Piezo- és piroelektromos átalakítók – 8.

Elosztott paraméterű modellezés

A piezoelektromos átalakítók elasztomechanikai tulajdonságainak vizsgálatánál eddig feltételeztük, hogy a mozgások olyan lassúak, hogy a tömegek tehetetlenségi erejét figyelmen kívül hagyhattuk. Ennek az volt a következménye, hogy a jelátalakítók analóg helyettesítő képének mechanikai oldalát is koncentrált paraméterű elemekkel jellemeztük. Ez a feltételezés nem állja meg a helyét akkor, ha a mechanikai folyamatok változási frekvenciája olyan nagy, hogy a periodikusan változó deformációk hullámhosszúsága összemérhető a vizsgált test geometriai méreteivel. Mivel a piezoelektromos átalakítók minden bizonnyal nagyobbik hányada, mint dinamikus rendszer (például gyorsulásmérők, elektromechanikai oszcillátorok, ultrahangforrások és -vevők, szűrők stb.) olyan frekvenciatartományban dolgozik, amelyek esetében ezt a körülményt minden bizonnyal figyelembe kell venni.

Ez azt jelenti, hogy a villamos–mechanikai analógia alapján a rugalmas mechanikai rendszerekre is alkalmazni kell a villamos gyakorlatban bevezetett, távvezetékekre kidolgozott elemzési, tervezési módszereket. Ez összefoglalva az elosztott paraméterű rendszerek vizsgálatát jelenti, amelyet azért szűkítünk oly mértékben, hogy csak a véges geometriai méretű anyagok belsejében végbemenő mechanikai rezgési folyamatokat tárgyaljuk, és nem foglalkozunk a határfelületek impedancia-illesztési feladataival és a végtelenbe sugárzott akusztikai energiával.

A piezoelektromos átalakítók mechanikai kialakítása viszonylag egyszerű geometriájú, a szóba jöhető elektromechanikai kölcsönhatások száma is korlátozott, de a lehetséges kombinációk száma mégis elég nagy ahhoz, hogy minden egyes esetet – a szakfolyóirat kötöttségeit is figyelembe véve – szisztematikusan végigtárgyalhassunk. Ezért azt a megoldást választottuk, hogy – egy gyakran előforduló piezoelektromos hatás figyelembevételével –, a modellezési módszer lépéseinek az ismertetésével, viszonylagos részletességgel mutatjuk be az elosztott paraméterű elasztomechanikai rendszerek analóg helyettesítő képe kialakításának a folyamatát, majd a többi esetre csak a végeredményeket közöljük (lehet, hogy csak akkor, amikor illusztrációként néhány eszköz működését bemutatjuk).

Azok részére, akik a témával részletesebben kívánnak foglalkozni, javasoljuk a szakirodalom tanulmányozását [1], amelynek felhasználásával a soron következő ismertető is készült.

Az elektromechanikai rendszer villamos oldalán a koncentrált paraméterű közelítés feltételei még fennállnak, ezért elegendő csak a mechanikai oldal vizsgálata. Természetesen az általánosított változók bevezetésével a villamosságtanban használt távvezetékelmélet a mechanikai rendszereken kívül a fluid, az akusztikus és a termikus folyamatokra is kiterjeszthető. Ezzel az általánosított eljárással a  jelen publikációban nem foglalkozunk.

Egydimenziós hullámterjedés modellezése rúdban

A tárgyalás során egy l hosszúságú, A keresztmetszetű rudat vizsgálunk, amelynek a homlokfelületeire erők hatnak, és feltételezzük, hogy az oldalfelületek erőmentesek. A feltételezések szerint az l hosszúság olyan nagy, hogy az ε_x nyúlás következtében a tömegből származó tehetetlenségi erők is fellépnek. A rúd keresztirányú A keresztmetszete azonban még olyan kicsi, hogy a keresztirányban bekövetkező kontrakció során fellépő mozgások is csak akkorák, hogy általuk a rúd tengelyére merőlegesen létrejövő tehetetlenségi erők még figyelmen kívül hagyhatók. Ezért feltételezhetjük, hogy csak a σ_x mechanikai normálfeszültség van jelen. 

1. ábra Rugalmas tulajdonságok egytengelyű igénybevételnél (*izotróp esetben)

Elegendően kis Δx hosszúságú rúdelem terhelési állapota tehát a 1. ábra vázlatának felel meg. A tehetetlenségi erőket úgy vehetjük figyelembe, hogy a 2. ábrán látható egész rudat elegendően kis Δx méretű részekre vágjuk szét. Mindegyik elemet két Δn/2 rugóengedékenységű rugóelemmel képezzük le úgy, hogy a Δx elemhez tartozó Δm tömeget a két rugó csatlakozásához kötjük. Ez a közelítés annál inkább megengedett, minél kisebb a Δx hosszúság. Az egész rúd tehát ilyen elemi négypólusok (kétkapuk) lánckapcsolásából áll.

2. ábra Egytengelyű longitudinális deformációk elosztott paraméterű modellezése rúdban

A 2. ábra jelöléseinek felhasználásával

ahol n’ és m’ jelenti a hosszegységre eső rugóengedékenységet és tömeget, ami a villamos analógiában megfelel a homogén villamos vezető és hosszegységre vonatkoztatott induktivitásának (L’ )és kapacitásának (C’ ). A részletszámítások mellőzésével a helyfüggő v(x) és F(x) változókra a

differenciálegyenletek vezethetők le, ahol

vagyis ismert módon a v_l longitudinális hullámsebesség a

összefüggéssel számítható. A differenciálegyenletek megoldása v₁(0)=v₁, v(l)=v₂, F(0)=F₁ és F(l)=F₂ peremfeltételekkel veszteségmentes rugót és tömeget feltételezve az alábbi lineáris egyenletrendszerre vezet:

A  hullámsebességgel kiszámítható a λ hullámhosszúság is a

képlettel, amely a bevezetőben tett megjegyzések szerint az elosztott paraméterű vizsgálatok során összemérhető a vizsgált átalakító geometriai méreteivel. A valóságban természetesen a rugó nem veszteségmentes. A számítási gyakorlatban a veszteséget a komplexnek tekintett

mennyiséggel vehetjük figyelembe, amelyben η jelöli a veszteségi jellemzőt.

A villamos hálózatelméletből ismert módon a lineáris egyenletrendszer láncparaméterekkel megadott mátrixához ekvivalens T és π helyettesítő kapcsolások rendelhetők. 

3. ábra Az egydimenziós hullámvezető ekvivalens T és π helyettesítő kapcsolása

A 3. ábrán feltüntettük a helyettesítő kapcsolásokat a h₁, h₂ admittancia-elemekkel (első sor), az admittancia-elemekkel felírt láncparamétereket (második sor), majd a hullámvezető egyszerűsített viselkedését leíró egyenletrendszer lánckarakterisztika-elemeinek a behelyettesítésével a helyettesítő kép elemeit ismét (harmadik sor).

Elegendően alacsony frekvencián (amikor is βl˂˂1) a sin és tg  függvények argumentumaikkal helyettesíthetők, és a helyettesítő kép elemeinek a kifejezései is egyszerűsödnek. Az m=ρAl és n=s₁₁l/A kifejezések felhasználásával (ahol m a rúd teljes tömege és n a rúd két végpontja között mérhető rugóengedékenység) a 4. ábrán látható helyettesítő képet kapjuk. 

4. ábra Egydimenziós hullámvezető helyettesítő T és π kapcsolása alacsony frekvencián (βl˂˂1)

Magasabb frekvencián – amikor az egyszerűsítés feltételei már nem állnak fenn – a helyettesítő kép trigonometrikus függvényeinek sorfejtésével a T és π kapcsolások ún. kanonikus alakját hozhatjuk létre. Vagyis a

végtelen sorok felhasználásával a 3. ábra transzcendens elemei végtelen számú, sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt rezgőkörrel helyettesíthetők a 5. ábra szerint.

5. ábra Egydimenziós hullámvezető T és π helyettesítő képének kanonikus kapcsolása

A részletszámítások közlésére ismételten nem térünk ki. Az egyes rezgőkörök ω_ν rezonanciafrekvenciái az admittanciák pólusainak és zérusainak felelnek meg. Értékeiket a βl, l/λ, valamint c/l értékekhez rendelve az 1. táblázat foglalja össze.

1. táblázat A kanonikus kapcsolások rezonanciafrekvenciái

Veszteségmentes, tranzverzális, piezoelektromos átalakító

A 6.a ábrán egy olyan tranzverzális piezoelektromos hatás alapján működő átalakító sematikus ábráját láthatjuk, amely az előző témakörökben már előfordult, és elasztomechanikai, elosztott paraméterű elemzését az előző fejezetben már megismertük.

6. ábra Tranzverzális piezoelektromos átalakító elosztott paraméterű modellezése

Tételezzük fel, hogy a 6.a ábrán látható átalakító sraffozással jelölt felületére villamos, az 1 és 2 jelűre pedig tetszőleges mechanikai energiát vezetünk. A sebesség- és erővektorok irányválasztása olyan, hogy a rendszerrel az 1-jelű oldalon mechanikai energiát közlünk, a 2. oldalon pedig mechanikai energiát veszünk le. A jelátalakító a műszaki megvalósításban az energiaáramlás irányától függően lehet egy speciális, nagyérzékenységű nyomásmérő érzékelője, vagy például egy ultrahangforrás is.

Az eddigi elemzési módszerhez hasonlóan az átalakítót képzeletben megfelelően sok, Δl hosszúságú egységre osztjuk. A 6.c ábrában egy ilyen – a kezdőponttól x távolságban kivágott – részegységet láthatunk v(x), v(x+ Δl) sebességekkel és F(x), F(x+ Δl) erőkkel, amelynek az analóg helyettesítő képét a 6.d ábra tünteti fel. Felismerhető rajta a girátor típusú átalakító és a hozzá csatlakoztatott mechanikai rész-négypólus, amelynek ábrázolásához most célszerűen egy π helyettesítő kapcsolást választunk. A helyettesítő elemek számításához szükséges anyagjellemzők (piezoelektromos kerámiákra érvényes kifejezései) a korábbi fejezetekből:

alakúak. A véges, l hosszúságú átalakítóban az ábrázolt részelemek mechanikusan sorosan és villamosan párhuzamosan kapcsolódnak. Mivel minden részelemre ugyanaz az u feszültség hat, a girátor típusú átalakítás miatt minden részelemre ható F_w erő azonos (7.a ábra).

7. ábra Tranzverzális, piezoelektromos, elosztott paraméterű átalakító analóg helyettesítő képe

A 7.b ábrából felismerhető, hogy akkor a részátalakítók és a mechanikai struktúra közötti belső kapcsolatok feleslegesek (F=0, 7.c ábra). A ΔC_b, Δn_k, Δm és Y elemek kifejezései a 6.d ábra mellett találhatók. A mechanikai elemek egy homogén hullámvezetőt képeznek β^E hullámszámmal és h_z^E hullám-admittanciával (7.d ábra):

Longitudinális, piezoelektromos, elosztott paraméterű átalakító analóg helyettesítő képe

A longitudinális hatáson alapuló piezoelektromos átalakító elosztott paraméterű, analóg helyettesítő képe a tranzverzális eset elemzéséhez alkalmazott módszerhez hasonlóan alakítható ki. A kiindulási feltételeket és a számítás végeredményét a 8. ábra foglalja össze.

8. ábra Longitudinális piezoelektromos, elosztott paraméterű átalakító analóg helyettesítő képe

Ha a két igénybevételi módnak megfelelő átalakító analóg helyettesítő képét összehasonlítjuk, akkor észrevehetjük, hogy a kettő csak abban különbözik egymástól, hogy a longitudinális esetben a villamos bemeneti oldalon van a bemenettel sorba kapcsolt (a mechanikai oldalról áttranszformált) -C_b kapacitás is. Ezen az alapon gyorsulásmérők, illetve kvázistatikus esetre erő- és nyomásmérők készülnek, az inverz piezoelektromos hatás felhasználásával pedig ultrahangforrások kialakítására kerülhet sor.

Elosztott paraméterű átalakítók analóg helyettesítő képének alkalmazása

Mind a tranzverzális, mind a longitudinális hatáson alapuló analóg helyettesítő képet is tekintjük, mindkettő hatpólus (háromkapu) egy villamos és két mechanikai csatlakozással (a mechanikai hullámvezető önmagában is egy mechanikai hatpólus). Az alkalmazástechnikai feladat hálózatszámítási szempontból egyszerűsödik, ha az energia- (információ) -áramlás irányának és a mechanikai peremfeltételeknek megfelelő módon a hatpólus kapuit lezárjuk. Szemléltetésképpen nézzünk két – a műszaki gyakorlatban fontos – alkalmazást.

Az első példában az egyik oldalán mechanikailag szabad, longitudinális és tranzverzális átalakító modellje az általános kialakításhoz képest lényegesen egyszerűsödik. Tételezzük fel, hogy az átalakító 1-jelű oldala üres és csak a 2-jelű oldal terhelt. Mint a későbbiekben látni fogjuk, több ultrahangforrás is ilyen struktúrájú. A 9.a ábrán egy longitudinális, piezoelektromos hatással működő átalakító sematikus vázlatát tüntettük fel.

Induljunk ki a hullámvezetőt modellező hatpólus T helyettesítő kapcsolásából, és a bemeneten legyen F₁=0 (9.b ábra). A v₂, F₂ változókkal jelölt kimenetre egy tetszőleges h_T terhelő admittancia kapcsolódik. Egy egyszerű átszerkesztéssel a mechanikai rész-négypólusból egy aszimmetrikus T-tag lesz a 9.c ábra szerint.

9. ábra Egy oldalán szabad, longitudinális hatás alapján működő, piezoelektromos átalakító analóg helyettesítő képének egyszerűsítése

A h_1T -jelű soros admittancia egy 2:1 áttételű ideális, láncba kapcsolt transzformátorral eltüntethető, és az átalakító analóg helyettesítő képére a 10.a ábrán látható hálózatot kapjuk, amelyben

10. ábra Egyik oldalán mechanikailag szabad, piezoelektromos, longitudinális és tranzverzális hatással működő átalakító analóg helyettesítő képe az első rezonanciafrekvencián

A h₁ és h₂ tagokat – mint a rúd bemeneti admittanciáit – egy l/2hosszúságú, 2A keresztmetszetű elemmel lehet interpretálni. A következő lépésben a transzformátor a kapcsolásból eltüntethető, ha az Y girátortényezőt Y/2-re cseréljük. A h₁ és h₂ admittanciák helyébe például a legalacsonyabb rezonanciafrekvencián (βl=π) a korábban megismert kanonikus kapcsolás parallel és soros rezgőköreit helyettesíthetjük, ha h_z helyett h_z/2 értéket veszünk figyelembe.

Következő példaként tekintsük a mechanikailag mindkét végén szabad átalakítót, amelynek analóg helyettesítő képét a 10.a ábrából úgy nyerjük, hogy az üresjárás miatt a h₂ admittanciát elhagyjuk. 

11. ábra Mindkét végén szabad, tranzverzális (bal oldalt) és longitudinális (jobb oldalt) átalakító kanonikus helyettesítő képe

A tranzverzális és longitudinális esetre ismételten a 11. ábrán látható vázlatokból indulhatunk ki. Ezeknek az átalakítóknak az elektromechanikus szűrők kialakításánál van nagy jelentősége. Hálózatelméleti szempontból ezek az átalakítók villamos kétpólusok, amelyek frekvenciafüggő, mechanikai átviteli tulajdonságait a girátor típusú átalakító transzformálja a villamos oldalra.

A működést meghatározó mechanikai oldalt most a h₁^E, illetve a h₁^D admittanciákkal lehet helyettesíteni a

összefüggések felhasználásával. A kanonikus alak elemeinek a meghatározásához a tangens-függvény sorfejtésére van szükség, amellyel az egyes rezgőkörök rezonanciafrekvenciái az

képlettel számíthatók (a c helyébe értelemszerűen a megfelelő mechanikai konstrukcióra érvényes c^E, illetve c^D helyettesítendő). Az ω_λ rezonanciafrekvenciákkal a h₁ admittancia frekvenciakarakterisztikája

alakú az

elemi rugóengedékenységek képleteinek a felhasználásával (értelemszerűen a konstrukciókra vonatkozó adatok behelyettesítésével).

Az átalakító működése alkalmazástechnikai szempontból is az ω₁ első rezonanciafrekvencia környezetében érdekes. Ennek elemzésére a felharmonikusok induktivitásának a rövidre zárásával a 12. ábrán látható helyettesítő kapcsolások alakíthatók ki, amelyek fontosabb paramétereinek kifejezései az ábra alján olvashatók. 

12. ábra Piezoelektromos elektromechanikai szűrők analóg helyettesítő képe az  első rezonanciafrekvencia környezetében

A k_eff² effektív vagy dinamikus csatolási tényezőt – amelyik a rezonanciafrekvencián átalakítható elektromechanikai energia mértékét jelenti – a 36. ábra adataival a

egyenletekkel lehet kiszámítani.

A helyettesítő elemek nagyságrendjének érzékeltetésére a 13. ábra egy f₁=49 kHz rezonanciafrekvenciájú, tranzverzális, piezoelektromos átalakítót mutat be. 

13. ábra Egy Piezolan-L kerámiából készült, tranzverzális hatás alapján működő, mindkét végén mechanikailag szabad, piezoelektromos átalakító analóg helyettesítő elemeinek értékei

Az adatok az f₁=49 kHz alapfrekvencián kívül az f₂=3f₁=147 kHz első felharmonikusra vonatkozó adatokat is tartalmazzák. A magasabb felharmonikusok ΔC kapacitásai elhanyagolhatók. A számítás egy olyan piezokerámiára (Piezolan-L) készült, amelyet kizárólag nagyteljesítményű ultrahangsugárzásra fejlesztettek ki.

A longitudinális hatással működő elemeket a MHz nagyságrendű felharmonikusokon használják, mert ezeknél az átalakítóknál nyílik kedvező lehetőség a kis geometriai méretek kialakítására.

Folytatjuk!

Szerző: Dr. Fock Károly

Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.