDC-szabályozó impulzusátviteli függvénye mindezek alapján:

Miután az önbeálló folyamat átviteli tényezője 

k_p=G_p(1)/H_p(1)=(g₁+g₂)/(1+h₁+h₂),

egyszerű behelyettesítéssel beláthatjuk, hogy a szabályozó impulzusátviteli függvényének H_BB(z) nevezője (z-1) gyöktényezővel rendelkezik. Ez azt jelenti, hogy a szabályozónak most is – mint a véges beállású algoritmus esetében – integráló fokozata van [2]. Ezen túlmenően a G_BB(z) számlálónak tényezője a W_p(z) impulzusátviteli függvény H_p(z) nevezője, tehát a szabályozó a folyamat minden pólusát kompenzálja. Az időoptimális hibrid szabályozási rendszer DI-modelljének hatásvázlata az 5. ábrán látható: 

5. ábra Az időoptimális rendszer hatásvázlata 

A W₀(z)=W_BB(z)W_p(z) nyitott- és a zártkör eredő impulzusátviteli függvényei:

Ellenőrzésként számítsuk ki az u_a(z)=z/(z-1) alapjelre (egységminta-sorozatra) adott u(z) és y(z) válaszokat. A hatásvázlat alapján:

A rendszert MATLAB felhasználásával vizsgáljuk. Az idoopt.m fájl program és futásának eredményei: 

» idoopt

%időoptimális rendszer (idoopt.m fajl)

echo on;

Gps=1;Hps=[100 20 1];       %Wp(s)

Ts=0.40;[Gpz,Hpz]=c2dm(Gps,Hps,Ts);

printsys(Gpz,Hpz,'z');pause; %Wp(z)

 num/den =

    0.00077898 z + 0.00075848

   -------------------------

    z^2 - 1.9216 z + 0.92312

Gcz=conv([10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -20 0 0 0 0 11],Hpz);

Hcz1=conv([1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0],Hpz);

Hcz2=conv([10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -20 0 0 0 0 11],Gpz);

Hcz=Hcz1-Hcz2;

printsys(Gcz,Hcz,'z');pause;

grid on; %WBB(z)

 num/den =

    10 z^18 - 19.2158 z^17 +

    +9.2312 z^16 - 20 z^7 + 38.4316 z^6–

    – 18.4623 z^5+ 11 z^2 –

    –21.1374 z + 10.1543

   --------------------------------------

   z^18 - 1.9294 z^17 + 0.91553 z^16 +

   +0.01558 z^6 + 0.01517 z^5–

   - 0.0085688 z - 0.0083433

dstep(Gcz,Hcz,50);

title('vc(k) átmeneti függvény');pause;

[G0z,H0z]=series(Gpz,Hpz,Gcz,Hcz); %W0(z)

[GRz,HRz]=cloop(G0z,H0z);grid on;  %WR(z)

dstep(GRz,HRz,50);

title('y(k)=vR(k) átmeneti függvény');pause;

[GRu,HRu]=feedback(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

grid on; %WRu(z)

dstep(GRu,HRu,50);

title('uT(k) irányítójel');pause;

[GRh,HRh]=feedback(1,1,G0z,H0z);

grid on;  %WRh(z)

dstep(GRh,HRh,50);

title('h(k) hibjel');pause;

disp('vége');

vége 

A programfutás eredményeiből a DB-szabályozó W_BB(z) impulzusátviteli függvényét (printsys(Gcz,Hcz,’z’);) és átmeneti mintasorozatát (dstep(Gcz,Hcz,50)) a 6.a. ábrán, a zárt rendszer eredő átmeneti függvényének mintasorozatát (dstep(GRz,HRz,50)) a 6.b. ábrán, a hibajel mintasorozatát (dstep(GRh,HRh,50)) a 6.c. ábrán és az u_T(t) tartott irányítójelet (dstep(GRu,HRu,50)) a 6.d. ábrán adtuk meg.

6. ábra Az időoptimális rendszer jelei 

A program futása során kapott grafikonokból (lásd 6. ábra) megfigyelhetjük, hogy kb. 16T_s=T_min=6,4 idő alatt az y(kT_s) eléri az y(16T_s)=1 értéket, és ezalatt a h(kT_s) hibajel mintasorozata is közel zérusra csökken. Az egzakt értékeket azért nem kaptuk meg, mert a t₁ és t₂ átkapcsolási időpontok is közelítő adatok. Ezeket a pontos értékekhez képest úgy választottuk meg, hogy a t₁ és t₂-t₁ legnagyobb közös osztója a lehetőség szerint „nagy” legyen, mivel ez a közös osztó határozza meg a mintavételezési időt, ami a W_BB(z) fokszámát alapvetően befolyásolja. Ha az átkapcsolási időket pontosabban (több számjegyre) közelítenénk, a legnagyobb közös osztó csökkenne, ami T_s csökkenését és W_BB(z) fokszámának további növekedését eredményezné.

     Az időoptimális algoritmus alkalmazásából származó és a véges beállású algoritmushoz képesti nyereség nem olyan számottevő, hogy ezt az időoptimális algoritmust erőltetni legyen érdemes. A gyakorlati alkalmazást illetően a W_BB(z) szabályozási algoritmus magas fokszámán túlmenően kétségeket támaszthat az is, hogy az irányítójel ±u_Tmax értékek közötti „rángatása” a beavatkozó szerv fokozott igénybevételét is jelentheti.

Folytatjuk! 

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné 

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. 

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.