Szabályozástechnika 54

Hibrid szabályozás rendszertechnikai méretezése – 4 

A tervezés lépései a diszkrétidejű modell felhasználásával 

A továbbiakban a folytonosidejű és a diszkrétidejű tervezési módszerek áttekintése után részletesen megvizsgáljuk a diszkrétidejű modell felhsználásával végrehajtott tervezés egyes lépéseit, amelyeket konkrét példákon keresztül szemléltetünk. 

1. A T_s mintavételezési idő megválasztása

A folytonosidejű W_p(s) átviteli függvényű szakaszmodell paramétereinek (a T_pi időállandóinak és a T_h holtidejének) ismerete alapján – a korábban közölt ajánlást figyelembe véve – megválasztjuk az alkalmazni kívánt T_s mintavételezési időt. Lehetséges, hogy az erre épített méretezési eljárás a zárt rendszer olyan működésmódjához vezet, amely T_s esetleges módosítását igényli. Ha ez előfordul, a módosított mintavételezési idővel a méretezést meg kell ismételni. Ha a folyamatnak T_h holtideje is van, célszerű, ha T_h a választott mintavételezési idő egész számú többszöröse (T_h=lT_s, és l egész), mert ez a folyamat W_p(z) impulzusátviteli függvényének meghatározását egyszerűsíti. 

2. A folyamat W_p(z) diszkrét modelljének meghatározása

Az adott W_p(s) folytonosidejű szakaszmodell és az ajánlás alapján felvett T_s mintavételezési idő ismeretében meghatározzuk a zérusrendű tartószerv átviteli függvényével bővített FI-folyamat W_p(z) impulzusátviteli függvényét és az ennek megfelelő pólus–zérus alakot (T_h=lT_s). 

Ennek jellegzetes tulajdonsága, hogy a diszkrét z_pi pólusok a folytonos folyamat T_pi időállandóiból származnak, értékeik rendre z_pi=exp(-T_s/T_pi). Ebből következik, hogy T_p1>T_p2>¼>T_pm>0 esetén 1>z_p1>z_p2>¼>z_pm>0, vagyis a nagyobb időállandókhoz tartozó z_pi pólusok az egységhez közelebb álló számértékek, és a z sík valós tengelyének a 1>z_pi>0 szakaszán helyezkednek el. Ha a folyamat T_h holtideje a T_s mintavételezési idő egész számú többszöröse (T_h=lT_s), akkor W_p(z) – a W_p(s) transzcendens tényezőjének ellenére – a z operátornak továbbra is algebrai törtje marad, és további l számú pólusa van a z komplex sík origójában is. W_p(z) „kézi módszerrel” történő számítása – W_p(s) magasabb fokszáma és a zérusok nem kölcsönös megfeleltetése miatt – igen körülményes, így a MATLAB igénybevétele itt fokozottan indokolt. A W_p(z) számítása MATLAB-támogatással [1]: 

       % Wp(s)=Gp(s)/Hp(s) adatainak bevitele: 

       Gps=input('Gps=');Hps=input('Hps='); 

       % A Ts mintavételezési idő bevitele:

       Ts=input('Ts=');               

       % Wp(z)=Gp(z)/Hp(z) kiszámítása:

       [Gpz,Hpz]=c2dm(Gps,Hps,Ts,'zoh'); 

       % Wp(z) pólus–zérus alakja:

       [zz,zp,kpd)=tf2zp(Gpz,Hpz);

       % Wp(z) pólusainak kiíratása:            

       disp(zp);                          

Ezzel – ha az adatbekéréseknek (lásd input-utasítások) eleget tettünk – meghatároztuk a szakasz W_p(z) impulzusátviteli függvényét (c2dm), valamint ennek z_zi zérusait és z_pi pólusait (tf2zp). A kompenzációs szabályozó tervezésekor a W_p(z) impulzusátviteli függvény z_pi pólusainak van meghatározó szerepe [2].

3. Diszkrét W_c(z) szabályozási algoritmus megválasztása

A méretezés követelményei alapján választunk egy W_c(z) impulzusátviteli függvénnyel leírt diszkrét szabályozót. Ez igen gyakran egy „ideális” [3] PD-fokozatot tartalmazó, diszkrétidejű PIPD-szabályozó, amelynek impulzusátviteli függvénye:

A  szabályozási algoritmus differenciaegyenlete a W_c(z) impulzusátviteli függvény z^-1 változóra rendezett alakjából közvetlenül felírható. A DI-szabályozó az aktuális u(kT_s) irányítójelet ennek megelőző

z^-1u(z) → u[(k-1)T_s]

értékéből, valamint a hibajel h(z) → h(kT_s) aktuális és két  megelőző

z^-1h(z) → h[(k-1)T_s], z^-2h(z) → h[(k-2)T_s]

értékeiből az alábbi algoritmus szerint állítja elő:

u(kT_s)=u[(k-1)T_s]+ c₀h(kT_s)+ c₁h[(k-1)T_s]+ c₂h[(k-2)T_s]=

u[(k-1)T_s]+k_cd{h(kT_s)-(z_ci+z_cd)h[(k-1)T_s]+z_ciz_cdh[(k-2)T_s]}.

A kompenzációra most is a póluskiejtés módszerét alkalmazva, W_c(z) z_ci és z_cd zérusai kell hogy kiejtsék a szakasz diszkrét modelljének (a W_p(s) folytonosidejű modelljének két legnagyobb T_p1>0,T_p2>0 időállandójából származó) z_p1=exp(-T_s/T_p1)=z_ci és z_p2=exp(-T_s/T_p2)=z_cd diszkrét pólusait. Ezen túlmenően – a diszkrét szabályozó impulzusátviteli függvényének H_c(z) nevezőjében megjelenő (z-1) tényezőjéből kiolvashatóan – a nyitott körbe egy integráló hatás is beiktatódik. Ez a tényező a hibrid szabályozás DI-modelljének i típusszámát befolyásolja, és ha a W₀(z) nevezőjének egyetlen z_p=1 értékű gyöke van, a szabályozás i=1 típusú integrálszabályozás [4]. A szabályozó méretezésének feladata – a felvett PIPD-típusú diszkrét szabályozó választásának következményeként – ilyen módon a k_cd=c₀ paraméter meghatározására egyszerűsödik.

Megjegyzés

A szabályozási algoritmus megválasztásakor természetesen más DDC-szabályozási algoritmusok (P, I, PI, PD, PD_i stb.) is szóba jöhetnek [5], és a póluskiejtés mellett a pólusáthelyezés is alkalmazható. A folytonosidejű szabályozók diszkrétidejű megfelelőinek impulzusátviteli függvényeit az 1. táblázatban adtuk meg.

1. táblázat Szabályozó alaptípusok

4. A diszkrétidejű szabályozó k_cd átviteli tényezőjének meghatározása

A  diszkrétidejű modell felnyitott körének W₀(z)=W_c(z)W_p(z) impulzusátviteli függvénye:

Figyeljük meg, hogy a z_ci=z_p1=exp(-T_s/T_p1) és a z_cd=z_p2=exp(-T_s/T_p2) választásával a folyamat két legnagyobb időállandójából származó stabilis 0<z_p1<1 és 0<z_p2<1 diszkrét pólusait a nyitott kör W₀(z) impulzusátviteli függvényéből mintegy „kiejthetjük” [6], mely után a W₀(z)-ben csupán egyetlen ismeretlen paraméter – a szabályozó k_cd átviteli tényezője – marad. Ennek értékét úgy kell beállítani, hogy a DI-nyitott kör W_0d frekvenciafüggvényének ω_c vágási körfrekvenciáján a φ_t(ω_c) fázistöbblete egy előírt érték legyen, mivel ez szabja meg a zárt DI-szabályozási rendszer stabilitását és eredő átmeneti függvényének a túllendülését. A szabályozásokat általában φ_t(ω_c)=π/3 (60°) fázistöbbletre szokás méretezni, mivel ekkor a zárt rendszer v_R(t) átmeneti függvényének σ(%) túllendülése 10% alatti értékre várható. A fázistöbblet előírásának teljesítéséhez tehát az ω_c vágási körfrekvencián az alábbi feltételek betartása szükséges:

Ennek a kétismeretlenes (ω_c, k_cd), két egyenletből álló nemlineáris algebrai egyenletrendszernek a megoldása szolgáltatja a W_0d diszkrét frekvenciafüggvénynek ω_c vágási körfrekvenciáját és az ehhez tartozó k_cd átviteli (erősítési) tényezőt. A MATLAB fsolve-eljárása ugyan támogatja a nemlineáris egyenletrendszernek a megoldását, de alkalmazásához ω_c és k_cd keresésének indítási értékeit meg kell adni. Ennek becslése, valamint a hamis gyökök elvetése az eljárást nehézkessé teszi, ezért a megoldás megkeresésének egy szemléletesebb, egyszerűbb módszerével dolgozunk [7]. Ez a módszer a nyitott kör

fázismenetének azon a tulajdonságán alapszik, hogy ez nem függ a szabályozó a k_cd  erősítési  tényezőjétől. Ezért először a φ_0d(ω) fázismenetet tartalmazó egyenletből meghatározzuk azt az ω_c vágási körfrekvenciát, amelynél a DI-nyitott kör fázistöbblete az előírt

φ_t(ω_c)=π+φ_0d(ω_c)

érték (pl. φ_0d(ω_c)=-120⁰ esetében φ_t(ω_c)=60⁰), majd ennek ismeretében az a_0d(ω_c)=1 feltétel alapján kiszámítjuk a k_cd azon értéket, amely az a_0d(ω_c)=1 amplitúdófeltételnek is eleget tesz. A k_cd1=1 önkényes (de mint később látjuk, célszerűen választott) felvételével és a dbode-utasítás felhasználásával – ha egyébként 60⁰ fázistöbbletre kívánjuk a tervezést végrehajtani – megkeressük azt a φ_0d(ω)=arcW_0d fázismenethez tartozó ω₁ értéket, amikor is ez a szög φ_0d(ω₁)=-120°. Ha ezt a ω₁ értékét választjuk a nyitott kör ω_c vágási körfrekvenciájának (ω_c=ω₁), akkor a DI-nyitott kör φ_t(ω_c)=π/3 (60°) fázistöbblettel fog rendelkezni. A módszert – a nyitott hurok W_0d frekvenciafüggvényének (Nyquist- és Bode-diagramjainak) ábrázolásával – az 1. ábra szemlélteti [8].

1. ábra A diszkrét nyitott kör frekvenciafüggvényének Nyquist- és Bode-diagramjai

Az ω_c körfrekvencián adódó a_0d1(ω_c)=absW_0d amplitúdóérték az önkényesen felvett k_cd1=1 erősítés mellett érvényes, és az amplitúdófeltétel kielégítéséhez azonosan egységnek kellene lennie. Miután általában nem az, de k_cd az amplitúdómenetet k_cdabsW_0d szerint módosítja, emiatt a k_cd tényezővel a k_cda_0d1(ω_c)=1 beállítható. Az amplitúdófeltétel betartásához tehát a szabályozó k_cd erősítését a

értékre kell választani. A vázolt eljárás részletszámításait – az amplitúdó- és fázismenet transzcendens volta miatt – számítógépes módszerekkel célszerű elvégezni. MATLAB-támogatás igénybevételével:

  %Wc(z) zci és zcd zérusainak felvétele:

  i=zp(1);zcd=zp(2);               

  %Wc(z) számlálója kcd1=1 mellett:

      Gcz=conv([1 -zci],[1 -zcd]);       

        %Wc(z) nevezője:

      Hcz=[1 -1 0];                      

        %W0(z)=Wc(z)Wp(z) számítása kcd1=1 mellett:

      [Goz,Hoz]=series(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

      %W0(z) Bode diagramjának megjelenítése:

      dbode(Goz,Hoz,Ts) 

A dbode(Goz,Hoz,Ts); utasítás hatására a képernyőn megjelenített a_0d(ω) és φ_0d(ω) diagramok a k_cd1=1 értékre érvényesek és a φ_0d(ω) fázismenetre vonatkozó tájékozódás célját szolgálják (1.b. ábra). A k_cd1 értékétől független fázismenet ábrája alapján itt választjuk ki azt a körfrekvencia-tartományt, amelyben a φ_0d(ω) fázisszög -120⁰ értéke (ha a fázistöbbletre vonatkozó előírás egyébként φ_t(ω_c)=60⁰) biztosan benne van. Ha például ez a 1<ω<10 intervallum, akkor ebben az a_0d(ω) és φ_0d(ω) értékeket számszerűen is meghatározzuk, és a képernyőre kiíratjuk. Részletezve: 

  [a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts,1:1:10);

       disp([a0d f0d w']); 

Az eredményül kapott három oszlopból és tíz sorból álló táblázat φ_0d(ω) értékeit tartalmazó középső oszlopából (f_0d=φ_0d) megkeressük a -120°-os fázisszöget magában foglaló szűkített körfrekvencia-intervallumot, és az előző két utasítás visszahívásával az a_0d és φ_0d értékeit ebben a szűkített intervallumban újra számoljuk. Néhány iterációs lépés után a -120° értéket magában foglaló tartomány tetszőlegesen kis körfrekvencia-intervallumra szűkíthető. Például: 

  [a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts,4.99:0.001:5.00); 

  disp([a0d f0d w']); 

     1.709   -119.995   4.991 

     1.708   -119.996   4.992 

     1.707   -119.997   4.993 

     1.706   -119.998   4.994

     1.705   -119.999   4.995

     1.704   -120.000   4.996 

     1.703   -120.001   4.997

     1.702   -120.002   4.998

     1.701   -120.003   4.999

     1.700   -120.004   5.000

Ezt a pontosságot [9] elfogadva a φ_0d =-120⁰ fázisszöghöz az ω₁=4,996 értéke, és az absW_0d amplitúdónak a_0d1(ω₁)=1,704 értéke olvasható le. A vágási körfrekvenciának az ω_c=4,996=ω₁ értéket választva a_0d1(ω_c) 1,7040 értékre adódik. A szabályozó k_cd erősítését tehát úgy kell beállítani, hogy k_cda_0d1(ω_c)=1 legyen, ezért k_cd=1/a_0d1(ω_c)=1/1,7040. A méretezett szabályozó ezzel: 

  a0d1=1.7040; 

  kcd=1/a0d1; 

  Gcz=kcd*Gcz; 

  printsys(Gcz,Hcz,'z'); 

A printsys-utasítás a képernyőre a méretezett szabályozó impulzusátviteli függvényét W_c(z)=G_c(z)/H_c(z) algebrai tört alakjában jeleníti meg. Ezzel a méretezést elvégeztük, mivel a szabályozó impulzusátviteli függvénye a szabályozási algoritmust (a diszkrét irányítójel és a diszkrét hibajel közötti kapcsolatot leíró differenciaegyenletet) egyértelműen és számszerűen meghatározza.

5. A méretezés ellenőrzése [10] 

W_c(z) és W_p(z) ismeretében – az előzőekben kapott eredmények ellenőrzésére – kiszámítjuk a diszkrétidejű modell nyitott körének tényleges ω_c vágási körfrekvenciáját és φ_t(ω_c) fázistartalékát, valamint a zárt rendszer egységminta-sorozat szerint változó diszkrét alapjelugrásra vonatkozó u(kT_s) és y(kT_s)  diszkrét válaszait:

     % W0(z)=Wc(z)Wp(z) számítása:

           [Goz,Hoz]=series(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

           % a0d(w),f0d(w),w számítása:   

           [a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts);       

           [adt,fdt,wt,wc]=margin(a0d,f0d,w);

           disp([wc fdt]);

           4.995   60 

Itt a korábban választott vágási körfrekvencia értékét és a 60° fázistöbbletet kell megkapnunk. Számítsuk a zárt rendszer u(kT_s) és y(kT_s) válaszait az egységmintasorozat alapjelre: 

  % WR(z)=W0(z)/[1+W0(z)]=y(z)/ua(z): 

 [GRyz,HRyz]=cloop(Goz,Hoz);

      % Wc(z)/[1+W0(z)]=u(z)/ua(z):

  [GRuz,HRuz]=feedback(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

      % Az y(kTs) mintasorozat:

   dstep(GRyz,HRyz);

      % Az u(kTs) mintasorozat:                      

            dstep(GRuz,HRuz);                      

Megjegyzés 

A MATLAB dstep utasítása az u(kT_s) és y(kT_s) diszkrét jeleket úgy ábrázolja, mintha ezek egy zoh-tartószerven haladnának át (lépcsős görbék). Az u(kT_s) esetében ezért ez a hibrid rendszer zoh-val tartott u_T(t) irányítójelét jelenti, az y(kT_s) esetében a valóságban folytonosidejű y(t) szabályozott jellemző időfüggvényének egy olyan lépcsős közelítését adja, amely kizárólag a mintavételezési időpontokban azonos az y(t) kimenőjellel. Ha az y(kT_s) jelen kívül a hibrid rendszer modelljének tényleges y(t) jelét is meg kívánjuk határozni (vagyis azt, hogy a mintavételezési időpontok között milyen a szabályozott jellemző időfüggvénye), ennek egyik módszere lehet, hogy a diszkrét modell alapján kiszámított folytonos, lépcsős u_T(t) jelet működtetjük a W_p(s) folytonos átviteli függvényű folyamat bemenetén, és az lsim-utasítást használjuk a folytonos y(t) meghatározására. A számítás hatásvázlaton való szemléltetését a 2. ábra mutatja. Ha a T_s mintavételezési idő lényegesen kisebb a zárt rendszer domináns időállandóinál, akkor az y szabályozott jellemző lépcsős közelítése is kielégítő eredményt szolgáltat a tényleges y(t) időfüggvényről.

2. ábra A hibrid rendszer folytonosidejű y(t) kimenőjelének meghatározása 

Példa 

Két energiatárolós, holtidős FI-folyamat W_p(s) átviteli függvénye a holtidős tag negyedfokú Strejc-közelítésével [11] és relatív (dimenziótlan) egységekben:

A folyamat átviteli függvényének paraméterei: k_p=1; T_p1=20; T_p2=10; T_h=4. 

A hibrid szabályozási rendszer diszkrét modellje alapján tervezzünk olyan

impulzusátviteli függvénnyel leírt, „ideális” PD-fokozatot tartalmazó PIPD-szabályozási algoritmust, amelynek z_ci és z_cd zérusai kompenzálják a folyamat diszkrét modelljének a T_p1 és T_p2 időállandókból származó z_p1=exp(-T_s/T_p1) és z_p2=exp(-T_s/T_p2) pólusait, valamint a nyitott kör diszkrét frekvenciafüggvényének φ_t(ω_c)=π/3 (60°) fázistöbbletet biztosít. 

Megoldás 

1. A T_s mintavételezési idő megválasztása 

Legyen T_s=2. Ekkor a T_h=2T_s  feltétel is betartható (1=2, vagyis a T_h holtidő a T_s mintavételezési idő kétszerese).

2. A folyamat W_p(z) impulzusátviteli függvényének számítása 

W_p(s) és T_s ismeretében kiszámítjuk a zérusrendű tartószervvel kiegészített folyamat W_p(z)=G_p(z)/H_p(z) impulzusátviteli függvényét. A számítást a szakasz holtidős tényezőjének negyedfokú Strejc-közelítése alapján, MATLAB-támogatással végezzük: 

 kp=1;Tp1=20;Tp2=10;Th=4;Ts=2;

      Gps=kp;

         Hhs=conv([(Th/4)^2 Th/2 1],[(Th/4)^2 Th/2 1]);

      Hps=conv(conv([Tp1 1],[Tp2 1]),Hhs);

      [Gpz,Hpz]=c2dm(Gps,Hps,Ts);

      [zz,zp,kpd]=tf2zp(Gpz,Hpz);

      disp(zp);

      0.9048        → exp(–T_s/T_p1)= exp(–2/20)

      0.8187        → exp(–T_s/T_p2)= exp(–2/10)

      0.1353        → exp(–T_s/(T_h/4))=exp(–2/1)

      0.1353

      0.1353

     0.1353     

A T_p1=20 és T_p2=10 időállandókból származó diszkrét pólusok z_p1=0,9048, z_p2=0,8187. Ezeket a pólusokat kell (és lehet!) a diszkrét PIPD-szabályozó z_ci és z_cd  zérusainak – a póluskiejtés módszerével – kompenzálnia. Ez azért lehetséges, mert a folyamat DI-modelljének minden pólusa – miután az FI-folyamat aszimptotikusan stabilis – a z komplex számsík stabilis tartományában (az egységsugarú kör belsejében) van.

Megjegyzés 

A folyamat W_p(z) diszkrét modelljét – miután a felvett T_s=2 mintavételezési időnél a T_h=4 holtidő ennek kétszerese (T_h=2T_s , l=2) – a Strejc-közelítés nélkül is számíthatjuk. Eszerint:

          Gps=kp;Hps1=conv([Tp1 1],[Tp2 1]);

         [Gpz,Hpz1]=c2dm(Gps,Hps1,Ts);

         [zz,zp,kpd]=tf2zp(Gpz,Hpz);

         disp(zp);

         0

         0

         0.9048

         0.8187

Az így előálló W_p(z) diszkrét szakaszmodell ugyan most a holtidőt pontosan veszi figyelembe, és egyszerűbb (alacsonyabb fokszámú), mint ami a Strejc-közelítés alapján kapható, ennek ellenére célszerűbb a közelítés alapján dolgoznunk. Ennek magyarázata, hogy általában nem garantálható, hogy a T_h holtidő a T_s mintavételezési időnek egész számú többszöröse legyen, vagy T_h<p₂p₁ paraméterek mellett a T_s=T_h/l választás indokolatlan kis mintavételezési időt eredményezne. A folyamat T_h holtideje egyébként sem egy egzakt számérték, mivel a folyamat paraméterei általában munkapontfüggők. 

3. A szabályozási algoritmus megválasztása 

A diszkrétidejű szabályozási algoritmust a digitális számítógépen futó PIPD-elvre épített real time program realizálja. Ezt a programot a szabályozó W_c(z) impulzusátviteli függvénye reprezentálja, amelynek z_ci, z_cd zérusait úgy kell megválasztani, hogy a folyamat T_p1 és T_p2 időállandóikból származó z_p1,  z_p2  pólusait, a diszkrét szabályozó z_ci és z_cd zérusai – a zérus–pólus kiejtés módszerével – kompenzálják [12]. Ezért z_ci=z_p1=0,9048 és z_cd=z_p2=0,8187. 

4. A szabályozó k_cd erősítési tényezőjének méretezése 

A szakasz diszkrét pólusainak ismeretében tehát megállapítható, hogy a szabályozó zérusainak mely pólusokat kell kiejtenie (azt a kettőt, amelyek a legjobban megközelítik az egységet, mert ezek származnak a folyamat legnagyobb időállandóiból). A szabályozó erősítési tényezőjét k_cd1=1 értékre előzetesen (és önkényesen) felvéve számítható a nyitott kör W₀(z)=G₀(z)/H₀(z) impulzusátviteli függvénye és az ennek megfelelő a_0d(ω) amplitúdó- és φ_0d(ω) fázismenet (3. ábra). A φ_0d(ω) fázismenetre a szabályozó k_cd erősítésének semmi befolyása nincs.

      %kcd1=1;

      zci=zp(1);zcd=zp(2);

      Gcz=conv([1 -zci],[1 -zcd]);

      Hcz=[1 -1 0];

      [Goz,Hoz]=series(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);

      dbode(Goz,Hoz,Ts);

3. ábra A W_0d frekvenciafüggvény  dbode(Goz,Hoz,Ts); MATLAB-utasítás hatására megjelenített Bode-diagramjai

A képernyőn megjelenített diagram tájékoztató jellegű, és a fázismenetre vonatkozó része a meghatározó. A fázismenetből leolvasható hogy a -120° fázisszög (ekkor a fázistöbblet j_t=60°) a körfrekvencia-intervallumnak egy körülbelül 0,01<w<0,1 szakaszára esik. Számítsuk ki ebben a tartományban az amplitúdómenet és a fázismenet pontos számértékeit. Néhány finomító lépés után a -120° értéket magában foglaló frekvenciatartomány kellő pontossággal behatárolható:

[a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts,0.088:0.0001:0.089);

     disp([a0d f0d w']);

     0.0963 -119.9482    0.0880

     0.0961 -119.9821    0.0881

     0.0960 -120.0161    0.0882

     0.0959 -120.0500    0.0883

     0.0958 -120.0839    0.0884

     0.0957 -120.1178    0.0885

     0.0956 -120.1517    0.0886

     0.0955 -120.1856    0.0887

     0.0954 -120.2195    0.0888

     0.0953 -120.2534    0.0889

 0.0951 -120.2874    0.0890 

Ha a nyitott kör vágási körfrekvenciáját ω₁=ω_c=0,0882 értékre választjuk, akkor φ_0d(ω_c) @ -120.0161⁰ és a DI-nyitott kör fázistöbblete φ_t(ω_c)@60°. Ehhez azonban az is szükséges, hogy ezen a körfrekvencián absW_0d=a_0d(ω_c)=1 legyen. Az előző táblázat adatai k_cd1=1 értékre vonatkoznak, és mint láttuk, k_cd értéke a fázismenetet nem befolyásolja. Ezért egy új k_cd választással az absW_0d=k_cda_0d1(ω_c)=1 beállítható. Ebből k_cd=1/a_0d1(ω_c), ahol a_0d1(ω_c ) az előző táblázat eredményei alapján a_0d1(ω_c ) = 0,0960.

      a0d1=0.096;kcd=1/a0d1;

      Gcz=kcd*Gcz;

      printsys(Gcz,Hcz,'z');

  num/den=

         10.42z^2-17.95z+7.717

         ---------------------

               z^2 – z

A kapott eredmény – az adott feltételrendszer követelményei szerint méretezett – diszkrét működésű PIPD-szabályozó impulzusátviteli függvénye. A h(k)=u_a(k)-y(k) hibajelből képzett u(k) irányítójel előállítása ennek alapján az alábbi rekurzív differenciaegyenlet alapján történik: 

u(k)=u(k-1)+10,42h(k)-17,95h(k-1)+7,717h(k-2)             T_s=2.

Ez az algoritmus a h(k)={1, 1, 1, ..., 1, ...}  egységminta-sorozat hibajelre u(k)={10,4200, 2,8900, 3,0770, 3,2640, 3,4510, 3,6380, 3,8250, 4,0120, 4,1990,…} válaszminta-sorozatot ad, ami egyébként a diszkrétidejű PIPD-szabályozó v₀(k) átmeneti mintasorozata. 

5. A méretezés ellenőrzése 

A szakasz és a szabályozó impulzusátviteli függvényeinek ismeretében meghatározható a DI-nyitott kör W₀(z) impulzusátviteli függvénye és z=exp(jωT_s) helyettesítéssel az ennek megfelelő W_0d[exp(jωT_s)] nyitott köri diszkrét frekvenciafüggvény. Ennek a_0d(ω) amplitúdó- és φ_0d(ω) fázismenete a dbode MATLAB-függvénnyel számítható. Ezek ismeretében a W_0d diszkrét frekvenciafüggvény ω_c vágási körfrekvenciája és φ_t(ω_c) fázistartaléka is meghatározható.

       %W0(z) számítása:  

       [Goz,Hoz]=series(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz);   

       [a0d,f0d,w]=dbode(Goz,Hoz,Ts);

       [at,ft,wt,wc]=margin(a0d,f0d,w);

       disp([wc ft]);

       0.0882        59.9588

nyitott kör W_0d frekvenciafüggvényének ω_c=0,0882 vágási körfrekvenciánál ~60° fázistöbblete van. Ez egyben azt is jelenti, hogy a zárt rendszer átmeneti függvényének túllendülése a 10%-ot nem haladja meg, szabályozási ideje pedig p/ω_cs<3p/ω_c nagyságrendben várható. Ennek vizsgálatára számítsuk ki a zárt DI-rendszer egységminta-sorozat szerint változó, u_a(k) alapjelre vonatkozó u(kT_s) irányítójel és y(kT_s) szabályozott jellemző válaszait (4. ábra).

       % WR(z)=W0(z)/((1+W0(z))=y(z)/ua(z)

       [GRyz,HRyz]=cloop(Goz,Hoz);

       % Wc(z)/((1+Wc(z))=u(z)/ua(z)    

       [GRuz,HRuz]=feedback(Gcz,Hcz,Gpz,Hpz); 

       dstep(GRyz,HRyz,25)   % y(k)

       dstep(GRuz,HRuz,25)   % u(k)

4. ábra A hibrid szabályozás DI-modellje alapján méretezett rendszer u(k)

és y(k) jelei

A kapott eredmények azt szemléltetik, hogy a zárt rendszer elfogadható túllendüléssel rendelkezik, és u_t=u(0)/u(∞)=10,42 túlvezérlési arány mellett kb. t_s=20T_s=40 szabályozási ideje van. 

Folytatjuk!  

  Szerzők: Dr. Szilágyi Béla – Dr. Juhász Ferencné  

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. 

  Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.